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Análise Complexa e Equações Diferenciais — 2º Semestre de 2012/2013
LEAN, MEMec
Programa
Introdução à Análise Complexa
Números complexos. Séries numéricas, séries absolutamente convergentes. Séries de potências. Funções elementares. Diferenciabilidade de funções holomorfas. Séries de funções, funções analíticas. Integração de funções complexas. Teorema de Cauchy. Homotopia. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Singularidades isoladas. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos. Aplicações do teorema dos resíduos. Integrais impróprios. Valor principal de Cauchy. Teoremas de convergência.
Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias
Equações de primeira ordem: equações lineares com coeficientes constantes, separáveis, exactas, factores de integração. Existência e unicidade de soluções. Extensão de solução. Resolução de sistemas de equações ordinárias lineares. Exponencial de uma matriz. Fórmula de variação das constantes. Equações lineares de ordem superior. Transformada de Laplace e Aplicações.
Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier
Equação de calor e separação de variáveis. Séries de Fourier. Convergência das séries de Fourier. Solução das equações do calor, das ondas e de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Bibliografia
Bibliografia principal
Bibliografia complementar
- G. Smirnov, Análise Complexa e Equações Diferenciais, Escolar Editora, 2003
- Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Texts in Applied Mathematics, vol. 11,
Springer-Verlag, New York, 1993
-
Luis V. Pessoa, Introdução à Análise Complexa
- Luis T. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, IST, Junho de 2005.
-
Luis T. Magalhães, Análise Complexa de Funções de uma Variável e Aplicações
- L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.
- João P. Matos, Introdução à Análise Complexa, 2002.
- Gabriel Pires, Notas de Análise Complexa, 1998.
- Filipe J. Romeiras, Matemática Aplicada à Electrotecnia, 1999.
Parte 1,
Parte 2,
Parte 3,
Parte 4,
Outros textos relevantes:
- António H. Simões de Abreu, Funções de Variável Complexa. Teoria e Aplicações, IST Press, 2009
- Coimbra de Matos e José Carlos Santos, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2000.
- Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis, Cambridge Univ. Press, 1983.
- M. Carreira e M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos, McGraw Hill.
- Fernando P. Costa, Teoria Elementar de Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press, 1998
- William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley 1997.
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