Sumários das Aulas Teóricas
27/Fev |
Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Revisões de Lógica. (ler os textos de apoio
Lógica e
Teoria de Conjuntos)
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1/Mar
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Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas. Axiomas de ordem e algumas propriedades. (ler páginas 17 a 27 de [1])(Acetatos).
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2/Mar |
Os conjuntos N,Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita. O método de indução; exemplos. A "suspeita" da existência de números irracionais. (ler páginas 27 a 30 de [1]).
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6/Mar |
Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo. (ler páginas 31 a 36 de [1])(Acetatos).
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8/Mar |
Algumas consequências do Axioma do Supremo: N não é um conjunto majorado, a propriedade arquimedeana e a existência de números irracionais. Radiciação em R. Densidade de Q e R\Q em R. (ler páginas 38 a 41, 47 a 50 de [1]).
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9/Mar |
Sucessões reais; sucessões limitadas. Exemplos. sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite. (ler páginas 80 a 87 e 91 a 95 de [1]. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).
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13/Mar |
Propriedades algébricas do limite. Sucessão de Cauchy. A noção de limite e a relação de ordem. Exemplos. (ler páginas 98 a 101 de [1]). |
15/Mar |
Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. (ler páginas 96, 97, 102, 105 e 106 de [1]). |
16/Mar |
Noção de subsucessão. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Exemplos. Caracterização do conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada. Limite inferior e limite superior de uma sucessão limitada. (ler páginas 115 (Teorema 15), 118, 120 a 122 de [1]). |
20/Mar |
A recta acabada e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta acabada. Caracterização do conjunto dos sublimites de uma sucessão real na recta acabada. Exemplos. (ler páginas 124 a 132, 134 e 135 de [1])(Acetatos). |
22/Mar |
Indeterminações. Exemplos. (ler páginas 136 a 143 de [1])(Acetatos). |
23/Mar |
Continuação da aula anterior. Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas. Exemplos. (ler páginas 155 a 158 e 231 a 236 de [1])(Acetatos). |
27/Mar |
Exemplos importantes (funções elementares). Função inversa. Funções pares e funções ímpares. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos. (ler páginas 236 a 240, 247 a 249, 265 a 266 e 270 a 273 de [1]). |
29/Mar |
Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). Exemplos. Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais. (ler páginas 274 a 280 de [1]). |
30/Mar |
Composição de funções e a continuidade da função composta. A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). Exemplos. O prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite. Exemplos. Propriedades do limite. (ler páginas 281, 283 a 289 e 291 a 294 de [1]). |
3/Abr |
Propriedades do limite (continuação). Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos. (ler páginas 295 a 297, 300 a 304 de [1]. |
12/Abr |
Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários.Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. (ler páginas 310 a 318 de [1]. |
13/Abr |
Teorema de Weierstrass. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). Derivadas laterais. (ler páginas 319 e 347 a 354 de [1].). |
17/Abr |
Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade. Função derivada. Regras de derivação. Exemplos. Teorema da derivada da função composta: exemplos. (ler páginas 356 a 364 de [1].). |
19/Abr |
Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes. Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. (ler páginas 365 a 369 e 373 a 375 de [1].). |
20/Abr |
Revisões. |
24/Abr |
Teoremas de Rolle e de Lagrange e alguns corolários. Exemplos de aplicação. Teorema de Cauchy. (ler páginas 376 a 377, 380 a 382 e 385 de [1]). |
26/Abr |
Regra de Cauchy e alguns exemplos. Derivadas de ordem superior à primeira. Exemplos. (ler páginas 386 a 393 de [1]). |
27/Abr |
Funções de classe Cn(A) e funções indefinidamente diferenciáveis. Regras de derivação. Exemplos. Teorema de Taylor. Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exemplos. (ler páginas 395 a 397, 406 a 408 de [1]). |
3/Mai |
Aplicações da Fórmula de Taylor à determinação de extremos, convexidade e inflexões. Exemplos. Primitivação: definição de primitiva para uma função real definida num intervalo, problema de Cauchy. Exemplos. (ler páginas 436 a 441 e 466 a 470 de [1]). |
4/Mai |
Primitivação imediata. Exemplos. Primitivação por partes. Exemplos. (ler páginas 471 a 474 de [1]). |
8/Mai |
Primitivação por substituição. Exemplos. (ler páginas 475 a 497 de [1] e “Exemplos de primitivação de funções racionais”). |
10/Mai |
Continuação da aula anterior. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux. Integral de Riemann. Definição e exemplos. (ler páginas 511 a 518 de [1]). |
11/Mai |
Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. Propriedades do integral: linearidade e monotonia. Integrabilidade do módulo de uma função integrável. (ler páginas 519 a 527 de [1]). |
15/Mai |
Decomposição do integral e integrabilidade das funções contínuas. Exemplos. (ler páginas 527 a 532 de [1]). |
17/Mai |
O 1º Teorema da Média e a continuidade do integral indefinido. Teorema Fundamental do Cálculo. Exemplos. (ler páginas 536 a 541 de [1]). |
18/Mai |
Algumas consequências do Teorema Fundamental do Cálculo. A Regra de Barrow. Exemplos. (ler páginas 541 a 546 de [1]). |
22/Mai |
Integração por partes. Exemplos. Integração por substituição. Exemplos. (ler páginas 546, 549 a 551 de [1]). |
24/Mai |
Continuação da aula anterior. Determinação de áreas de conjuntos planos. Exemplos. (ler páginas 549 a 551 e 578 a 581 de [1]). |
25/Mai |
Funções transcendentes elementares: logaritmo, exponencial e funções hiperbólicas. Séries numéricas: Definição e primeiros exemplos. |
29/Mai |
Séries de termos não negativos: Critério Geral de Comparação. Exemplos. |
31/Mai |
Séries de termos não negativos: Critério da razão e Critério do integral. Convergência das séries de Dirichlet. Exemplos. |
1/Jun |
Séries absolutamente convergentes e simplesmente convergentes. Exemplos. Séries de potências. Domínio de convergência e raio de convergência. Exemplos. |
5/Jun |
Exemplos de aplicação de séries de potências: A série de Taylor de algumas funções elementares. Resolução de exercícios sobre séries reais. |
8/Jun |
Resolução de exercícios de revisão sobre primitivação e cálculo integral. |