Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2019/2020
Engª Química, Engª do Ambiente




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Aulas teóricas

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Planeamento das Aulas Teóricas

Semana 1 (21 a 25 de Setembro)
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da unidade curricular. Soma e produto de números complexos. O corpo dos números complexos.
Aula 2   Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler. Produto e quociente de números complexos na forma polar. Propriedades do módulo.
Aula 3   Fórmula de Moivre. Raiz índice n de um número complexo. Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Funções complexas elementares. Funções polinomiais, funções racionais. Exponencial complexa.
Aula 4   Exponencial complexa (continuação). Funções trigonométricas. Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo. Valor principal do logaritmo.
Semana 2 (28 de Setembro a 2 de Outubro)
Aula 5   Ramos da função logaritmo. Potência de expoente complexo; ramos da função potência e valor principal. Exemplos. Limites de funções complexas de variável complexa. Exemplos.
Aula 6   Continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos. Estudo da continuidade dos ramos do logaritmo. Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann.
Aula 7   Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R²: teorema de Cauchy-Riemann-Goursat (condição necessária e suficiente para a existência de derivada). Definição de função analítica (ou holomorfa). Exemplos de funções analíticas.
Aula 8   Não leccionada.
Semana 3 (5 a 9 de Outubro)
5/10/2020, 2ª feira     Feriado.
Aula 9   Definição de função analítica ou holomorfa. Exemplos de funções analíticas. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Exemplos de funções analíticas elementares.
Aula 10   Derivada da função inversa. Analiticidade dos ramos do logaritmo. Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Exemplo de determinação de funções harmónicas conjugadas.
Aula 11   Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Curva de Jordan. Teorema da curva de Jordan. Definição do integral complexo.
Semana 4 (12 a 16 de Outubro)
Aula 12   Conjuntos conexos e simplesmente conexos. Propriedades elementares do integral complexo: linearidade, aditividade, simetria. Estimação de integrais. Invariância por reparametrização.
Aula 13   Primitiva de uma função complexa. Teorema fundamental do cálculo. Teorema de Cauchy.
Aula 14   Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas). Fórmula integral de Cauchy e fórmula integral de Cauchy generalizada. As funções analíticas são indefinidamente diferenciáveis.
Aula 15   Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra. Sucessões de termos complexos. Limites de sucessões de termos complexos e suas propriedades elementares.
Semana 5 (19 a 23 de Outubro)
Aula 16   Séries numéricas: reais ou complexas. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série.Série geométrica. Séries de potências. Exemplos de cálculo de desenvolvimentos em série de potências de funções racionais, recorrendo à série geométrica.
Aula 17   Teorema de Abel. Raio de convergência e disco de convergência de uma série de potências. Derivação e integração termo a termo de uma série de potências no seu disco de convergência. Discussão dos conceitos usuais de analiticidade e holomorfia. Teorema de Taylor e prova da fórmula integral de Cauchy generalizada.
Aula 18   Séries de Taylor e de Maclaurin. Séries de Taylor de algumas funções elementares. Noção de ordem de um zero de uma função analítica. Exemplos.
Aula 19   Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos. Singularidades. Singularidades isoladas. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.
Semana 6 (26 a 30 de Outubro)
Aula 20   Teorema dos resíduos. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais. Séries de Taylor e o cálculo de limites. Exemplos: regra de Cauchy para indeterminações 0/0. Pólos simples de quocientes de funções analíticas.
Aula 21   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Integrais impróprios (reais) de tipo I e tipo II.
Aula 22   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios.
Aula 23   Lema de Jordan. Exemplos de cálculo de integrais impróprios com o lema de Jordan.
Semana 7 (2 a 6 de Novembro)
Aula 24   Conclusão da matéria anterior. Resolução de problemas.
Aula 25   Resolução de problemas.
Aula 26   Resolução de problemas.
Aula 27   Conclusão da matéria anterior.
Semana 8 (9 a 13 de Novembro)
Aula 28   Classificação das equações diferenciais. Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Exemplo.
Aula 29   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos.
Aula 30   Mais exemplos de equações separáveis. Equações exactas. Exemplos.
Aula 31   Equações redutíveis a exactas. Exemplos.
Semana 9 (16 a 20 de Novembro)
Aula 32   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental.
Aula 33   Soluções da equação homogénea. Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo.
Aula 34   Definição da exponencial de uma matriz. Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Série de potências da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Aula 35   Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A diagonalizável. Forma canónica de Jordan de uma matriz.
Semana 10 (23 a 27 de Novembro)
Aula 36   Cálculo de exp(At) no caso geral. Exemplo.
Aula 37   Cálculo de exp(At) no caso geral (conclusão). Resolução da equação não homogénea através da fórmula de variação das constantes. Exemplo.
Aula 38   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução do sistema de 2 equações de 1ª ordem equivalente, matriz companheira, matriz wronskiana, solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
Aula 39   Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana. Equação de ordem n de coeficientes constantes. Polinómio característico, solução geral da equação homogénea e exemplo.
Semana 11 (30 de Novembro a 4 de Dezembro)
30/11/2020, 2ª feira     Aula suprimida pelo Decreto nº 9/2020.
01/12/2020, 3ª feira     Feriado.
Aula 40   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 41   Exemplos de aplicação da fórmula de variação das constantes. Métodos de redução de ordem e exemplos.
Semana 12 (7 a 11 de Dezembro)
07/12/2020, 2ª feira     Aula suprimida pelo Decreto nº 9/2020.
08/12/2020, 3ª feira     Feriado.
Aula 42   Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
Aula 43   Série de Fourier: definição e exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.
Semana 13 (14 a 18 de Dezembro)
Aula 44   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Aula 45   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Aula 46   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Aula 47   Conclusão da matéria anterior.