Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2020/2021
Engª Química, Engª do Ambiente

Programa

Introdução à Análise Complexa

Números complexos. Séries numéricas, séries absolutamente convergentes. Séries de potências. Funções elementares. Diferenciabilidade de funções holomorfas. Séries de funções, funções analíticas. Integração de funções complexas. Teorema de Cauchy. Homotopia. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Singularidades isoladas. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos. Aplicações do teorema dos resíduos. Integrais impróprios. Valor principal de Cauchy. Teoremas de convergência.

Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias

Equações de primeira ordem: equações lineares com coeficientes constantes, separáveis, exactas, factores de integração. Existência e unicidade de soluções. Extensão de solução. Resolução de sistemas de equações ordinárias lineares. Exponencial de uma matriz. Fórmula de variação das constantes. Equações lineares de ordem superior.

Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

Equação de calor e separação de variáveis. Séries de Fourier. Convergência das séries de Fourier. Solução das equações do calor, das ondas e de Laplace pelo método de separação de variáveis.

Bibliografia

Bibliografia principal

• Luís Barreira, Análise Complexa e Equações Diferenciais, IST Press, 2009
• G. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora, 2003
• Luis T. Magalhães, Métodos de Resolução de Equações Diferenciais e Análise de Fourier com Aplicações, 2013
• Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993

Bibliografia complementar

• Luis T. Magalhães, Análise Complexa de Funções de uma Variável e Aplicações, 2004
• L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.
• João P. Matos, Introdução à Análise Complexa, 2002.
• Gabriel Pires, Notas de Análise Complexa, 1998.

Outros textos relevantes:

• Coimbra de Matos e José Carlos Santos, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2000.
• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis, Cambridge Univ. Press, 1983.
• M. Carreira e M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos, McGraw Hill.
• Fernando P. Costa, Teoria Elementar de Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press, 1998
• William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley 1997.