Limites e continuidade de uma função (continuação).
Limites laterais.
Limites na recta acabada \(\;\overline{\mathbb{R}}:\;\)
Limites infinitos.
Operações algébricas dos limites em \(\;\overline{\mathbb{R}}.\;\)
Material de estudo:
Definição (limites laterais esquerdo e direito):
- Diz-se que \(\;b\;\) é o limite lateral esquerdo de \(\;f\;\) em \(\;a\;\), e escreve-se \(\displaystyle\;\;b=\lim_{x\to a^-}f(x)\;\) ou \(\;b=f(a^-),\;\) sse
dado \(\;\varepsilon\gt 0\;\) arbitrário, existe \(\;\delta\gt 0,\;\) tal que, para todo \(\;x\in D_f,\;\) \[a-\delta\lt x\lt a\;\Rightarrow\; |f(x)-b|\lt \varepsilon.\]- Diz-se que \(\;b\;\) é o limite lateral direito de \(\;f\;\) em \(\;a\;\), e escreve-se \(\displaystyle\;\;b=\lim_{x\to a^+}f(x)\;\) ou \(\;b=f(a^+),\;\) sse
É claro que estamos a pressupôr que, no primeiro caso, \(\;a\in\overline{D_f\cap\left]-\infty,a\right[},\;\) e que no segundo, \(\;a\in\overline{D_f\cap\left]a,+\infty\right[}.\;\)
dado \(\;\varepsilon\gt 0\;\) arbitrário, existe \(\;\delta\gt 0,\;\) tal que, para todo \(\;x\in D_f,\;\) \[a\lt x\lt a+\delta\;\Rightarrow\; |f(x)-b|\lt \varepsilon.\]
Reparem que podíamos ter dito, muito simplesmente, que \(f(a^-)\) é o limite no ponto \(a\) da restrição de \(\;f(x)\;\) a \(\;D_f\cap\left]-\infty,a\right[.\;\) De forma semelhante, podíamos ter dito, muito simplesmente, que \(f(a^+)\) é o limite no ponto \(a\) da restrição de \(\;f(x)\;\) a \(\;D_f\cap\left]a,+\infty\right[.\;\)
É fácil ver que temos o seguinte critério para a existência de limite
Proposição. Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\), e \(a\) aderente, quer a \(D_f\cap\left]-\infty,a\right[\), quer a \(D_f\cap\left]a,+\infty\right[\).O segundo caso veremos que é equivalente à continuidade de \(f\) em \(a.\)
- Se \(a\notin D_f\), então: \[\text{existe }\lim_{x\to a}f(x)=b\in\mathbb{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{ existem }f(a^-),f(a^+),\quad\text{e, além disso, }\;f(a^+)=f(a^-)=b,\]
- Se \(a\in D_f\), então: \[\text{existe }\lim_{x\to a}f(x)=b\in\mathbb{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{ existem }f(a^-),f(a^+),\quad\text{e, além disso, }\;f(a^-)=f(a^+)=f(a).\]
Exemplo 1. Seja \(f(x)=\begin{cases}1+x,&\text{ se }x\leqslant 2\\ 1-x,&\text{ se }x\gt 2 \end{cases},\quad\) \(D_f=\mathbb{R}\). Então, \[f(2^-)=\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(1+x)=1+2=3\\,\qquad\qquad f(2^+)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(1-x)=1-2=-1.\]
A justificação do cálculo de \(f(2^-)\) é que, para \(x\lt 2\), \(f(x)=1+x\), e, \(\displaystyle\lim_{x\to 2}(1+x)=3\), que será, por sua vez, igual a \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}(1+x)=3\), pela observação feita antes do exemplo.Reparem que o valor de \(f(x)\) no ponto \(x=2\) não intervem neste cálculo: De facto, para \(f(2^-)\) apenas intervêm os valores de \(f(x)\) em pontos de \(]2-\varepsilon,2[\), e, para \(f(2^+)\) apenas os valores de \(f(x)\) em pontos de \(]2,2+\varepsilon[\), em que, em ambos os casos, \(\varepsilon >0\).
