ANÁLISE
MATEMÁTICA IV
2º Semestre de
2005/2006
L. E. Civil
Sumários,
apontamentos e acetatos das aulas teóricas:
1ª Aula (20 de Fevereiro de 2006)
Apresentação.
Introdução histórica aos números complexos.
Apontamentos
2ª Aula (22 de Fevereiro de 2006)
Números
complexos. Representação polar. Fórmula de De Moivre.
Apontamentos
Acetatos: 1.
2.
3.
4.
3ª Aula (24 de Fevereiro de 2006)
Fórmulas
de Euler. Topologia do plano complexo. Exponencial complexa. Funções complexas
de variável complexa. Parte real e parte imaginária. Continuidade. Definição de
diferenciabilidade no sentido complexo.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4ª Aula (3 de Março de 2006)
Diferenciabilidade
de funções de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann. Condições
necessárias e suficientes para a diferenciabilidade pontual. Definição de
funções analíticas (ou holomorfas).
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
5ª Aula (6 de Março de 2006)
Funções
trigonométricas e hiperbólicas. Estudo gráfico da função exponencial complexa.
Logaritmos de números complexos; funções logaritmo; ramo principal do
logaritmo.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
6ª Aula (8 de Março de 2006)
Funções
logaritmo; ramo principal do logaritmo. Analiticidade das funções logaritmo.
Exponenciação com base e expoente complexos. Funções trigonométricas inversas.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
7ª Aula (10 de Março de 2006)
Integração
de funções complexas de variável real. Definição e propriedades do integral de
caminho de funções complexas de variável complexa.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
8ª Aula (13 de Março de 2006)
Integrais
de funções derivadas. Teorema de Cauchy. Consequências do Teorema de Cauchy.
Apontamentos Acetatos: 1.
2. 2.
9ª Aula (15 de Março de 2006)
Fórmulas
integrais de Cauchy. Teorema de Morera. Funções harmónicas e suas conjugadas.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
5.
10ª Aula (17 de Março de 2006)
Convergência
uniforme de séries de funções. Séries de potências.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
11ª Aula (20 de Março de 2006)
Séries de
potências. Série de Taylor.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
12ª Aula (22 de Março de 2006)
Séries
de Laurent. Teorema dos
Resíduos.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
13ª Aula (24 de Março de 2006)
Teorema
dos Resíduos; exemplos. Classificação de singularidades isoladas.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
14ª Aula (27 de Março de 2006)
Cálculo
de Resíduos em pólos. Aplicações do Teorema dos Resíduos: integrais de funções
trigonométricas.
Apontamentos Acetatos: 0.
1.
2.
15ª Aula (28 de Março de 2006)
Aplicações
do Teorema dos Resíduos: integrais de funções racionais; Lema de Jordan.
Apontamentos Acetatos: 1.
2. 3.
16ª Aula (31 de Março de 2006)
Continuação
da aula anterior. Polinómios e séries de Taylor. Teorema de Liouville.
Apontamentos
Acetatos: 1.
2.
17ª Aula (3 de Abril de 2006)
Continuação
da aula anterior; decomposição de fracções racionais em fracções simples.
18ª Aula (5 de Abril de 2006)
Introdução
às equações diferenciais.
Apontamentos
19ª Aula (7 de Abril de 2006)
Equações
diferenciais lineares (ordinárias escalares de primeira ordem). Equações
diferenciais separáveis.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
20ª Aula (10 de Abril de 2006)
Exemplos
de EDO separáveis. Soluções gerais. Intervalos máximos de definição e
explosões. Soluções definidas implicitamente.
Apontamentos
21ª Aula (12 de Abril de 2006)
Equações
exactas. Equações redutíveis a exactas; factores de integração.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
22ª Aula (21 de Abril de 2006)
Mudanças
de variáveis. Equações de Bernoulli. Equações homogéneas. Campos de direcções.
Apontamentos Acetatos: 1.
