Introdução à Teoria dos Números (1º período 2025-2026)

 Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação


Docente: Pedro Martins Rodrigues - pedro.martins.rodrigues@tecnico.ulisboa.pt



Informações        Anúncios publicados no Fenix        Avaliação       Programa          Bibliografia

Notas de apoio e Fichas de Problemas       Horário de dúvidas        Pautas  


Informações

11/02 - Os meus desejos de um excelente segundo semestre e Felicidades!

11/02 - As Notas Finais foram lançadas na Pauta oficial, ficando assim encerradas as actividades deste curso. Esta página não terá mais actualizações.

09/02 - A pauta de Avaliação Final foi actualizada com os resultados do Exame de recurso (recuperação do Exame). A Revisão de provas fica marcada para a próxima quarta-feira, 11/02, às 16:00, na sala P2.

02/02 - Exame de recurso: o Exame vai decorrer na sala E8 (piso 4 da Torre Norte). Recomenda-se a todas as alunas e alunos que estejam presentes uns minutos antes da hora marcada.

26/01 - Época de Recurso: o Exame de recurso realiza-se no próximo dia 05/02, quinta-feira, às 13:00. A inscrição para o exame é obrigatória, e deve ser feita até às 17:00 horas da próxima segunda-feira, dia 02 de Fevereiro. No exame, que tem a duração de duas horas, cada aluna e aluno poderá escolher entre realizar o exame completo ou fazer, apenas na primeira hora, a parte do exame que poderá substituir o exame realizado a 30/10. Em qualquer caso, a nota final será sempre a melhor entre a obtida no recurso e a obtida na época normal de avaliação.

Ficam marcados horários de atendimento para os dias 02 e 03 de FEvereiro, entre as 10:00 e as 12:00.

19/11 - A Pauta Final foi actualizada após a realização das provas orais, terminando assim a época normal de avaliação. Os meus desejos de excelente continuação de semestre a todos!

10/11 - As pautas foram corrigidas na sequência da Revisão de Provas. As alunas e alunos que tencionem apresentar-se ao exame de recurso e pretendam preparar-se ao longo do segundo período podem contactar-me caso desejem marcar uma hora para esclarecer dúvidas. Serão marcados horários de atendimento na semana de preparação de 26/01 a 30/01.

06/11 - Atenção: a Revisão de provas terá lugar, como anunciado, na segunda-feira, às 15:00, na sala P9.

06/11 - Está publicada a Pauta com os resultados do Exame. A Pauta Final foi actualizada. Na conversão da nota do Exame foi dada uma bonificação de 0.4. A Revisão de Provas fica marcada para apróxima segunda-feira, 10/11, às 15:00. Fica aqui disponível uma resolução do Exame.

Os alunos com Nota Final superior a 17 valores devem comparecer na Revisão de Provas ou contactar-me antes disso para a marcação da prova oral.

03/11 - A Pauta dos Testes foi actualizada com a correcção de alguns erros pontuais; a Pauta dos trabalhos de grupo foi igualmente actualizada. Na Pauta de Avaliação Final estão já publicados os resultados destas duas componentes de avaliação. Tal como referido nas aulas, embora os trabalhos de casa estejam todos cotados de 0 a 4 valores, a classificação dos Grupos não é uma mera média aritmética daqueles trabalhos e inclui uma avaliação, forçosamente qualitativa, do trabalho realizado nas aulas de problemas.

30/10 - A Pauta dos Testes foi actualizada. Recorda-se que a nota do Teste de Recuperação substitui, em caso de melhoria, a pior das notas dos dois MAP15 e das duas partes do MAP30, devidamente normalizadas para 2 valores. Brevemente será completada a apublicação das classificações dos trabalhos de grupo e, logo que possível do exame.

29/10 - Exame: o exame realiza-se amanhã, às 13:00, com a duração de 60 minutos, nas salas P12 e P13. As alunas e alunos devem aguardar, uns minutos antes da hora, junto dessas salas.

Tal como nos testes anteriores, pode ser usada uma calculadora simples, mas não é permitida nenhuma forma de consulta.

27/10 - a Pauta dos Testes foi actualizada.

22/10 - Aula de Revisões e Horários de dúvidas: A aula de revisões terá lugar na terça-feira, 28/10, das 10:30 às 12:30, na sala P12. Até ao Exame, além desta aula, realizam-se horários para esclarecimento de dúvidas, nos dias 27/10 e 29/10, às 14:00, na sala P2.

21/10 - A Pauta foi actualizada.

21/10 - Foi publicada a Ficha 6, que contém problemas sobre a última parte do programa. As aulas de problemas de amanhã serão dedicadas a problemas desta Ficha e alguns da anterior.

