Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2019/2020
Engª Química, Engª do Ambiente




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Planeamento das Aulas Teóricas


Semana 1 (16 a 20 de Setembro)
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Corpo dos números complexos; representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler.
Aula 2   Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmula de Moivre. Raiz índice n de um número complexo.
Aula 3   Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Funções complexas elementares. Exponencial complexa. Funções polinomiais, funções racionais. Funções trigonométricas. Funções hiperbólicas.
Aula 4   Logaritmo complexo. Ramos da função logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da função potência e valor principal. Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos; continuidade dos ramos do logaritmo.

Semana 2 (23 a 27 de Setembro)
Aula 5   Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann.
Aula 6   Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R²: teorema de Cauchy-Riemann-Goursat: teorema de Cauchy-Riemann-Goursat.
Aula 7   Definição de função holomorfa (ou analítica). Exemplos de funções analíticas. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Analiticidade do logaritmo.
Aula 8   Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Exemplo de determinação de funções harmónicas conjugadas. Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Curva de Jordan. Teorema da curva de Jordan.

Semana 3 (30 de Setembro a 4 de Outubro)
Aula 9   Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimação de integrais. Invariância por reparametrização.
Aula 10   Teorema de Cauchy. Independência do caminho de integração e existência de primitivas em conjuntos conexos. Teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas. Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas).
Aula 11   Fórmula integral de Cauchy e fórmula integral de Cauchy generalizada. As funções analíticas são indefinidamente diferenciáveis. Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.
Aula 12   Sucessões de termos complexos. Limites de sucessões de termos complexos e suas propriedades elementares. Séries numéricas: reais ou complexas. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série.
Semana 4 (7 a 11 de Outubro)
Aula 12   Série geométrica. Séries de potências. Exemplos. Teorema de Abel. Raio de convergência e disco de convergência de uma série de potências. Sucessões e séries de funções.
Aula 13   Convergência uniforme de sucessões e séries de funções. Teste-M de Weierstrass. Limite uniforme da soma de séries de funções contínuas e da soma de séries de funções analíticas. Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência.
Aula 14   Série de Taylor. Teorema de Taylor. Séries de Taylor de algumas funções elementares. Demonstração do Teorema de Taylor.
Aula 15   Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos.

Semana 5 (14 a 18 de Outubro)
Aula 16   Singularidades. Singularidades isoladas. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.
Aula 17   Teorema dos resíduos. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais. Séries de Taylor e o cálculo de limites. Exemplos: regra de Cauchy para indeterminações 0/0.
Aula 18   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Integrais impróprios (reais) de tipo I e tipo II.
Aula 19   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios.

Semana 6 (21 a 25 de Outubro)
Aula 20   Lema de Jordan. Exemplos de cálculo de integrais impróprios com o lema de Jordan.
Aula 21   Conclusão da matéria (para o 1º teste).
Aula 22   Conclusão da matéria.
Aula 23   Conclusão da matéria.

Semana 7 (28 de Outubro a 1 de Novembro)
Aula 24   Exemplos e resolução de problemas.
Aula 25   Exemplos e resolução de problemas.
Aula 26   Exemplos e resolução de problemas.
1/11/2019, 6ª feira     Feriado.
2/11/2019 (Sábado)   1º Teste

Semana 8 (5 a 9 de Novembro)
Aula 27   Classificação das equações diferenciais. Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Exemplo.
Aula 28   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos. Exemplos de equações separáveis (conclusão).
Aula 29   Equações exactas. Exemplos.
Aula 30   Equações redutíveis a exactas. Exemplos.

Semana 9 (11 a 15 de Novembro)
Aula 31   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental. Soluções da equação homogénea.
Aula 32   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo.
Aula 33   Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Definição da exponencial de uma matriz. Série da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Aula 34   Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A diagonalizável. Forma canónica de Jordan de uma matriz.

Semana 10 (18 a 22 de Novembro)
Aula 35   Cálculo de exp(At) no caso geral. Exemplo.
Aula 36   Cálculo de exp(At) no caso geral (conclusão). Resolução da equação não homogénea através da fórmula de variação das constantes. Exemplo.
Aula 37   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução do sistema de 2 equações de 1ª ordem equivalente, matriz companheira, matriz wronskiana, solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
Aula 38   Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana. Equação de ordem n de coeficientes constantes. Polinómio característico, solução geral da equação homogénea e exemplo.

Semana 11 (25 a 29 de Novembro)
Aula 39   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 40   Exemplos de aplicação da fórmula de variação das constantes. Métodos de redução de ordem e exemplos.
Aula 41   Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Funções lipshitzianas e localmente lipshitzianas. Exemplos. Teorema de Picard.
Aula 42   Teorema de Picard (continuação). Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard. Unicidade de solução.

Semana 12 (2 a 6 de Dezembro)
Aula 43   Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição. Comparação de soluções. Exemplo.
Aula 44   Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
Aula 45   Série de Fourier: definição e exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.
Aula 46   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.

Semana 13 (9 a 13 de Dezembro)
Aula 47   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Aula 48   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Aula 49   Conclusão da matéria anterior.
Aula 50   Conclusão da matéria anterior.
14/12/2019 (Sábado)   2º Teste

Semana 14 (16 a 20 de Dezembro)
Aula 51   Definição da transformada de Laplace. Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Aula 52   Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Distribuição Delta de Dirac e aplicações.
Aula 53   Exemplos. Teorema de inversão da transformada de Laplace.
Aula 54   Conclusão da matéria anterior.

15/01/2020 (4ª Feira)   Testes de Recuperação / Exame