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PARTE I: Integrais
Múltiplos
Semana 1 Introdução aos integrais múltiplos. Funções em escada e integrais de funções em escada. Definição e propriedades de conjuntos de medida nula. Funções limite superior. Funções integráveis e integral. Propriedades e exemplos.
Semana 2 Teorema de Fubini. Cálculo de integrais.
Semana 3 Teorema da transformação de coordenadas de integração. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Semana 4 Aplicação ao cálculo de volumes, centróides, massas (cargas eléctricas), centros de massa e momentos de inércia.
PARTE II: Curvas e Integrais de linha
Semana 5 Curvas e caminhos. Integral de linha de um campo escalar, aplicações. Integral de linha de um campo vectorial, aplicações.
Semana 6 Conjuntos conexos por arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Campos gradientes e campos potenciais; condições necessárias e suficientes para que um campo vectorial seja gradiente; campos fechados; cálculo de funções potenciais.
Semana 7 Homotopia; invariância de integrais de campos fechados sobre caminhos homotópicos, conjuntos simplesmente conexos. Teorema de Green.
PARTE III: Teoremas da Função Inversa e Implícita
Semana 8 Teorema da função inversa. Teorema da função implícita.
PARTE IV: Variedades Diferenciáveis
Semana 9 Variedades diferenciáveis; parametrizações; variedades como gráicos de funções e como conjuntos de nível; variedades definidas por equações cartesianas. Espaço tangente e espaço normal.
Semana 10 Extremos condicionados; método dos multiplicadores de Lagrange.
PARTE V: Integrais em Variedades
Semana 11 Integrais em variedades e aplicações.
PARTE VI: Teoremas da Divergência e de Stokes
Semana 12 Orientabilidade de superf’cies em R^3. Fluxos de campos vectoriais através de superfícies em R^3. Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência. Interpretação geométrica e física da divergência. Lei de Gauss.
Semana 13 Orientação consistente da fronteira da superfície. Teorema de Stokes em R^3. Cálculo de potenciais vectores. Interpretação geométrica e física do rotacional. Propriedades da divergência, rotacional e gradiente.
Equações de Maxwell. Leis de Ampére, Faraday.
PARTE VII: Complementos de Cálculo Integral e Aplicações
Semana 14 Teorema da convergência monótona de Levi. Teorema da convergência dominada de Lebesgue. Continuidade e diferenciação de funções definidas por integrais. Regra de Leibniz.
Bibliografia
Anton, Bivens & Davies, Calculus, John Wiley, 2002.
T. Apostol, Calculus II, John Wiley, 1967.
L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Ed., 1996.
L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Ed., 1993.
G. Pires, Textos de Apoio em http://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/textos.htm
Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965.
Stewart, Cálculo II, Thomson Learning, 1999.
As referências principais são as de L. Magalhães e a de Spivak. Os Textos de Apoio de G. Pires são uma excelente referência e contêm muitos exercícios úteis.
Anton, Bivens & Davies, Calculus, John Wiley, 2002.
T. Apostol, Calculus II, John Wiley, 1967.
L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Ed., 1996.
L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Ed., 1993.
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Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965.
Stewart, Cálculo II, Thomson Learning, 1999.
As referências principais são as de L. Magalhães e a de Spivak. Os Textos de Apoio de G. Pires são uma excelente referência e contêm muitos exercícios úteis.