Como \(f(2^-)\not=f(2^+)\) concluimos que não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x).\)
Exemplo 2. Função de Heaviside \[H(x)=\begin{cases}1, &\text{ se }x\geqslant 0\\ 0,& \text{ se }x\lt 0.\end{cases}\]
Se \(a\not=0\,,\) temos que \(H\) é constante numa vizinhança de \(a,\) (0, se \(a\lt 0\), 1, se \(a\gt 0\)). Logo, se \(a\not=0\), \(H\) é contínua em \(a\) e temos, \[\lim_{x\to a}H(x)=0\quad\text { se }a\lt 0,\qquad\text{ e }\qquad\lim_{x\to a}H(x)=1\quad\text { se }a\gt 0.\] Se \(a=0\), \(H(0^-)=0\), \(H(0^+)=1\). Então, \[H(0^-)\not=H(0^+),\] e, portanto, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 0}H(x).\)
Exemplo 3. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}.\;\) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Esta função também se escreve na forma, \[f(x)=\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1,&\text{ se }x\gt 0\\-1,&\text{ se }x\lt 0.\end{cases}\]
Temos \(f(0^+)=1\not=f(0^-)=-1,\) logo, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\). Com uma justificação semelhante ao do exemplo anterior, concluimos que \(f\) é contínua em qualquer \(x\not 0\), ou seja, no seu domínio \(D_f\).
Observação. Nem sempre é necessário, nem útil, separar os casos \(a^-\) e \(a^+\) como temos estado a fazer nesta aula. De facto, nos casos anteriores a utilidade dos limites laterais vinham do facto daquelas funções serem dadas por expressões diferentes, quando \(x\gt a\) e quando \(x\lt a.\) Mas, por vezes, uma função \(f\) é dada por expressões diferentes em outros tipos de subconjuntos do domínio, como se vê nos seguintes exemplos:
Exemplo 4. Função de Dirichlet: \[d(x)=\begin{cases}1,&\text{ se }x\in\mathbb{Q},\\0,&\text{ se }x\notin\mathbb{Q},\end{cases}\qquad D_d=\mathbb{R}\,.\]
Vamos ver que esta função não tem limite em ponto nenhum.
Para \(a\in\mathbb{R},\) tomamos,
Exemplo 5. \(\;f(x)=xd(x),\quad\) \(D_f=\mathbb{R}.\;\) Estudemos a existência de \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x):\;\)
Seja \(a=0\). Para qualquer sucessão \((x_n)\) que satisfaça \(x_n\to 0\), temos que \[f(x_n)=x_nd(x_n)\to 0,\] porque \(d\) é uma função limitada e \((x_n)\) é um infinitésimo (ou por enquadramento). Logo, \[\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0).\] É descontínua em todos os outros pontos (Exercício: proceda como no exemplo anterior).
