Análise Matemática I, 2002/2003 (1º semestre)

Avisos e novidades

• As actividades da disciplina estão encerradas e esta página passa à condição de arquivo. Os resultados finais correspondem a:
  • Inscritos (excluindo melhorias): 60
  • Avaliados (excluindo melhorias): 53
  • Aprovados (excluindo melhorias): 38
  • Aprovados/Avaliados (excluindo melhorias): 71,7%
• A versão final das pautas está disponível. As notas foram lançadas na Secretaria do IST. Não deverá haver anomalias com inscrições na segunda feira dia 17/2. Até dia 19!
• O 2º exame realizou-se no dia 29/1/2003 às 9 horas na sala Ga3. O enunciado está disponível. Não será publicada solução (embora exista uma solução para a versão do enunciado para os outros cursos na página de AMI do Prof. José Matias).
• O enunciado e comentário à solução do 2º teste/1º exame está disponível com correcções (uma alínea estava resolvida para a intersecção com os racionais em vez de complementar, e um 2 no meio dos cálculos de uma derivada no grupo V era perdido e miraculosamente reencontrado algumas alíneas à frente). Idem para a versão para cursos que realizaram provas às 9 h e não são Eng. Aeroespacial.
• Os resultados do 1º exame e 2º teste incluindo revisão de provas estão disponíveis. A revisão de provas realizou-se às 16 horas do dia 27/1 na sala de dúvidas.
• O enunciado e comentário à solução do 2º teste/1º exame está disponível.
• As classificações de avaliação contínua constam da pauta.
• O 2º teste/1º exame realizou-se no dia 15/1 às 9 horas.
• Realizou-se uma aula prática extraordinária para Aeroespacial no dia 7 de Janeiro às 16 horas (mudado devido a teste de Materiais) na sala C9. Até lá Boas Festas e estudem!
• A revisão de provas do 1º teste realizou-se no dia 18 das 10 às 11h e das 16 às 17h na sala de dúvidas do Departamento de Matemática. Os resultados constam da pauta.
• Os resultados do 1º teste estão disponíveis.
• O enunciado e resolução do 1º teste encontra-se disponível.
• A aula prática do dia 4/12 da turma 13101 passou para o dia 5/12 às 14h no V116.
• Resultados das provas de aferição realizadas na Alameda e no TagusPark. Estas pautas supostamente corrigem os problemas de leitura óptica que afectaram a publicação dos resultados de alguns alunos.
• O 1º teste do dia 30 de Novembro foi realizado às 9 horas.
• A partir de 13 de Novembro a aula prática da turma 13101 decorre na sala V117.
• A partir de 23 de Outubro (foi adiado uma semana devido a actividades da disciplina de Desenho) as turmas práticas de Aeroespacial passam a funcionar separadamente: 13101 à 4ª feira das 12 às 14h na sala C23, 13102 mantém 5ª feira das 10 às 12h na sala F2.
• O 1º teste realizar-se-á dia 30 de Novembro.
• Devido a motivos pessoais a aula de dúvidas do dia 15 de Outubro não pode ser assegurada. Os alunos afectados deverão combinar com o Prof. responsável um período alternativo se necessário.
• Um horário de dúvidas global de Análise Matemática I está disponível.
• As regras de avaliação de conhecimentos estão disponíveis.
• As aulas teóricas passaram a decorrer no Qa.
• As actividades da disciplina iniciaram-se de acordo com o calendário escolar do IST na semana de 30 de Setembro. Isto inclui aulas teóricas e aulas práticas.

Esta página refere-se exclusivamente a Análise Matemática I de Eng. Aeroespacial no 1º semestre de 2002/2003 para alunos entrados na primeira fase de colocações ou repetentes. Não é aplicável a outras licenciaturas, anos lectivos ou alunos entrados na segunda fase de colocações.

Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática. Esta página não pretende ensinar Matemática mas tão somente disponibilizar informação de uma forma eficiente.

Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular. Esta é uma mudança de perspectiva essencial relativamente àquilo que é hábito para a maioria dos alunos.

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

• Apostol, T. M., Mathematical Analysis, second edition.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis.
• Spivak, M., Calculus.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II (não contém diferenças significativas em relação à versão 2001/2002). Este texto servirá como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência para este tópico (versão para consultar on-line, versão para imprimir).

