Cálculo Diferencial e Integral II — 2º Semestre de 2017/2018
Engª Aeroespacial



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Sumários das Aulas Teóricas

Semana 1 (19 a 23 de Fevereiro)
I. Topologia e Continuidade de Funções em Rn
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Introdução à análise em Rn. Norma e distância. Bolas abertas em Rn. Pontos interiores, exteriores e fronteiros de um subconjunto de Rn
Aula 2   Subconjuntos abertos e fechados de Rn. Exemplos. Sucessões em Rn. Convergência de sucessões em Rn. Exemplos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Exemplo. Propriedades de sucessões em conjuntos fechados.
Aula 3   Exemplos de campos escalares e vectoriais. Continuidade de funções definidas em subconjuntos de Rn e com valores em Rm. Exemplos.
Aula 4   Limites dos valores de uma função num ponto interior ou fronteiro ao seu domínio. Relação com a continuidade. Exemplos. Limites direccionais.   Coordenadas polares em R2 e aplicação ao cálculo de limites. Exemplos.
Semana 2 (26 de Fevereiro a 2 de Março)
Aula 5   Conjuntos compactos. Propriedades de sucessões em conjuntos compactos. Teorema de Weierstrass. Exemplos de introdução ao teorema do valor intermédio.
Aula 6   Conjuntos separados e conjuntos conexos. Teorema do valor intermédio. Exemplo.
II - Cálculo Diferencial em Rn
Aula 7   Diferenciabilidade de funções definidas em Rn. Exemplo. Derivadas parciais. Exemplo. Matriz jacobiana.
Aula 8   Matriz jacobiana (continuação) e gradiente de um campo escalar. Exemplos. Derivadas direccionais. Exemplos.
Semana 3 (5 a 9 de Março)
Aula 9   Exemplos (continuação). Teorema de Lagrange para campos escalares em Rn
. Introdução à condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplos.
Aula 10   Condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplo. Regra de derivação da função composta. Aplicações.
Aula 11   Mais exemplos de aplicação da regra da derivação da função composta.
Aula 12   Caminhos em Rn e vectores tangentes a caminhos. Exemplos. Conjuntos de nível de campos escalares em Rn, relação de perpendicularidade entre o gradiente e os conjuntos de nível. Rectas normais e planos tangentes a superfícies de nível em Rn. Exemplos.
Semana 4 (12 a 16 de Março)
III - Fórmula de Taylor e Extremos
Aula 13   Derivadas parciais de ordem superior. Teorema de Schwarz. Exemplos.
Aula 14   Fórmula de Taylor para campos escalares em Rn. Exemplos
Aula 15   Extremos de campos escalares em Rn. Condição necessária para um ponto ser extremo de um campo escalar diferenciável. Pontos críticos. Pontos em sela. Exemplos. Matriz Hessiana.
Aula 16   Condições necessárias e suficientes (de segunda ordem) para que um ponto crítico seja um máximo ou mínimo local, ou um ponto em sela. Exemplos.
Semana 5 (19 a 23 de Março)
IV - Integrais Múltiplos
Aula 17   Conclusão da matéria anterior. Intervalos em Rn. Funções em escada
Aula 18   Integrais de funções em escada. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto de Rn.
Aula 19   Propriedades elementares do integral de Riemann. Teorema de Fubini.
Aula 20   Teorema de Fubini (continuação). Exemplos.
26/3/2017 a 30/3/2017     Férias da Páscoa.
Semana 6 (2 a 6 de Abril)
Aula 21   Exemplos.
Aula 22   Integrabilidade das funções limitadas em intervalos compactos, com descontinuidades ao longo de gráficos. Conjuntos simples em Rn. Integrabilidade das funções contínuas e limitadas no interior de um conjunto simples em Rn.
Aula 23   Aplicações do integral ao cálculo de volumes, massas, centros de massa, momentos de inércia.
Aula 24   Mudança de variáveis de integração. Exemplos.