Relembremos que a recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}\) é,
\[\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}=\left[-\infty,+\infty\right].\] Quando falámos de sucessões, alargámos o conceito de limite a limites infinitos, ou seja em \(\overline{\mathbb{R}}\), usando a mesma definição com base em vizinhanças, e definindo as vizinhanças-\(\varepsilon\) de \(-\infty\) e \(+\infty\). Relembremos: \[V_{R}(-\infty)=\left]-\infty,-R\right[\,,\qquad\quad V_{R}(+\infty)=\left]R,+\infty\right[\,,\qquad R\gt 0.\] Se "\(R\) é grande", então, \(\;x\in V_{R}(+\infty)\) corresponde à ideia de "\(x\) próximo de \(+\infty\)".Reveja a definição de \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) dada na aula teórica 13 (ver guia de estudo), usando vizinhanças:
Relembrando que, se \(\;a\in\mathbb{R},\;\) \(\;x\in V_{\delta}(a)\;\Leftrightarrow\; |x-a|\lt \delta\), e usando as novas definições de vizinhanças dos infinitos, obtemos a definição de \(\;b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\;\) para quaisquer \(a,b\in\overline{\mathbb{R}}\):dado um \(\varepsilon>0\) qualquer, existe \(\delta>0\), tal que, para \(x\in D_f,\) \[x\in V_{\delta}(a)\;\Rightarrow\; f(x)\in V_{\varepsilon}(b).\]
Caso \(a=+\infty,\; b\in\mathbb{R}\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=b,\;\) sse, dado \(\varepsilon>0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; |f(x)-b|<\varepsilon.\] Caso \(a=-\infty,\; b\in\mathbb{R}\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=b,\;\) sse, dado \(\varepsilon>0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; |f(x)-b|<\varepsilon.\] Caso \(a\in\mathbb{R},\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[|x-a|<\delta\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\] Caso \(a\in\mathbb{R},\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[|x-a|<\delta\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\] Caso \(a=+\infty,\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\] Caso \(a=-\infty,\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\] Caso \(a=+\infty,\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\] Caso \(a=-\infty,\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\]
Observação: Para que as definições anteriores façam sentido, é necessário pressupor, em cada caso, hipóteses sobre a relação entre \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) e o domínio \(D_f.\) Assim, já vimos que, se \(a\) é finito (\(a\in\mathbb{R}\)) essa condição é \(a\) ser um ponto aderente a \(D_f\). Nos casos \(a=\pm\infty,\) essa condição pode ser generalizada considerando, em coerência com as definições de aderência e das vizinhanças do infinito, que em \(\overline{\mathbb{R}}\), \(\;+\infty\in\overline{D_f}\;\) sse \(D_f\) não é majorado. De igual modo, consideramos que em \(\overline{\mathbb{R}}\), \(\;-\infty\in\overline{D_f}\;\) sse \(D_f\) não é minorado. Assim, pressupõe-se sempre que \(a\in\overline{D_f}\) em \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Exemplo 7. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[|f(x)-b|<\varepsilon\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x^2}\lt \varepsilon\;\Leftrightarrow\;x^2\gt \frac{1}{\varepsilon}\;\Leftrightarrow\;x\gt \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\] e, portanto, dado \(\varepsilon\gt 0\), basta considerar \(R=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.\)
Exemplo 8. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\) para todo \(x\not= 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x^2}\gt K\;\Leftrightarrow\;x^2<\frac{1}{K}\;\Leftrightarrow\;|x-0|<\dfrac{1}{\sqrt{K}}\] e, portanto, dado \(K\gt 0,\) basta considerar \(\varepsilon=\dfrac{1}{\sqrt{K}}.\)
Exemplo 9. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^2=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=x^2,\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;x^2\gt K\;\Leftrightarrow\;|x|>\sqrt{K}\;\Leftarrow\;x\lt -\sqrt{K}\] e, portanto, basta considerar \(R=\sqrt{K}.\)
Exemplo 10. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \sqrt[3]{1+x}=-\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\sqrt[3]{1+x},\;\) para todo \(x\lt 0,\) \[f(x)\lt -K\;\Leftrightarrow\;\sqrt[3]{1+x}\lt -K\;\Leftrightarrow\;x\lt -1-K^3\] e, portanto, dado \(K\gt 0,\) basta considerar \(R=1+K^3.\)Combinando as definições de limites laterais com limites na recta acabada, temos também limites laterais em \(\overline{\mathbb{R}}\). Por exemplo, se \(a\in\overline{D_f\cap \left]a,+\infty\right[}\), dizemos que \[\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty\] sse, dado \(K\gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, \[0\lt x-a\lt \delta\quad\Rightarrow\quad f(x)>K\,.\]
