Análise Matemática I, 2000/2001 (1º semestre)
LEIC - campus de Lisboa
Responsável - João Palhoto Matos

Avisos e novidades

• As actividades da disciplina estão encerradas e esta página passou à condição de arquivo.
• Todas as classificações foram lançadas na Secretaria no dia 22/2/2001. A taxa de aprovações na disciplina foi de 38,6% (decepcionante!) calculada como número de aprovados sobre o número de avaliados.
• Os resultados da revisão de provas do 2º exame estão disponíveis.
• Já após a publicação dos resultados da revisão de provas do 1º exame foi detectado um erro no processo de cálculo da nota final. A sua correcção afecta 6 alunos 3 dos quais já aprovados e 3 que passaram a aprovados com 10. A pauta corrigida encontra-se disponível. A correcção aumenta sempre a classificação num máximo de 0.4.
• Os resultados do 1º exame estão publicados. A revisão de provas realizou-se no dia 29 às 9 horas na sala de dúvidas do Departamento de Matemática. Os resultados da revisão de provas estão incluídos na pauta corrente. (30/01/2001)
• Os enunciados do exame modelo, do 1º exame e do 2º exame estão disponíveis através desta página. Comentários sobre a resolução do exame modelo estão disponíveis. Os comentários não pretendem ser uma solução mas dar pistas para a resolução. A solução completa do 1º exame também está disponível. A solução do 1º exame no que diz respeito à pergunta I.4 estava literalmente atafulhada de enganos e gralhas. A versão corrente deve ter resolvido esses problemas. (3/2/2001)
• Os exames realizaram-se em 17 de Janeiro às 17 horas e 2 de Fevereiro às 17 horas.
• Os horários incluem os horários de dúvidas. A sala de dúvidas do Departamento de Matemática situa-se no piso 02 do edifício de Pós-Graduação. (18/10/2000)

Esta página refere-se exclusivamente a Análise Matemática I da LEIC no campus de Lisboa no 1º semestre de 2000/2001. Não é aplicável à LEIC no Tagus Park, outros semestres, outras licenciaturas, etc.

Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática tendo em mente os desideratos de rigor intelectual subjacentes à citação de Jaime Campos Ferreira que se faz acima à esquerda sem cair nos facilitismos criticados por Eduardo Prado Coelho à direita. Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular. Esta é uma mudança de perspectiva essencial relativamente àquilo que é hábito para a maioria dos alunos.

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

• Apostol, T. M., Mathematical Analysis, second edition.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis.
• Spivak, M., Calculus.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II. Este texto servirá como base para listas de problemas semanais.[NOTA: Este texto está a ser remodelado graficamente e a sofrer uma actualização ligeira. Um protótipo encontra-se aqui. Embora não tenha interesse para os actuais alunos quaisquer opiniões seriam bem vindas.]

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógico e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Lições de Análise Real de Jaime Campos Ferreira editado pela AEIST é uma referência para este tópico.

