Geometria Diferencial — 1º Semestre de 2013/2014

Avisos

Esta cadeira vai funcionar em regime tutorial. O objectivo é ler o texto Lições de Geometria Diferencial, por Rui Loja Fernandes.

Para a primeira aula (26/9) devem ler as lições 1 e 2, e resolver a primeira ficha de trabalhos de casa.

Para a segunda aula (3/10) devem ler as lições 3 e 4, e resolver a segunda ficha de trabalhos de casa.

Para a terceira aula (10/10) devem ler as lições 5 e 6, e resolver a terceira ficha de trabalhos de casa.

Para a quarta aula (17/10) devem ler as lições 7 e 8, e resolver a quarta ficha de trabalhos de casa.

Para a quinta aula (24/10) devem ler as lições 9 e 10, e resolver a quinta ficha de trabalhos de casa.

Para a sexta aula (31/10) devem ler as lições 11 e 12, e resolver a sexta ficha de trabalhos de casa.

Para a sétima aula (14/11) devem ler as lições 13 e 14, e resolver a sétima ficha de trabalhos de casa.

Para a oitava aula (21/11) devem ler as lições 15 e 16, e resolver a oitava ficha de trabalhos de casa.

Para a nona aula (28/11) devem ler as lições 17 e 18, e resolver a nona ficha de trabalhos de casa.

Para a décima aula (5/12) devem ler as lições 19 e 20, e resolver a décima ficha de trabalhos de casa.

Para a décima primeira aula (12/12) devem ler as lições 21 e 22, e resolver a décima primeira ficha de trabalhos de casa.

Para a última aula (6/1) devem ler as lições 23, 24 e 25, e resolver a última ficha de trabalhos de casa.

Vejam aqui aplicações das conexões em fibrados vectoriais à Física de Partículas.

Cliquem aqui para aprenderem mais sobre geometria complexa.

Podem ver aqui umas notas sobre fibrados de spin e o Teorema de Atiyah-Singer.

Programa

Fundamentos de Variedades Diferenciáveis: Variedades, partições da unidade, espaço tangente. Submersões, imersões, subvariedades, teorema de Whitney. Folheações, quocientes.

Teoria de Lie: Campos vectoriais, parêntesis de Lie, derivada de Lie. Distribuições e Teorema de Frobenius. Grupos de Lie, álgebras de Lie, acções.

Formas Diferenciais: Álgebras tensorial e exterior, formas diferenciais. Fórmula de Cartan, cohomologia de de Rham, lema de Poincaré. Orientação, integração em variedades, homotopia. Teorema de Stokes, sequência de Mayer-Vietoris, aplicações.

Fibrados: Fibrados vectoriais, conexões, curvatura, métricas. Transporte paralelo, variedades Riemannianas, geodésicas. Classes características, teoria de Chern-Weil. Teorema de Gauss-Bonnet, fibrados principais, conexões de Ehresmann.

Bibliografia

• R. L. Fernandes, Lições de Geometria Diferencial

• Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer (1983)
• Bott e Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer (1986)
• Kobayashi e K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry (2 vols.), John Wiley & Sons (1996)

Avaliação

Testes: 2 testes com peso de 35% na nota final; poderão ser repetidos para melhoria de nota.

Trabalhos de casa: Fichas semanais, com peso de 30% na nota final.

Exercícios

• Semana 1 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 26 de Setembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 2 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 3 de Outubro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 3 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 10 de Outubro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 4 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 17 de Outubro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 5 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 24 de Outubro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 6 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 31 de Outubro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 7 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 14 de Novembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 8 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 21 de Novembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 9 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 28 de Novembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 10 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 5 de Dezembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 11 (a entregar até à aula de Quinta-feira, dia 12 de Dezembro) e a resolução do João Martins dos Santos.
• Semana 12 (a entregar até à aula de Segunda-feira, dia 6 de Janeiro) e a resolução do João Martins dos Santos.

Podem encontrar mais exercícios nas páginas de Geometria Diferencial de:

• 2005/2006
• 2004/2005
• 2003/2004
• 2002/2003
• 2001/2002
• 2000/2001
• 1999/2000

Testes

• 1º Teste
• 2º Teste
• Recuperação do 1º Teste
• Recuperação do 2º Teste