17/10 - Foi publicada uma pauta com a avaliação dos primeiros Trabalhos de Grupo; cada trabalho é avaliado entre 0 e 4, de forma qualitativa. A nota final do Trabalho de Grupo resulta de uma avaliação qualitativa global dos trabalhos entregues e do trabalho desenvolvido nas aulas de problemas.

09/10 - Trabalhos de Grupo e aulas de problemas: esta semana não há Trabalho de Grupo para entrega; os turnos de problemas da próxima semana serão dedicados, principalmente, aos problemas da Ficha 5 (já publicada), e haverá um problema para os grupos resolverem e entregarem na parte final da aula.

09/10 - Mudança de sala: as aulas dos dias 13/10 e 20/10, às 08:00, terão lugar na sala C01 (cave do Pavilhão central).

03/10 - Fica aqui disponível uma ficha de Problemas de revisão e Trabalho de Grupo . Conforme indicado na própria Ficha, o Trabalho de Grupo, a entregar até à aula das 09:30 de dia 08/10, consiste nos dois primeiros problemas e em mais dois à escolha de cada grupo.

Foi também publicada a Ficha de preparação 5, que cobre alguns tópicos relacionados com as últimas aulas e as próximas. A resolução de alguns dos problemas depende de conceitos e resultados que, espera-se, serão discutidos nas aulas da próxima semana.

02/10 - Foi publicada uma versão de leitura dos slides, como auxiliar e guia de estudo. Uma nova Ficha de Revisão, Preparação e Problemas será publicada muito em breve, bem como um novo Trabalho de Grupo.

29/09 - Já não é necessária a entrega em papel do primeiro Trabalho de Grupo dos grupos J, M e P.

28/09 - Mini-Teste: foi publicada nesta página uma pauta com os resultados do primeiro Mini-Teste.

26/09 - Trabalhos de Grupo: o seguinte Trabalho de Grupo deve ser entregue até ao início da aula de dia 01/10, às 9:30. Os trabalhos devem ser entregues num formato legível, seja num ficheiro pdf ou manuscritos.

O trabalho dos grupos não é só avaliado pos estes trabalhos mas também pelo trabalho desenvolvido nas aulas de problemas, onde pode ser pedida a resolução escrita (ou oral) de problemas. A participação regular nestas aulas é por isso essencial para esta forma de avaliação.

26/09 - Fichas: foi publicada uma nova Ficha de preparação e lista básica de problemas para as aulas da próxima semana. Tanto quanto possível, os exercícios da Ficha de preparação devem ser estudados antes das aulas. Será também publicado ainda hoje um Trabalho de Grupo para ser entregue na aula de dia 01/10.

24/09 - Grupos e Trabalhos: Esta é a lista actual dos Grupos de Trabalho , com a indicação do turno de problemas. Agradeço que me avisem de qualquer erro na lista.

Recordo que os Grupos D, J, M,P devem entregar a versão em papel do primeiro trabalho de Grupo.

22/09 - Foi corrigida uma gralha na pergunta 2 do Trabalho de Grupo. As minhas desculpas.

22/09 - Informação sobre Salas de Estudo em funcionamento.

19/09 - Ficha: foi publicada a Ficha 3.

18/09 - Trabalho de Grupo: O seguinte Trabalho de Grupo , que serve também de preparação para o Mini-Teste de dia 24/09, deve ser entregue até ao início da aula de 24/09, às 09:30. Isto implica que os Grupos de Trabalho devem ser constituídos e comunicados, como combinado, por mensagem.

O Mini-Teste de dia 24/09, quarta-feira, vai realizar-se, como já foi dito, na aula das 09:30; as alunas e alunos que, por motivo de sobreposição de horário, não podem comparecer nesse turno, devem falar comigo na aula de segunda-feira ou por mensagem, para se marcar uma hora alternativa.

11/09 - Ficha: foi publicada a Ficha 2. As próximas aulas de problemas já devem funcionar com trabalho de grupo, pelo que é importante que estes se constituam o mais rapidamente possível.

11/09 - Alteração de salas: Já a partir da próxima aula têm lugar as seguintes alterações de sala: Segunda-feira, 08:00-09:30 - GA2; Quarta-feira, 12:30-14:00 - V0.02.

09/09 - Ficha: foi publicada a Ficha 1. As Fichas contêm uma apresentação resumida de tópicos particularmente relevantes para a resolução dos exercícios (neste caso sobre o Princípio de Indução Finita). Daqui para a frente, estas Fichas serão publicadas com mais antecedência.