Planeamento e sumários

1. Apresentação. (30/9/2002).
2. A axiomática dos números reais: axiomas de corpo, ordem, naturais, racionais. (1/10/2002).
3. O axioma do supremo. Consequências elementares do axioma do supremo: existência da raiz quadrada de 2,... (2/10/2002).
4. Consequências elementares do axioma do supremo (cont.): N não é limitado, propriedade arquimedeana, existência da raiz quadrada de 2,... (7/10/2002).
5. Sucessões: noção de limite, exemplos, convergência das sucessões monótonas limitadas. Subsucessões. (8/10/2002).
6. Existência de uma sucessão cujo contradomínio são os racionais e não existência de uma sucessão cujo contradomínio sejam os reais (caso particular de aplicação do princípio de encaixe). O princípio de encaixe. Pontos de acumulação. Teorema de Bolzano-Weierstrass. (9/10/2002).
7. Cardinalidade. Conjuntos finitos, infinitos, contáveis, não contáveis. A densidade dos racionais e dos irracionais em R (14/10/2002).
8. Sucessões: limite e operações algébricas, limites infinitos, exemplos (incluindo xⁿ e soma dos n primeiros termos duma progressão geométrica). (15/10/2002).
9. Sucessões: exemplos, alguns resultados provados por indução, (a_n^1/p),... (16/10/2002).
10. Sucessões: exemplos, limite de c^1/n, sucessões convergindo para e, se uma sucessão converge então a sucessão das médias aritméticas converge,...(21/10/2002)
11. Sucessões de Cauchy. Sucessões: exemplos, se uma sucessão de termos não negativos converge então a sucessão das médias geométricas converge, relação entre a convergência de a_n+1/a_n e a_n^1/n... (22/10/2002)
12. Sucessões: exemplos. Séries: sucessão de somas parciais, convergência. Séries de termos não negativos, séries telescópicas (de Mengoli) e série geométrica, limite do termo geral nulo como condição necessária de convergência. (23/10/2002)
13. Séries: critério geral de comparação, séries harmónicas. (28/10/2002)
14. Séries: critério geral de comparação, corolários por comparação com séries geométricas. (29/10/2002)
15. GREVE (30/10/2002)
16. Séries: convergência absoluta, critério de Leibniz. Menção do critério de Dirichlet. (4/11/2002)
17. Séries de potências. Raio de convergência. Exemplos incluindo funções exponencial, seno e cosseno. (5/11/2002)
18. Produto de séries. Convergência absoluta e produto, reordenação e agrupamento de termos de séries. (6/11/2002)
19. Estimativa do resto de séries. Funções: definição de continuidade, continuidade à Heine, continuidade e operações algébricas. (11/11/2002)
20. Continuidade à Heine (cont.). Continuidade da composição de funções contínuas. (12/11/2002)
21. O teorema do valor intermédio. Continuidade da inversa de uma função contínua. A exponencial e o logaritmo. (13/11/2002)
22. O teorema de Weierstrass. A noção de limite. (18/11/2002)
23. Limites. Convergência uniforme de sucessões e séries. (19/11/2002)
24. Convergência uniforme. Aplicação à continuidade das séries de potências. Continuidade das funções trigonométricas. Definição de Pi usando a continuidade do cosseno e o teorema do valor intermédio. (20/11/2002)
25. A noção de derivada. Diferenciabilidade implica continuidade. Derivação e operações algébricas. (25/11/2002)
26. Derivada da exponencial, seno e cosseno. Teorema de derivação da função composta. Introdução ao problema de derivação da inversa de uma função diferenciável. (26/11/2002)
27. Alguns tópicos suplementares ao jeito de revisão: sucessões contractivas, subaditividade do limite máximo, etc. Nota: estes tópicos não são considerados como obrigatórios. (27/11/2002)
28. Continuidade e limite de funções monótonas num intervalo. Cardinalidade do conjunto de pontos de descontinuidade. Demonstração do teorema de continuidade da inversa. Demonstração do teorema de derivação da função inversa. A derivada da função arctg. (2/12/2002)
29. As funções trigonométricas inversas e as suas derivadas. As funções hiperbólicas e as suas inversas. Monotonia e sinal da derivada: crescimento num intervalo implica derivada não negativa, o sinal da derivada num ponto não implica monotonia numa vizinhança. (3/12/2002)
30. Os teoremas de Rolle e Lagrange. Derivada não negativa num intervalo implica crescimento. Esboço de gráfico de funções. Definição de função convexa. (4/12/2002)
31. Convexidade e segunda derivada. Derivadas de ordem superior à primeira. Esboço de gráficos de funções. (9/12/2002)
32. GREVE (10/12/2002)
33. Teorema de Cauchy e regra de Cauchy para levantamento de indeterminações (11/12/2002)
34. Regras de Cauchy e L'Hôpital. (16/12/2002)
35. Inquéritos pedagógicos.
    Teorema de Darboux. (17/12/2002)
36. Complementos vários ao cálculo diferencial: assímptotas, limite da derivada e continuidade implica diferenciabilidade,... (18/12/2002)

Linhas com a data indicada a amarelo correspondem a planeamento. Linhas com a data indicada a verde correspondem ao que efectivamente foi leccionado. Linhas com a data indicada a vermelho correspondem a aulas canceladas.

O programa mínimo oficial desta disciplina encontra-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo. À medida que as aulas decorrerem o planeamento ir-se-á convertendo em sumários das aulas teóricas.

Corpo docente

A aula teórica e a aula prática são leccionadas pelo Professor responsável. A aula teórica inclui alunos de Eng. Electrotécnica. O responsável pelo curso de Eng. Electrotécnica é o Prof. José Matias. Obviamente que os dois responsáveis têm um planeamento minimamente comum com algumas diferenças de pormenor. Para mais informações sobre Análise Matemática para Eng. Electrotécnica consultar a página respectiva.

Horários de aulas e dúvidas

Um horário de dúvidas de 2.5 horas semanais foi combinado com os alunos no primeiro dia de aulas. Está incluido no horário de dúvidas global de Análise Matemática I.

Os horários oficiais de Aeroespacial são disponibilizados pelo SOP.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas iniciam-se a 30 de Setembro de 2002 e as aulas práticas a 3 de Outubro de 2002.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado. Basicamente a avaliação depende de testes ou exame final e de classificações complementares de uma prova de aferição e do trabalho realizado na aula. O peso dos dois últimos factores é bem menor do que a da classificação de testes ou exame final.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém enunciados de um exame modelo e exames de anos lectivos transactos do mesmo responsável. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e um subconjunto será entregue para correcção na aula teórica de segunda feira. A duração da aula prática é insuficiente para resolver todos os exercícios. Os exercícios da última semana de aulas do semestre não necessitam de ser entregues para correcção.