1º SEMESTRE
2003/2004
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PROGRAMA
PARTE I:
Integrais Múltiplos
- Semana 1 Introdução
aos integrais múltiplos. Funções em escada e
integrais de funções em escada. Definição e
propriedades de conjuntos de medida nula. Funções limite
superior. Funções integráveis e integral.
Propriedades e exemplos.
- Semana 2 Teorema de
Fubini. Cálculo de integrais.
- Semana 3 Teorema da
transformação de coordenadas de integração.
Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
- Semana 4
Aplicação ao cálculo de volumes,
centróides, massas (cargas eléctricas), centros de massa
e momentos de inércia.
PARTE II: Curvas e
Integrais de linha
- Semana 5 Curvas e caminhos.
Integral de linha de um campo escalar, aplicações.
Integral
de linha de um campo vectorial, aplicações.
- Semana 6 Conjuntos conexos por
arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de
linha. Campos gradi- entes e campos potenciais; condições
necessárias e suficientes para que um campo
vectorial seja gradiente; campos fechados; cálculo de
funções potenciais.
- Semana 7 Homotopia; invariância
de integrais de campos fechados sobre caminhos homotópicos,
conjuntos simplesmente conexos. Teorema de Green.
PARTE III:
Teoremas da Função
Inversa e Implícita
- Semana 8 Teorema da
função inversa. Teorema da função
implícita.
PARTE IV: Variedades
Diferenciáveis
- Semana 9 Variedades
diferenciáveis; parametrizações; variedades como
gráficos de funções e como conjuntos de
nível; variedades definidas por equações
cartesianas. Espaço tangente e espaço normal.
- Semana 10 Extremos
condicionados; método dos multiplicadores de Lagrange.
PARTE V: Integrais
em Variedades
- Semana 11 Integrais em variedades e
aplicações.
PARTE VI: Teoremas da
Divergência e de Stokes
- Semana 12 Orientabilidade de
superfícies em R^3. Fluxos de campos vectoriais através
de superfícies em R^3. Domínios regulares, normal
exterior. Teorema da divergência.
Interpretação geométrica e física da
divergência. Lei de Gauss.
- Semana 13 Orientação
consistente da fronteira da superfície. Teorema de Stokes em
R^3. Cálculo de potenciais vectores.
Interpretação geométrica e física do
rotacional. Propriedades da divergência, rotacional e gradiente.
Equações de Maxwell. Leis de Ampère, Faraday.
PARTE
VII: Complementos de
Cálculo Integral e Aplicações
- Semana 14 Teorema da convergência
monótona de Levi. Teorema da convergência dominada de
Lebesgue. Continuidade e diferenciação de
funções definidas por integrais. Regra de Leibniz.
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