Planeamento e sumários

1. Apresentação. A axiomática dos números reais: axiomas de corpo. (2/10/2000).
2. A axiomática dos números reais: axiomas de ordem, naturais, racionais, axioma do supremo. (4/10/2000).
3. Consequências elementares do axioma do supremo: N não é limitado, propriedade arquimedeana, existência da raiz quadrada de 2,... (6/10/2000).
4. Conjuntos finitos, infinitos, conjuntos numeráveis, contáveis e não contáveis. O princípio de encaixe e a cardinalidade de R. (9/10/2000).
5. Pontos de acumulação. O princípio de encaixe e o teorema de Bolzano-Weierstrass. A densidade dos racionais e dos irracionais em R. (11/10/2000).
6. Indução finita: exemplos. Sucessões: exemplos e definição de limite. (13/10/2000).
7. Sucessões: exemplos, limite da soma, progressões geométricas, limites infinitos,... (16/10/2000).
8. Limites e operações algébricas. (18/10/2000).
9. Sucessões limitadas e sucessões monótonas. Subsucessões. (20/10/2000).
10. Subsucessões, teorema de Bolzano-Weierstrass para sucessões e sucessões de Cauchy. (23/10/2000)
11. Enquadramento de sucessões. Exemplos de aplicação. (25/10/2000)
12. Séries: exemplos, série geométrica, série telescópica, série harmónica. (27/10/2000)
13. Séries de termos não negativos: série harmónica (cont.), critério geral de comparação, comparação com séries geométricas,... (30/10/2000)
14. Corolários do critério geral de comparação. Convergência absoluta. Introdução ao critério de Leibniz. (3/11/2000)
15. Critérios de Leibniz e Dirichlet. Critérios da razão. (6/11/2000)
16. Séries de potências. Funções reais de variável real: exemplos. A definição de continuidade. (8/11/2000)
17. Funções reais de variável real: exemplos, terminologia e propriedades elementares. Caracterização da continuidade via sucessões.(10/11/2000)
18. Funções reais de variável real: propriedades elementares, a função exponencial. Limite num ponto. (13/11/2000)
19. A função exponencial. Limites infinitos e no infinito. O logaritmo. (15/11/2000)
20. Introdução às funções trigonométricas. O teorema do valor intermédio. Continuidade das funções definidas por séries de potências. (17/11/2000)
21. As funções hiperbólicas. A inversão das funções trigonométricas e hiperbólicas. Teorema de Weierstrass. (20/11/2000)
22. Continuidade e composição de funções. A noção de derivada. Teoremas de Rolle e Lagrange. (22/11/2000)
23. Derivação e operações algébricas. Teorema de derivação da função composta. (24/11/2000)
24. Teorema de derivação da função composta (cont.). Teorema de derivação da função inversa. (27/11/2000)
25. Teorema de derivação da função inversa (cont.). Derivadas laterais. Derivadas de ordem superior à primeira. (29/11/2000)
26. Consequências do teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. (4/12/2000)
27. Regra de Cauchy e levantamento de indeterminações. (6/12/2000)
28. Regras de Cauchy e de L'Hôpital. Introdução à fórmula de Taylor. (11/12/2000)
29. Fórmula de Taylor. Caracterização do resto da fórmula de Taylor. (13/12/2000)
30. Aplicação da fórmula de Taylor à classificação de pontos de estacionaridade. (15/12/2000)
31. Esboço de gráfico de funções: assímptotas. (18/12/2000)
32. Série de Taylor: convergência. (20/12/2000)
33. Série de Taylor: exemplos. (22/12/2000)
34. Revisões e exemplos de problemas de exame: estudo de uma função. (3/1/2001)
35. Revisões e exemplos de problemas de exame: aplicação ao teorema de Darboux. (5/1/2001)
36. Revisões e exemplos de problemas de exame: sucessões,... (8/1/2001)

O programa mínimo oficial desta disciplina encontra-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo. À medida que as aulas decorrerem o planeamento ir-se-á convertendo em sumários da turma leccionada pelo Prof. responsável (2ª, 4ª, 6ª às 10h) com eventuais alterações. Os sumários não descrevem a matéria leccionada na turma das 11h pelo Prof. João Paulo Teixeira (as variações não devem ser grandes de qualquer forma).

Corpo docente

Horários de aulas e dúvidas

Por enquanto consulte os horários do SOP. Um resumo dos horários no que diz respeito a Análise Matemática I da LEIC na Alameda está disponível.

O horário de dúvidas corrente de docentes deste bloco foi incluido no resumo de horários. As vitrines de outros blocos desta disciplina devem fornecer-lhe horários alternativos.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas e práticas iniciam-se a 2 de Outubro de 2000.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém um enunciado de um exame modelo e conterá os enunciados do 1º e 2º exames. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e um subconjunto será entregue para correcção na semana seguinte. O docente das aulas práticas poderá substituir ou suplementar esta lista e indicará quais os exercícios a submeter para classificação.