23ª Aula (24 de Abril de 2006)
Método
de Euler. Problema da existência e unicidade de soluções; exemplos. Teorema de
Picard-Lindelöf. Funções localmente lipschitzianas.
Apontamentos Acetatos: 1.
24ª Aula (26 de Abril de 2006)
Teorema
de Picard-Lindelöf; existência e unicidade de soluções. Extensão de soluções a
intervalos máximos de definição. Comparação de soluções.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
25ª Aula (28 de Abril de 2006)
EDO’s
de 1ª ordem vectoriais. Sistemas de equações lineares. Exponencial de uma
matriz. Funções matriciais.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
26ª Aula ( 3 de Maio de 2006)
Derivação
de exponenciais de matrizes. Sistemas de equações lineares homogéneos: dimensão
do espaço das soluções; soluções próprias; soluções com valores
complexos.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
3.
4.
27ª Aula ( 5 de Maio de 2006)
Exponenciais
de matrizes semelhantes. Exponenciais de matrizes diagonalizáveis.
Apontamentos Acetatos: 1.
28ª Aula ( 8 de Maio de 2006)
Exponencial
de matrizes formadas por blocos sobre a diagonal. Blocos Jordan. Matrizes na
forma canónica de Jordan. Exponencial de matrizes semelhantes a matrizes na
forma canónica de Jordan.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
4.
5.
29ª Aula ( 10 de Maio de 2006)
Continuação
da aula anterior; exemplos. Fórmula da variação das constantes para sistemas de
equações de 1ª ordem. Equações diferenciais de ordem n.
Apontamentos Acetatos: 1.
2. 3.
30ª Aula ( 12 de Maio de 2006)
Operadores
diferenciais lineares de coeficientes constantes. Solução da equação
linear homogénea de ordem n. Equação linear não homogénea; método dos
coeficientes indeterminados.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
31ª Aula ( 15 de Maio de 2006)
Equação linear
não homogénea. Matriz Wronskiana. Independência linear de funções. Fórmula da
variação das constantes para equações lineares escalares de ordem n.
Apontamentos Acetatos: 1.
2. 3.
32ª Aula ( 17 de Maio de 2006)
O oscilador
ressonante. Métodos de redução de ordem. O pêndulo não linear.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
33ª Aula ( 19 de Maio de 2006)
Equação do
Calor. Método da separação de variáveis. Condições fronteira de Dirichlet.
Apontamentos
34ª Aula ( 22 de Maio de 2006)
Equação do
Calor. Método da separação de variáveis. Condições fronteira de Neumann e
condições fronteira periódicas. Definição de Série de Fourier.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
35ª Aula ( 24 de Maio de 2006)
Séries de
Fourier. Convergência
pontual. Séries de senos. Séries de cosenos.
(ver
apontamentos da última aula)
Acetatos: 1.
36ª Aula ( 26 de Maio de 2006)
Séries de
Fourier escritas na forma complexa. Convergência em média quadrática.
Generalidades sobre séries de Fourier.
Apontamentos Acetatos: 1.
2. 3.
37ª Aula ( 29 de Maio de 2006)
Equação
do calor não homogénea. Interpretação geométrica da difusão. Equação das ondas;
separação de variáveis.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
38ª Aula ( 31 de Maio de 2006)
Equação
das ondas. Sobreposição de harmónicos; modos de vibração. Solução de
D’Alembert. Propagação de ondas; reflexão com inversão na fronteira.
Apontamentos Acetatos: 1.
2.
3.
39ª Aula ( 2 de Junho de 2006)
Equação
de Laplace. Relação com as funções analíticas no plano complexo; problema de
Dirichlet no círculo e em domínios transformados conformemente. Problema de
Dirichlet no rectângulo; separação de variáveis.
Apontamentos
Acetatos: 1.
40ª Aula ( 5 de Junho de 2006)
Separação
de variáveis e séries de Fourier em dimensões superiores.
Apontamentos
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