Cálculo Diferencial e Integral II — 2º Semestre de 2021/2022
Engª Mecânica, Engª Naval



Sumários das Aulas Leccionadas

Pode consultar os sumários das aulas leccionadas no arquivo do fénix.


Planeamento dos Sumários das Aulas

Semana 1 (7 a 11 de Março)
I. Topologia de ℝn, sucessões, funções, limites e continuidade
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Introdução à análise em ℝn. Norma e distância. Bolas abertas em ℝn. Pontos interiores, exteriores e fronteiros de um subconjunto de ℝn. Subconjuntos abertos e fechados de ℝn. Exemplos. Sucessões em ℝn. Convergência de sucessões em ℝn. Exemplos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Exemplo. Propriedades de sucessões em conjuntos fechados.
Aula 2   Exemplos de campos escalares e vectoriais. Continuidade de funções definidas em subconjuntos de ℝn e com valores em ℝm. Exemplos. Limites dos valores de uma função num ponto interior ou fronteiro ao seu domínio. Relação com a continuidade. Exemplos. Limites direccionais.   Coordenadas polares em ℝ2 e aplicação ao cálculo de limites. Exemplos.
Semana 2 (14 a 18 de Março)
Aula 3 Conclusão da matéria anterior. Conjuntos limitados e conjuntos compactos.   Discussão da ficha de problemas nº 1.
II - Cálculo Diferencial em Rn
Aula 4   Diferenciabilidade de funções definidas em ℝn. Exemplo. Derivadas parciais. Exemplo. Matriz jacobiana. Gradiente de um campo escalar. Exemplos. Derivadas direccionais. Exemplos. Teorema de Lagrange para campos escalares em Rn. Condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplo. Micro-teste 1.
Semana 3 (21 a 25 de Março)
Aula 5   Conclusão da matéria anterior. Discussão da ficha de problemas nº 2. Regra de derivação da função composta. Aplicações; derivada da soma, diferença, produto e quociente.
Aula 6   Regra da cadeia. Mais exemplos de aplicação da regra da derivação da função composta. Caminhos em Rn e vectores tangentes a caminhos. Exemplos. Conjuntos de nível de campos escalares em Rn, relação de perpendicularidade entre o gradiente e os conjuntos de nível. Rectas normais e planos tangentes a superfícies de nível em Rn. Exemplos. Micro-teste 2.
Semana 4 (28 de Março a 1 de Abril)
III - Teorema do Valor Intermédio, Funções Ck, Fórmula de Taylor, Pontos Críticos
Aula 7   Discussão da ficha de problemas nº 3. Conjuntos separados e conjuntos conexos. Teorema do valor intermédio. Exemplo. Derivadas parciais de ordem superior. Teorema de Schwarz. Exemplos. Extremos de campos escalares em Rn. Propriedades de sucessões em conjuntos compactos. Teorema de Weierstrass.
Aula 8   Conclusão da matéria anterior. Introdução à fórmula e Taylor para campos escalares em Rn. Exemplos.
Condição necessária para um ponto ser extremo de um campo escalar diferenciável. Pontos críticos. Pontos em sela. Exemplos. Matriz Hessiana. Micro-teste 3.
Semana 5 (4 a 8 de Abril)
Aula 9   Critério de segunda ordem para a classificação de um ponto crítico como máximo ou mínimo local, ou ponto em sela. Exemplos. Discussão da ficha de problemas nº 4.
IV - Teoremas da Função Inversa e da Função Implícita. Extremos Condicionados.
Aula 10   Teorema da função inversa. Exemplos. Funções implicitamente definidas. Exemplos. Micro-teste 4.
Semana 6 (11 a 15 de Abril)
Aula 11   Teorema da função implícita. Exemplos. Discussão de ficha de problemas nº 5.
Aula 12   Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.
Semana 7 (18 a 22 de Abril)
Aula 13   Discussão da ficha de problemas nº 6.
Aula 14   Conclusão da matéria anterior. Micro-teste 5
25/4/2022 a 6/5/2022     Interrupção Lectiva.
Semana 8 (9 a 13 de Maio)
V - Integrais Múltiplos
Aula 15   Revisões sobre extremos condicionados. Intervalos em Rn. Funções em escada. Integrais de funções em escada. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto de Rn.
Aula 16   Propriedades elementares do integral de Riemann. Teorema de Fubini. Micro-teste 6.
Semana 9 (16 a 20 de Maio)
Aula 17   Teorema de Fubini (continuação). Exemplos. Discussão de problemas da ficha nº 7.
Aula 18   Integrabilidade das funções limitadas em intervalos compactos, com descontinuidades ao longo de gráficos. Conjuntos simples em Rn. Integrabilidade das funções contínuas e limitadas no interior de um conjunto simples em Rn. Aplicações do integral ao cálculo de volumes, massas, centros de massa, momentos de inércia.
Semana 10 (23 a 27 de Maio)
Aula 19   Integrabilidade das funções contínuas. Conjuntos de conteúdo nulo e integrabilidade. Discussão de problemas das ficha nº 7 (cont.)
Aula 20   Mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Micro-teste 7.
Semana 11 (30 de Maio a 3 de Junho)
Aula 21   Exemplos de mudança de variáveis de integração. Discussão de problemas da ficha nº 8.
Aula 22   Regra de Leibniz. Exemplos. Discussão de problemas da ficha nº 8. Micro-teste 8.
Semana 12 (6 a 10 de Junho)
VI - Integrais de Linha de Campos Vectoriais
Aula 23   Integral de linha de um campo escalar. Propriedades elementares e aplicações. Integral de linha de um campo vectorial. Trabalho de uma força. Trabalho de uma força constante. Propriedades elementares (dependência do trabalho do sentido em que a curva é percorrida; aditividade; simetria). Micro-teste 9.
Aula 24   Discussão da ficha de problemas nº 9. Conjuntos conexos por arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Semana 13 (13 a 17 de Junho)
Aula 25   Campos gradientes e potenciais escalares. Forças conservativas. Lei de conservação da energia. Campo gravítico de Newton. Condição necessária e suficiente para um campo vectorial ser gradiente. Campos fechados. Cálculo de funções potenciais. Exemplos.
Aula 26   Discussão da ficha de problemas nº 10. Homotopia de caminhos. Invariância do integral de campos fechados sobre caminhos homotópicos. Conjuntos simplesmente conexos. Campos fechados em conjuntos simplesmente conexos são gradientes. Exemplos.
Semana 14 (20 a 24 de Junho)
Aula 27   Teorema de Green. Exemplos. Discussão de problemas da ficha nº 11.
Aula 28   Discussão de problemas da ficha nº 11 (cont.). Micro-teste 10.
04/07/2022 (2ª feira)   Exame 1ª Época
18/07/2022 (2ª Feira)   Exame de Recurso