La teoría de integración de Lebesgue se basa en el concepto fundamental de “medida de Lebesgue” el cual es una generalización en R² de la nócion del área. A partir de este concepto se define la noción de integración de Lebesgue y con estas nociones se desarrolla la teoría. Entre las aplicaciones mas resaltantes de la Teoría de Integración de Lebesgue se encuentran el estudio de la convergencia de series de Fourier y el Teorema Fundamental del Cálculo. El curso busca familiarizar al estudiante con los conceptos básicos, principios y métodos de la Teoría de Integración de Lebesgue y sus aplicaciones. Concretamente a la teoría de series y integral de Fourier.

El estudiante comprenderá el concepto de medida y reconocerá ejemplos de subconjuntos medibles y no medibles. Manejará el concepto de integral de Lebesgue y el de funciones integrables según Lebesgue, identificará las diferencias y similitudes con la integral de Riemann. Comprenderá la relación entre diferenciación e integración de Lebesgue. Reconocerá algunas aplicaciones de la Teoría de Integración de Lebesgue a otras áreas de la matemática. Manejará las nociones de convergencia de series de Fourier y la transformación de Fourier.

• Medida exterior
• Conjuntos medibles
• La medida de Lebesgue
• Funciones medibles
• Propiedades básicas y aproximación por funciones simples
• La integral de Lebesgue
• Propiedades básicas y teoremas de convergencia
• Teorema de Fubini
• Diferenciación de la integral
• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Funciones de variación acotada
• Funciones absolutamente contínuas
• Integral de Stieltjes
• Series de Fourier- propiedades elementales
• Integral de Fourier
• Transformación de Fourier, sus propriedades y sus aplicaciones

• Clase magistral presentada por el profesor;
• Desarrollo de ejercicios seleccionados por parte del profesor;
• Sección semanal de ejercicios para el estudiante;
• Exposiciones de algunos ejercicios y discusiones grupales.

Tres evaluaciones parciales cada una con un valor del 25%.
Tareas, 20%
Presentación oral de un tema 5%

• Kolmogorov, A., Fomin, S.V.: Elements of the theory of functions and Functional Analysis, Dover books on mathematics, 1999.
• Stein, E., R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princenton Lectures in Analysis, Princenton University Press, 2005.
• Jones, F: Lebesgue Integration on Euclidean Spaces, Jones and Bartlett Books in Mathematics, 2000
• Titchmarsh, E.C.: The Theory of Functions, Oxford University Press 1939,