Análise Complexa e Equações Diferenciais - 1º Semestre 2020/2021

Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica e Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação

Programa

Parte I: Análise Complexa

1. Estrutura algébrica e topológica dos números complexos.
2. Funções elementares.
3. Diferenciabilidade de funções complexas: equações de Cauchy-Riemann, funções harmónicas.
4. Integração de funções complexas: teoremas e fórmulas integrais de Cauchy e suas consequências fundamentais.
5. Séries numéricas. Séries de potências.
6. Singularidades isoladas, séries de Laurent, teorema dos resíduos e aplicações.

Parte II: Equações Diferenciais Ordinárias

1. Equações lineares escalares de primeira ordem, equações separáveis, exactas e factores integrantes.
2. Traçado do gráfico de soluções.
3. Existência, unicidade e extensão de soluções.
4. Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem: exponencial de matrizes e matrizes fundamentais; fórmula da variação das constantes.
5. Equações de ordem superior: a equação característica e a matriz companheira; método de redução de ordem; método dos coeficientes indeterminados.
6. Método da transformada de Laplace e aplicações à resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes.

Parte III: Equações Diferenciais Parciais

1. Método de separação de variáveis; problemas de valor inicial e fronteira.
2. Séries de Fourier, suas propriedades e convergência.
3. Algumas soluções de problemas de valor inicial e fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.