Exemplo 11. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x},\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x}\gt K\;\Leftrightarrow\;x<\frac{1}{K}\;\Leftrightarrow\;0\lt x-0<\dfrac{1}{K}.\] e, portanto, basta considerar \(\delta=\dfrac{1}{K}.\)
A definição à Heine pode ser transcrita também para limites em \(\overline{\mathbb{R}}\) uma vez que sabemos definir limites de sucessões em \(\overline{\mathbb{R}}\). Por seu lado, a equivalência entre a definição dada (à Cauchy) e a definição à Heine é também válida em \(\overline{\mathbb{R}}\)
Exemplo 12. \(f(x)=\cos x\). Vejamos que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \cos x\) não existe. Para isso, consideremos as duas sucessões seguintes:
teremos assim, \[\lim x_n=\lim y_n=+\infty\quad\text{ e, no entanto, }\quad\lim f(x_n)=1\not=\lim f(y_n)=0.\]
Por sua vez, como alternativa à definição à Cauchy, podemos usar os limites à Heine e as propriedades já conhecidas das sucessões, para obter os seguintes resultados (faça como exercício!), os quais passaremos a usar, sem necessidade de justificação, cada vez que são usados:
1. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^p=+\infty,\quad p\gt 0\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^p}=0,\quad p\gt 0\)
3. \(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^p=-\infty, \qquad &\text{ quando \(p\) é um natural ímpar}\\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^p=+\infty, \qquad &\text{ quando \(p\) é um natural par}\end{aligned}\)
(Observação: se \(p\) não é um número inteiro, não definimos, em geral \(x^p\), quando \(x\lt 0\).)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=\lim_{x\to -\infty}e^{x}=0,\)
5. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x}=\lim_{x\to -\infty}e^{-x}=+\infty,\)
6. Vejamos o que se passa com \(f(x)= e^{\frac{1}{x}}\), quando \(x\to 0\). Usando a substituição \(y=\dfrac{1}{x}\), \[f(0^-)=\lim_{x\to -\infty}e^{y}=0,\qquad f(0^+)=\lim_{x\to +\infty}e^{y}=+\infty,\] e, logo, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) (neste caso, \(f\) tem uma assíntota vertical à direira em 0).
Vejamos agora resultados que nos permitem calcular facilmente limites e estabelecer a continuidade de várias funções. No resultado seguinte, assumimos as convenções já vistas para as operações algébricas em \(\overline{\mathbb{R}}\), excluindo as indeterminações \[\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{0}{0},\quad\frac{\infty}{\infty}.\]
Teorema (limite e operações algébricas em \(\overline{\mathbb{R}})\). Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=c\), com \(a\in\overline{D_f\cap D_g}\), então,
Demonstração
Fazemos aqui a demonstração apenas para a soma. Para os outros casos deixa-se como exercício. Seja \(x_n\) uma sucessão arbitrária de termos em \(\;D_f\cap D_g,\)
Então, usando a definição de limite à Heine e a propriedade do limite da soma de sucessões, temos nas condições do teorema, \[\lim x_n=a\;\Rightarrow\;\left(\lim f(x_n)=b\,\wedge\,\lim g(x_n)=c\right)\;\Rightarrow\;\lim (f(x_n)+g(x_n))=b+c\] o que prova, usando novamente a noção de limite à Heine, que \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=b+c.\)
Observação 1. Se \(c=0\) e \(g(x)>0\) numa vizinhança de \(a\), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\pm \infty\), dependendo de \(b\gt 0\) ou \(b \lt 0\). Simbolicamente na prática, para simplificar, podemos usar os símbolos \(0^+\) e \(0^-\) neste contexto, tendo em atenção que não são números mas sim símbolos que traduzem que \(g(x)\to 0\) por valores positivos. Por exemplo,
Exemplo 13. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty.\)
Observação 2. Se \(b=c=0\) o limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\), dá-nos uma comparação da ordem dos infinitésimos \(f(x)\) e \(g(x)\), quando \(x\to a\).
Observação 3. Se \(b=c=+\infty\) o limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\), dá-nos uma comparação da ordem dos infinitamente grandes \(f(x)\) e \(g(x)\), quando \(x\to a\).
De um modo geral, na sequência da forma como tratámos atrás as propriedades algébricas dos limites de funções, podemos fazer a abordagem às propriedades desses limites usando sucessões tirando partido da equivalência entre a definição dada de limite e a definição segundo Heine. Uma consequência disto são, por exemplo, os limites por enquadramento como veremos no guia de estudo da próxima aula.