Análise
Matemática I
(2º
semestre, 2004/2005)
Eng. Informática, Eng. Biomédica, Eng. Mecânica e
Eng. de Materiais.
Avisos e novidades
- Esta página refere-se
exclusivamente a Análise Matemática I de Eng.
Informática, Eng.
do Biomédica, Eng. Mecânica e Eng. de Materiais no 2º
semestre de 2004/2005. Não é
aplicável a outras licenciaturas ou anos lectivos.
- Notas do primeiro teste. (incluindo
a nota da pergunta de casa e a da mesma pergunta no teste)
- Notas do segundo
teste. (incluindo o máximo entre a nota da pergunta de casa
e a da mesma pergunta no teste)
- Notas Finais (com as notas de
todos os testes).
Helena Mascarenhas (Professora
responsável):
Teóricas: seg/qua/sex 14-15h na GA1 (Eng.
Mecânica e Eng. de Materiais)
seg 13-14h GA5, ter 12-13h GA3 e sex 13-14h GA3 (Eng. Inf.
e Eng. Biomédica)
Práticas: Qua. 10-12h C11 (Eng.
Mecânica e Eng. de Materiais)
Bruno Nobre
Práticas: sex 9-11h C9 (Eng.
Mecânica e Eng. de Materiais)
Miguel Pires
Práticas:
seg 15-17h F4 e ter 15-17h C10 (Eng. Inf. e Eng. Biomédica)
José Roquette
Práticas:
sex 15-17h F4 (Eng. Inf. e Eng. Biomédica)
Helena Mascarenhas:
Terça-feira: 10.30h-12h e Quinta-feira: 10.30-13h
José
Roquette: Sexta-feira: 17-18h
A sala de
dúvidas do Departamento de Matemática é
no piso -2 do edifício de
pós-graduação (sala 02.09).
Os alunos também podem
consultar sessões de dúvidas de AMI de outros cursos.
- Estrutura de corpo ordenado de R.
Princípio de
indução matemática. O axioma do supremo. Densidade
em R
dos conjuntos dos números
racionais e dos números irracionais. Conjuntos numeráveis
e não numeráveis.
- Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas.
Sucessões convergentes. Regras operatórias. Teorema de
Bolzano-Weierstrass. Subssucessões.
- Séries numéricas. Séries convergentes e
divergentes. Condição necessária de
convergência. Séries geométricas e de Mengoli.
Critério de Cauchy. Operações algébricas
com
séries. Critério geral de comparação de
séries de termos não negativos. Série de
Dirichlet. Critério de D'Alembert.
Critério da raiz. Séries absolutamente convergentes.
Séries alternadas. Critério de Leibnitz.
Séries de potências.
- Funções contínuas. Continuidade à
Cauchy e à Heine. Funções transcendentes
elementares. Continuidade de funções definidas por
séries de potências. Continuidade da função
composta. Noção de limite. Continuidade e limite. Limites
laterais. Funções contínuas em intervalos.
Teorema de Weierstrass. Teorema de Bolzano.
Continuidade da função inversa.
- Definição de derivada. Regras operatórias da
derivação. Derivada da função composta.
Derivada da função inversa. Extremos relativos. Teorema
de
Rolle. Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy.
Derivada
de ordem superior à primeira. Fórmula de Taylor. Teorema
de Taylor. Série de Taylor.
Será seguido como texto base o seguinte livro:
- J. Campos Ferreira, Introdução
à
Análise Matemática, Fundação
Gulbenkian, 6ª ed.,
1995.
Outros livros indicados são:
- R.G. Bartle, D. Sherbert, Introduction
to Real Analysis,
John Wiley, 3rd ed, 2000.
- A. Browder, Mathematical
Analysis, An Introduction, Springer, 1996.
- J. Campos Ferreira, Elementos
de Lógica Matemática e
Teoria dos Conjuntos, Departamento de Matemática do IST,
2001.
- Departamento de Matemática do IST, Exercícios de
Análise Matemática I e II, IST Press, 2003.
- A. Ferreira dos Santos, Análise
Matemática I, AEIST,
1994.
Consulte estes e outros títulos na Biblioteca do IST.
Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de
compreensão da matéria leccionada nas aulas
teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além
disso a aprendizagem de Matemática passa pela
resolução de exercícios não necessariamente
triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de
Exame está disponível com o título Exercícios
de Análise Matemática I/II. Este texto
juntamente com o texto base servirá como base para listas de
problemas semanais.
A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático
relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos
requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado
como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O
texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos
Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência
para este tópico (versão
para consultar on-line, versão
para imprimir).
A avaliação de conhecimentos consiste na
realização de 2 testes (a 28 de Abril e 8 de Junho) e um
teste de recuperação de um destes dois no dia 16 de
Junho. Além dos testes haverá uma
componente de avaliação contínua de entrega de
exercícios nas aulas práticas que contará apenas
para subir a nota. Os testes têm nota minima de 7 valores.
Os alunos com classificação final
superior a dezassete valores poderão ser convocados para se
apresentar a provas orais.
NOTA: O procedimento em
relação à avaliação contínua
no 2º teste, será idêntico ao primeiro teste. Ou
seja, haverá uma questão no 2º teste com a
cotação de 3 valores que será igual a uma ou mais
perguntas de entre as fichas 7 a 12. O aluno ( que entregar pelo menos
4 dessas fichas) terá nessa questão a melhor das
cotações entre a resposta no teste e a
resolução da(s) pergunta(s) correspondentes nas fichas.
