Cálculo Diferencial e Integral III — 1º Semestre de 2026/2027
Engas do Ambiente, Biológica, Biomédica, de Materiais e Química




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Planeamento das Aulas Teórico-Práticas

Nota: poderá sofrer ajustes
Semana 1 (7 a 11 de Setembro)
Aula 1   Definições de superfície em R³. Caso particular dos planos. Plano tangente e recta normal. Exemplos de Superfícies. Produto Externo. Propriedades elementares do produto externo.
Aula 2   Definição do integral de superfície. Exemplos de cálculo de integrais de superfície. Divergência e rotacional de um campo vectorial. Algumas propriedades da divergência, rotacional e gradiente como, por exemplo, rot (grad f) =0 e div (rot f)=0.
Semana 2 (10 a 14 de Setembro)
Aula 3   Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência. Exemplos. Interpretação física da divergência. Problemas de aplicação do teorema da divergência.
Aula 4   Superfícies orientáveis. Bordo de uma superfície. Teorema de Stokes.
Semana 3 (21 a 25 de Setembro)
Aula 5   Teorema de Stokes (cont.). Exemplos do cálculo de fluxos e de aplicação dos teoremas da de Stokes e da divergência. Exemplos do cálculo do trabalho de um campo vectorial por aplicação do teorema de de Stokes.
Aula 6   Resolução de problemas sobre o teorema de Stokes (cont.). Potenciais vectoriais e teorema de Stokes. Exemplos e resolução de problemas.
Semana 4 (28 de Setembro a 3 de Outubro)
Aula 7   Conclusão da matéria anterior.
Aula 8   Classificação das equações diferenciais. Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Resolução de alguns exemplos.
Semana 5 (5 a 9 de Outubro)
5 de Outubro --- Feriado  
Aula 9   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos.
Aula 10   Equações exactas. Exemplos. Equações redutíveis a exactas. Exemplos e resolução de problemas.
Semana 6 (12 a 18 de Outubro)
Aula 9   Conclusão da matéria anterior e exemplos. Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Exemplos. Teorema de Picard.
Aula 10   Teorema de Picard (cont.). Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard. Unicidade de solução. Teorema de extensão de solução. Teorema de comparação de soluções. Exemplos.
Semana 7 (19 a 21 de Outubro)
Aula 11   Conclusão da matéria e resolução de problemas.
3ª feira, 20/10/2026, 18h: 1º Teste de Avaliação Contínua
22 a 30 de Outubro
Interrupção lectiva:   Exames do 1º Período
Semana 8 (2 a 6 de Novembro)
Aula 12   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres. Equação homogénea de ordem n de coeficientes constantes; polinómio característico e solução geral da equação. Exemplos.
Aula 13   Equações vectoriais (ou sistemas) de equações lineares de 1ª ordem no caso homogéneo; cálculo da solução geral reduzindo (por substituição) a uma equação linear homogénea de ordem $n$. Exemplos.
Semana 9 (9 a 13 de Novembro)
Aula 14   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental. Soluções da equação homogénea.
Aula 15   Fórmula da variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo. Definição da exponencial de uma matriz. Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Série de potências da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Semana 10 (16 a 20 de Novembro)
Aula 16   Cálculo de exp(At). Exemplo. Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Matriz wronskiana. Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 17   Conclusão da matéria anterior.
Semana 11 (23 a 27 de Novembro)
Aula 18   Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas. Série de Fourier: definição e exemplos.
Aula 19   Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos. Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Semana 12 (30 de Novembro a 4 de Dezembro)
Aula 20   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis.
1 de Dezembro --- Feriado  
Aula 21   Resolução do problema de valor inicial e de fronteira para a equação das ondas. Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis. Exemplos.
Semana 13 (7 a 11 de Dezembro)
Aula 22   Resolução de exercícios sobre equações diferenciais parciais e séries de Fourier.
8 de Dezembro --- Feriado  
Aula 23   Definição da transformada de Laplace. Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Semana 14 (14 a 18 de Dezembro)
Aula 25   Transformada de Laplace da convolução. Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Alguns exemplos.
Aula 26   Resolução de problemas.
4ª feira, 17/12/2026, 18h: 2º Teste de Avaliação Contínua
21 de Dezembro a 1 de Janeiro)
Interrupção lectiva:   Férias de Natal.