Análise Complexa e Equações Diferenciais

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

1º semestre 2010/2011

(última actualização 1 Fev. 2011)

"Aprender Física e aprender Matemática exige esforço, exige concentração, exige trabalho, exige fazer muitos exercícios, exige testar muitas vezes os conhecimentos, ginasticar o raciocínio. Não se compadece com o improviso, nem vive apenas de intuição e de "jeito". A arte nacional do desenrascanço pode permitir vestir de belas palavras uma resposta ignorante em Humanidades - mas esbarra sem apelo nem agravo perante um problema concreto de Física ou de Matemática.

E, se é importante que os alunos tenham uma noção de que o que estão a aprender tem uma relação com a realidade, não se deve criar a ilusão de que se pode gostar de Matemática ou de Física, se não se apreciar o pensamento abstracto, se não se apreciarem os mistérios do infinitamente grande e do infinitamente pequeno."

José Manuel Fernandes, Público, 16/5/2001

"[...] um livro de Análise destinado a estudantes universitários (independentemente do domínio da Ciência ou da Técnica a que pretendem dedicar-se) deve fornecer hábitos de rigor e estimular o espírito crítico, de tal modo que - sem menosprezo do papel vitalizador da intuição na aprendizagem da Matemática - os seus leitores sejam naturalmente conduzidos a distinguir com clareza as pseudo-definições, de base essencialmente intuitiva, de verdadeiras definições, e as conjecturas, de plausibilidade apenas sustentada por argumentos empíricos, das proposições que os métodos dedutivos permitem estabelecer."

Jaime Campos Ferreira, "Introdução à Análise Matemática"


Biografias de Algumas das Figuras Centrais da Matemática da ACED
(para ler biografias de muitos mais matemáticos clique aqui)

EulerEuler  LaplaceLaplace  FourierFourier  CauchyCauchy  RiemannRiemann  PicardPicard

Para que servem a Análise Complexa e as Equações Diferenciais
(Página da autoria do Prof. José Natário)


Exemplo de um fractal no plano complexo: o conjunto de Mandelbrot.

O conjunto de Mandelbrot e três ampliações sucessivas das regiões representadas nos rectângulos brancos.



Órbita do atractor de Lorenz, correspondente ao sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias:
\frac{dx}{dt} = \sigma (y - x)
\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y
\frac{dz}{dt} = xy - \beta z
Ambos estes exemplos - o primeiro do âmbito da Análise Complexa (parte I do programa) e o segundo das equações diferenciais ordinárias (parte II do programa) - constituem dois casos clássicos que exibem propriedades associadas ao fenómeno descrito habitualmente como caos.

Conteúdo da página

Avisos
Notas
Docentes
Funcionamento da Disciplina
         Programa
         Bibliografia 
         Outros Textos Disponíveis Online
         Avaliação
         Horários de Dúvidas
 Exercícios, Testes e Exames
         Testes/Exames
         Exercícios Propostos para Aulas Práticas
         Fichas de Exercícios Resolvidos
         Fichas Sumplementares
         Arquivo de Testes e Exames
 Matemática na Internet
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Avisos


Notas

Docentes

Responsável: Jorge Drumond Silva

Aulas Teóricas: Jorge Drumond Silva

Aulas Práticas: Jorge Drumond Silva
                         
Jorge Drumond Silva

E-mail: jsilva@math.ist.utl.pt
Horário de Dúvidas: 3ª feira 10:00 - 13:00
                                   5ª feira 10:00 - 12:00
                                   5ª feira 15:00 - 17:00

Funcionamento da Disciplina


Programa:

Parte I: Análise Complexa

  1. Estrutura algébrica e topológica dos números complexos.
  2. Funções elementares.
  3. Diferenciabilidade de funções complexas: equações de Cauchy-Riemann, funções harmónicas.
  4. Integração de funções complexas: teoremas e fórmulas integrais de Cauchy e suas consequências fundamentais.
  5. Séries numéricas. Séries de potências.
  6. Singularidades isoladas, séries de Laurent, teorema dos resíduos e aplicações.
Parte II: Equações Diferenciais Ordinárias
  1. Equações lineares escalares de primeira ordem, equações separáveis, exactas e factores integrantes.
  2. Traçado do gráfico de soluções.
  3. Existência, unicidade e extensão de soluções.
  4. Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem: exponencial de matrizes e matrizes fundamentais; fórmula da variação das constantes.
  5. Equações de ordem superior: a equação característica e a matriz companheira; método de redução de ordem; método dos coeficientes indeterminados.
  6. Método da transformada de Laplace e aplicações à resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes.
Parte III: Equações Diferenciais Parciais
  1. Método de separação de variáveis; problemas de valor inicial e fronteira.
  2. Séries de Fourier, suas propriedades e convergência.
  3. Algumas soluções de problemas de valor inicial e fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.