02/09 - Primeiras Informações: as aulas iniciam-se na próxima segunda-feira, 08/09; além da apresentação, a primeira parte desta aula inicial será dedicada a dar algumas indicações sobre o funcionamento da Unidade Curricular, complementares à informação já contida nesta página, cuja leitura se recomenda.



Programa

Números naturais e o princípio de indução finita. Números inteiros e o lema da divisão. Divisibilidade e máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Números primos e o teorema fundamental da aritmética. Exemplos de tópicos e problemas da teoria dos números. Congruências. A equação linear numa variável. Teorema chinês dos restos. Potências em aritmética modular e o teorema de Fermat-–Euler. Função de Euler. Raízes em aritmética modular e aplicações. Equações polinomiais com módulo primo. Raízes primitivas e aplicações: o Critério de Euler. A lei da reciprocidade quadrática. Equações com módulo p^k e o lema de Hensel. Funções aritméticas.

Bibliografia

Ao longo do semestre, serão disponibilizadas nesta página fichas de apontamentos como material de apoio ao estudo. Estas fichas não substituem a consulta das referências bibliográficas indicadas.


Durante as aulas serão dadas, à medida que elas se revelem úteis, informações e explicações sobre algumas referências bibliográficas, que permitam aos interessados uma pesquisa mais variada sobre os temas do curso. A lista seguinte é apenas informativa e não se pretende ou sugere uma consulta generalizada. 



  • Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley & Sons, Inc., 1991.

  • Hardy, G.H., Wright, E.M., (Heath-Brown, D.R., Silverman, J.H., rev.), An Introduction to the Theory of Numbers, (6th ed.) Oxford University Press, 2008.

  • Silverman, J.H., A Friendly Introduction to Number Theory, Pearson International Edition, 2005.

  • Bressoud, D., Wagon, S., A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, 2000.

  • Weissman, Martin H.An Illustrated Theory of Numbers, American Mathematical Society, 2017.

  • Graham, R., Knuth, D., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.


Notas de apoio e Fichas de Problemas .


Notas (versão 2021)

Conjuntos, funções, relações. Os Números Naturais.

Aritmética dos Inteiros.

Aritmética Modular I: noções básicas; a equação linear; o Teorema Chinês dos Restos.

Aritmática Modular II: potências e raízes.

Aritmética Modular III: equações modulares não lineares; ordens e raízes primitivas; a Lei da Reciprocidade Quadrática.

Aritmética Modular IV (Notas complementares): uma breve introdução ao Lema de Hensel.



Slides

Os Números naturais e o Princípio de Indução Finita.

Aritmética dos Inteiros.

Congruências. A equação linear.

Teorema Chinês dos Restos.

Potências em aritmética modular: o teorema de Fermat-Euler e aplicações.



Fichas de preparação e Problemas

Ficha 1: Princípio de Indução Finita.

Ficha 2: Do Lema da Divisão ao Teorema Fundamental da Aritmética .

Ficha 3: Primeiras noções de Aritmética Modular; a equação linear.

Ficha 4: Aritmética Modular.

Ficha 5: Aritmética Modular: equações com módulo primo.

Ficha 6: Resíduos Quadráticos e Lei da Reciprocidade Quadrática. O Lema de Hensel.



Exames de anos anteriores: Exame 1 (2022) ,     Exame 1 (2023).

Avaliação

A avaliação de conhecimentos nesta cadeira consiste na realização de dois Mini-Testes de 15 minutos cada (MAP15) e um de 30 minutos (MAP30), em trabalhos de grupo (TG) e um exame de uma hora (E).

Cada Mini-Teste de 15 minutos vale 10% da nota, o Mini-Teste de 30 minutos 20%, os TG valem 20%, e o Exame 40%.

Às alunas e alunos com nota final superior a 17 valores será proposta a realização de uma prova oral que determinará uma nota final igual ou superior a 17 valores. Caso não se apresentem a essa prova oral, a nota final ficará fixada em 17 valores.

As datas destas provas são (em princípio)

MAP15 - 24/09, MAP15 - 08/10, MAP30 - 22/10, E - 30/10.

As alunas e alunos devem organizar-se, o mais rapidamente possível em grupos de trabalho de 4 ou 5 elementos, para a realização dos trabalhos, estudo e preparação das aulas. Aconselha-se que estes grupos de trabalho coincidam, na medida do possível, com os formados para outras Unidades Curriculares, como Matemática Experimental e Elementos de Programação.

Horário de dúvidas

Segunda-feira - 14:30-16:00

Terça-feira - 15:30-17:00

Os horários para esclarecimento de dúvidas decorrem na sala P2.


Pautas

Avaliação Contínua: Testes

Avaliação Contínua: Trabalhos de Grupo

Exame

Avaliação Final