Semana 7 (9 a 13 de Abril)
Aula 25   Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Exemplos.
Aula 26   Exemplos.
Aula 27   Conclusão da matéria anterior.
Aula 28   Conclusão da matéria anterior.
Semana 8 (16 a 20 de Abril)
V - Teoremas da Função Inversa e da Função Implícita
Aula 29   Teorema da função inversa.
Aula 30   Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita
Aula 31   Teorema da função implícita.
Aula 32   Continuação. Exemplos.
21/04/2018 (Sábado)   1º Teste
Semana 9 (23 a 27 de Abril)
VI - Variedades Diferenciais
Aula 32   Curvas em R2 como exemplos de variedades diferenciais em R2. Descrição a partir de um conjunto de nível de uma função e através de uma parametrização. Descrição local como o gráfico de uma função. Espaço tangente e espaço normal.
Aula 33   Definição de variedades diferenciais de dimensão m em Rn através de sistemas de n-m equações em Rn. Descrição local de variedades como gráficos de funções.
25/04/2018, 4ª feira     Feriado.
Aula 34   Parametrizações. Definição geral de variedades diferenciais de dimensão m em Rn. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.
Semana 10 (30 de Abril a 4 de Maio)
Aula 35   Exemplos de variedades diferenciais (conclusão). Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.
01/05/2018, 3ª feira     Feriado.
VII - Integrais de Campos Escalares em Variedades
Aula 36   Definição de integral de linha de um campo escalar. Independência do integral relativamente à parametrização. Exemplos.
Aula 37   Volume-m de um paralelipípedo-m em Rn. Definição de integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-m em Rn. Independência do integral relativamente à parametrização. Exemplos e aplicações ao cálculo de comprimentos, áreas, massas e momentos de inércia.
Semana 11 (7 a 11 de Maio)
VIII - Integrais de Linha de Campos Vectoriais
Aula 38   Integral de linha de um campo vectorial. Trabalho de uma força. Trabalho de uma força constante. Dependência do trabalho do sentido em que a curva é percorrida. Aditividade do trabalho.
Aula 39   Conjuntos conexos por arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Campos gradientes e campos potenciais. Forças conservativas. Lei de conservação da energia. Campo gravítico de Newton.
Aula 40   Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser gradiente. Campos fechados. Cálculo de funções potenciais. Exemplos.
Aula 41   Homotopia de caminhos. Invariância do integral de campos fechados sobre caminhos homotópicos. Conjuntos simplesmente conexos. Campos fechados em conjuntos simplesmente conexos são gradientes. Exemplos.
Semana 12 (14 a 18 de Maio)
Aula 42   Conclusão da matéria anterior.
Aula 43   Teorema de Green.
Aula 44   Exemplos.
IX - Integrais de Campos Vectoriais em Variedades
Aula 45   Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência.
Semana 13 (21 a 25 de Maio)
Aula 46   Conclusão da matéria anterior. Exemplos.
Aula 47   Interpretação geométrica e física da divergência. Orientabilidade de superfícies em R3. Fluxos de campos vectoriais através de superfícies orientáveis em R3.
Aula 48   Conclusão da matéria anterior. Superfícies orientáveis e bordo de uma superfície. Exemplos. Rotacional de um campo vectorial.
Aula 49   Teorema de Stokes. Exemplos do cálculo de fluxos e de aplicação dos teoremas da de Stokes e da divergência.
Semana 13 (28 de Maio a 1 de Junho)
Aula 50   Exemplos do cálculo do trabalho de um campo vectorial por aplicação do teorema de de Stokes. Potencial vectorial. Algumas propriedades da divergência, rotacional e gradiente (por exemplo, rot (grad) =0 e div (rot)=0).
Aula 51   Conclusão da matéria anterior
Aula 52   Revisões
Aula 53   Revisões
11/06/2018 (2ª feira)   2º Teste
02/07/2018 (2ª Feira)   Testes de Recurso / Exame