Bibliografia:

Principal:

ou, alternativamente, para cada uma das duas partes da disciplina
Bibliografia adicional relevante:
Obs: Os dois primeiros livros, desta sugestão adicional, são bastante completos no que respeita ao programa de Análise Complexa ensinado na disciplina, com uma abordagem bastante mais rigorosa e cuidada do ponto de vista matemático (mas só marginalmente mais sofisticada), do que aquela que seguiremos nas aulas. Além da cobertura de vários detalhes e aspectos laterais que, por restrições de tempo, infelizmente não podemos aprofundar no programa da ACED, estes livros também levam o estudo da Análise Complexa muito mais adiante do que será possível fazer no âmbito do programa duma disciplina como a ACED. O último destes três livros indicados, de Lars Ahlfors, é um dos livros clássicos de matemática do séc. XX e internacionalmente considerado como uma referência fundamental de análise complexa. Escrito por um dos matemáticos mais destacados do século passado, vencedor da primeira medalha Fields em 1936, trata-se de um livro avançado, aconselhado apenas para aqueles alunos que tenham muito interesse em expandir os seus conhecimentos de matemática para além do que é ensinado nas disciplinas tradicionais de análise do IST, para os cursos de engenharia.
Obs: O primeiro livro cobre apenas a parte da matéria relativa a equações diferenciais ordinárias, e assume um conhecimento de matemática inferior ao que se espera de um aluno em ACED. Por isso, tem explicações detalhadas e elementares de muitos conceitos, o que pode ser útil a todos. A ordem em que a matéria é apresentada é também muito diferente da que seguimos na cadeira, pelo que há que ter em atenção esse facto. Os outros dois livros são clássicos de introdução ao tema de equações diferenciais. O livro de Braun, em particular, é de leitura extremamente fácil dado o nível em que os temas são expostos. Mas também por isso, há pontos da matéria que não são cobertos com o mesmo grau de profundidade ou generalização que seguimos nas aulas. Ambos contêm bastantes exemplos e exercícios.
Obs: Este livro é uma excelente introdução à análise de Fourier. Escrito duma forma bastante clara e agradável, começa ao nível do que é dado na nossa disciplina e leva o tema bem mais longe, com variadas aplicações e exemplos. O assunto é de extrema utilidade para qualquer área de engenharia e física.

Outros Textos de Disponíveis Online:

Avaliação:

Provas Escritas: Realizar-se-ão dois testes, com a duração de 90 minutos, e sem restrição de nota mínima. O primeiro teste será realizado no dia 6 de Novembro de 2010, cobrindo a matéria dada até essa altura, desde o início das aulas. O segundo teste será realizado no dia 18 de Dezembro de 2010 e cobrirá a matéria dada até ao final do semestre, que não foi abrangida pelo primeiro teste. A nota de cada teste será atribuída na escala de 0 a 10 (com precisão até às décimas) e a nota escrita final será igual ao arredondamento às unidades da soma das notas nos dois testes.

Haverá uma prova de recuperação a efectuar em 15 de Janeiro de 2011. Nesta, os aunos poderão optar por uma de duas possibilidades: ou tentar recuperar a nota de apenas um dos testes, à sua escolha, entregando-o obrigatoriamente ao fim de 1h 30 min; ou recuperar toda a nota escrita final, realizando os dois testes no tempo máximo de três horas. Não é possível a tentativa de recuperação independente dos dois testes. Ambos os enunciados dos dois testes de recuperação serão fornecidos aos alunos logo no início da prova, para que tenham liberdade total de decidir qual das opções de recuperação querem escolher, perante a consulta das provas. Caso o aluno opte por tentar recuperar apenas um dos testes, entregando a prova ao fim de 1h 30min a nota do teste de recuperação prevalecerá sobre a nota obtida em data regular somente no caso de lhe ser superior; caso o alune opte por recuperar os dois testes, estes serão globalmente classificados de 0 a 20, como se dum exame se tratasse, e essa nota prevalecerá sobre a nota escrita de 0 a 20 já obtida pelos dois testes regulares, durante o semestre, também só no caso de lhe ser superior.