Os exercícios indicados, salvo aqueles descritos por extenso,
fazem parte do livro Exercícios
de Análise
Matemática I e II, do Dep. Matemática.
SEMANA de 28/2 a 4/3 (1
ª aula):
Exercícios de revisão ( Lógica-quatificadores.
Módulos.)
SEMANA de 7/3 a 11/3 (2
ª aula):
Supremos, ínfimos. Princípio de indução
matemática.
Ex 1.1, 1.2, 1.5, 1.9, 1.16, 1.18 e 1.19
Ficha 1 (entregar no início da
aula): Exercicíos 1.3, 1.4, 1.8 e 1.17.
SEMANA
de 14/3 a 18/3 (3ª
aula):
Sucessões limitadas, monótonas e convergentes.
Cálculo de limites.
Ex. 1.32, 1.33, 1.35, 1.38 e
1.47
Exercício 1 da seguinte folha de
exercícios
Ficha
2 (entregar no início da
aula):
Exercicío
1.36, 1.44 (livro), e exercício 2 da seguinte folha
de exercícios
SEMANAS
de 21/3 a 1/4 (4ª
aula):
Subsucessões.
Cálculo de limites.
Ex. 1.28 (excepto b)iv)), 1.34,
1.37, 1.41, 1.42.
Exercícios 1,3 e 4 da seguinte folha de
exercícios
Ficha
3 (entregar no início da
aula):
Exercícios
1.22, 1.24, 1.25 (livro), e exercício 2 da seguinte folha
de exercícios
SEMANA
de 4/4 a 8/4 (5ª
aula):
Cálculo de limites. Séries somáveis.
Condição necessária de convergência.
Critério geral de comparação.
Exercícios 1 e 4 da
seguinte folha de
exercícios e 2.4, 2.7 (apenas a segunda a série),
2.16, 2.17 e 2.20
Ficha
4 (entregar no início da
aula): Exercícios
2,3 e 5 da seguinte folha
de exercícios e ex. 2.3, 2.21.
SEMANA
de 11/4 a 15/4 (6ª
aula):
Critério geral de comparação.
Critério de Alembert. Critério da Raíz.
Séries absolutamente convergentes e simplesmente
convergentes. Critério de Leibnitz.
Exercícios 2.6, 2.10,
2.13, 2.14, 2.19, 2.24, 2.26, e 2.27
Ficha 5 (entregar no início da
aula): Exercícios
2.8, 2.9, 2.18 e 2.31
SEMANA
de 18/4 a 22/4 (7ª
aula):
Séries de potências.
Exercícios 2.25, 2.27,
2.28, 2.33, 2.47, e Exercício 1 da
seguinte folha
de
exercícios
Ficha 6 (entregar no início da
aula): Exercícios
2.30, 2.46, 2.50 e Exercício 2 da
seguinte folha
de
exercícios
SEMANA
de 26/4 a 29/4 (8ª
aula):
Continuidade à Cauchy. Continuidade à Heine. Limites.
Exercícios 3.10,
3.11, 3.13, 3.18, 3.19, 3.21, e 3.32
Ficha 7 (entregar no início da
aula): Exercícios
3.1, 3.8, 3.9 e 3.22
SEMANA
de 2/5 a 6/5 (9ª
aula):
Continuidade/Limites. Teorema de Weirstrass. Teorema de Bolzano
Exercícios 3.14,
3.15, 3.26, 3.29, 3.36 e 3.42
Ficha 8 (entregar no início da
aula): Exercício
3.40 e exercícios 1,2 e 3 da seguinte folha
de exercícios
SEMANA
de 9/5 a 13/5 (10ª
aula):
Funções trigonométricas inversas. Continuidade da
função inversa. Noção de derivada.
Exercícios 3.23, 3.28, 3.35, 3.37, 3.42, 4.1 e 4.3
Ficha 9 (entregar no início da
aula): Exercícios
3.12, 3.27, 3.34 e 4.1
SEMANA
de 16/5 a 20/5 (11ª
aula):
Cálculo de derivadas. Derivada da função composta.
Derivada da
função inversa. Teorema de Rolle.
Exercícios 3.43, 4.5, 4.7, 4.11, 4.17, 4.19, 4.23,
4.28 e exercícios 5 e 6 da seguinte folha
de exercícios
Ficha 10 (entregar no início da
aula): Exercícios
1, 2, 3 e 4 da seguinte folha
de exercícios
SEMANA
de 23/5 a 27/5 (12ª
aula):
Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy.
Exercícios 4.15, 4.17, 4.24, 4.31, 4.36, 4.48,
4.59, 4.62, 4.82 e o exercício 3 da seguinte folha
de exercícios
Ficha 11 (entregar no início da
aula): Exercícios
4.38, 4.79 e 4.80 (livro) e exercícios 1 e 2 da seguinte folha
de exercícios
SEMANA
de 30/5 a 3/6 (13ª
aula):
Fórmula de Taylor. Resto de Lagrange. Série de Taylor.
Exercícios 4.47, 4.67, 4.69 e exercícios 3 e 5 da
seguinte folha
de exercícios
Ficha 12 (entregar no início da
aula): Exercícios
1, 2, 4 e 6 da seguinte folha
de exercícios