A inscrição prévia será obrigatória, em todos os testes. Os alunos só podem apresentar-se a provas escritas munidos do cartão de aluno do IST ou, na falta deste, de bilhete de identidade. Não serão permitidas, nessas provas, quaisquer meios de consulta ou material auxiliar de cálculo, como tabelas, calculadoras, etc... Também não é permitido o uso, durante as provas, de quaisquer meios de comunicação remota, em particular telemóveis, de acordo com o ponto 10.4 do regulamento de avaliação de conhecimentos. O aluno apenas poderá ter consigo material de escrita, folha de respostas e algumas páginas de folhas de rascunho. Quaisquer tipo de fraudes detectadas na realização das provas escritas implicarão a anulação imediata da prova e serão comunicadas ao Conselho Directivo, para processo disciplinar, de acordo com o ponto 10.4 do regulamento de avaliação de conhecimentos. 

Orais: Os alunos classificados nas provas escritas com nota superior a 17 terão direito a submeter-se a uma prova oral, a combinar com o responsável pela disciplina, na qual se determinará a sua nota final entre 17 e 20 valores (independentemente da nota obtida na prova escrita). Os alunos que, estando nestas circunstâncias, optem por não realizar a prova oral serão classificados com nota final igual a 17.

Aprovação: O aluno terá aprovação à disciplina se a sua nota final for igual ou superior a 10 e reprovará em caso contrário.

Melhoria de Nota: Os alunos, já aprovados à disciplina em semestre anterior, que pretendam fazer melhoria de nota, têm que se inscrever na Secretaria para esse efeito, de acordo com o ponto 10.8 do regulamento de avaliação de conhecimentos. Tal como para os restantes alunos, a sua classificação será exclusivamente determinada pela realização dos testes (incluindo o de recuperação) sendo a sua nota final à disciplina igual ao arredondamento às unidades da soma das notas dos dois testes. Não serão usadas quaisquer componentes de bonificação de nota, resultantes de avaliação contínua nas aulas práticas, proveninetes de métodos de avaliação diferentes em semestres anteriores.

Revisões de Prova: Os alunos terão direito a rever as suas provas escritas (os dois testes e o de recuperação) em data e local anunciados antecipadamente. O objectivo da revisão de provas consiste em eliminar eventuais erros de classificação de uma prova e não constitui de forma alguma uma sessão de esclarecimento de dúvidas ou de explicação, pela parte dos docentes, da correcção efectuada. Ao comparecerem na revisão de provas, os alunos devem trazer um enunciado da prova e uma folha de papel onde, se for caso disso, devem fazer a sua alegação por escrito. Seguir-se-ão as seguintes regras:

 - cada aluno fará a sua revisão de prova individualmente e terá 20 minutos para, por escrito, justificar fundamentadamente a sua alegação;
 - não serão permitidas quaisquer discussões sobre as correcções das provas, quer entre alunos, quer com os professores presentes;
 - as alegações serão avaliadas pelo professor responsável, e os resultados disponiblizados na página da cadeira no dia seguinte;
 - a classificação dada inicialmente tanto poderá subir como também poderá descer, caso se verifique, depois de re-examinada a prova, ter sido nesse sentido o erro de classificação;

Horários de Dúvidas:

Os horários de atendimento dos alunos para o esclarecimento de dúvidas, pelos docentes da disciplina, são os indicados no início desta página. O atendimento realiza-se na sala de dúvidas do Depto. de Matemática (sala P02.09, no piso 02 (cave) do Pavilhão de Matemática). Após a primeira meia hora do período de atendimento, o docente poderá terminar a sessão de dúvidas, caso não compareçam quaisquer alunos até essa altura ou, mais geralmente, quando estes não estejam a solicitar o docente. Os alunos poderão frequentar, se lhes for mais conveniente, os horários de dúvidas dos outros docentes de Análise Complexa e Equações Diferenciais. Para uma lista desses horários clique aqui. 

Exercícios, Testes e Exames

Testes/Exames

Exercícios propostos para as aulas práticas:

Fichas de exercícios resolvidos:

Fichas suplementares:

Arquivo de testes e exames, de semestres anteriores:
Análise Complexa e Equações Diferenciais
Análise Matemática IV
Análise matemática, na internet
Applets, em Java, com exemplos de Análise Complexa (da página de Terence Tao)
Outros links de interesse

Páginas de outros professores de ACED:

Para obter enunciados e resoluções de exames e testes, exercícios resolvidos ou outra informação relevante, veja as páginas de outros responsáveis de Análise Complexa e Equações Diferenciais.