Aula teórica 13

Limites e continuidade de uma função num ponto. Definição.
Definição de limite.
Limites de funções usando sucessões: definição à Heine. Equivalência das duas definições de limite.

Material de estudo:

Observação importante: o conceito de limite introduzido nesta disciplina difere ligeiramente do apresentado no texto de apoio [AB], mas coincide com o do livro [CF]. Sobre esse assunto veja a observação no fim deste guia de estudo. Note, contudo, que essa diferença será irrelevante nas situações que se nos depararão no resto da matéria.

Limite de uma função num ponto.

Definição.

Desde o ensino secundário já conhecem a expressão \[\lim_{x\to a}f(x)=b\,,\]

que se lê: "\(b\) é o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende para \(a\)", ou mais simplesmente, "\(b\) é o limite de \(f(x)\) em \(a\)".

A ideia intuitiva de limite pode ser dada pela seguinte frase:

  • "O número \(b\) é o limite da função \(f(x)\) em \(a\) quando, para garantir que \(f(x)\) esteja próximo de \(b\), basta garantir que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(a\)."
  • Como se percebe rapidamente, esta afirmação, embora corresponda a uma ideia intuitiva correcta, é muito imprecisa (objectivamente, o que significa "próximo" e "suficientemente próximo"?). A primeira coisa que temos que fazer é dar um sentido preciso a este conceito de limite. Ou seja, defini-lo.

    Para começar, note que no símbolo atrás figuram 3 objectos: uma função \(f(x)\) e dois reais \(a\) e \(b\).

    Seja então \(f:D_f\to\mathbb{R}\) uma função dada.

    Começemos por ver para que pontos \(a\) fará sentido discutir o conceito de limite. Queremos discutir o limite de \(f(x)\) não só em pontos de \(D_f\) mas também naqueles que, embora não pertencentes a \(D_f\), possam ser aproximados por pontos deste conjunto (de alguma forma estão "encostados" a \(D_f\)). Assim, por exemplo, logo à partida não fará sentido falar de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) quando \(f(x)=\sqrt{x-1}\), mas já fará sentido falar do mesmo limite quando \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\), embora \(0\) não pertença ao domínio de nenhuma das duas funções. Introduzimos estes pontos na definição seguinte:

    Definição (ponto aderente): Seja \(A\subset\mathbb{R}\). Dizemos que um real \(a\) é um ponto aderente a \(A\) sse, para qualquer vizinhança-\(\varepsilon\) de \(a\), \(V_{\varepsilon}(a)\), se tem, \[V_{\varepsilon}(a)\cap A\ne\emptyset\,.\]

    Dito de outra forma: há pontos de \(A\) arbitrariamente próximos do ponto \(a\).

    Exemplos: Seja \(A=]0,1]\). Então, \(0\), \(\dfrac{1}{2}\) e \(1\) são pontos aderentes a \(A\), enquanto que \(-1\) e \(2\) já não o serão.

    Repare o facto ilustrado por este exemplo de que qualquer ponto de um conjunto \(A\) é, ele próprio, um ponto aderente a \(A\).

    Definição (aderência de um conjunto): A aderência de um conjunto \(A\), a qual designamos por \(\overline{A}\), é o conjunto de todos os pontos aderentes ao conjunto \(A\).

    Exemplos: \begin{align*} A&=]0,1]\quad \Rightarrow\quad \overline{A}=[0,1],\\ A&=[0,1]\quad \Rightarrow\quad \overline{A}=[0,1],\\ A&=\mathbb{R}\setminus\{0\}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R},\\ A&=\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R},\\ A&=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R}\,. \end{align*}

    Podemos agora definir a noção de limite. Sejam dados uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e um ponto \(a\in\overline{D_f}\). Vamos precisar um pouco mais a ideia contida na "definição" do início deste guia:

    A ideia base daquela "definição" é que, para garantir que \(f(x)\) "não se afaste de \(b\)" mais do que \(\varepsilon\) (um "nível de exigência"), basta controlar a distância de \(x\) a \(a\), bastando para isso, garantir que \(x\) se mantenha a uma distância de \(a\) inferior a uma certa "tolerância", \(\delta\), a qual, em príncipio, será tanto menor quanto menor for \(\varepsilon\) (ou seja, "quanto maior for o grau de exigência"). Esta mesma afirmação tem que se verificar para qualquer nível de exigência \(\delta\).

    Por outro lado, relembre que dizer que "\(f(x)\) está a uma distância de \(b\) inferior a \(\varepsilon>0\)" é afirmar que \(|f(x)-b|<\varepsilon\). De igual forma, dizer que "\(x\) está a uma distância de \(a\) inferior a \(\delta>0\)" é afirmar que \(|x-a|<\delta\).

    Sendo assim, a definição rigorosa de limite que corresponde àquela ideia posta de forma imprecisa no início é a seguinte:

    Definição (limite de uma função num ponto). Seja \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Diz-se que, para um certo real \(b\), \[ \lim_{x\to a}f(x)=b, \] sse, para qualquer \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\), tal que, para cada \(x\in D_f\) se tenha, \[|x-a|<\delta\quad\Rightarrow \quad |f(x)-b|<\varepsilon.\]

    Simbolicamente, \(\displaystyle b=\lim_{x\to a}f(x)\) sse \[\forall_{\varepsilon>0}\;\exists_{\delta>0}\;\forall_{x\in D_f}\quad |x-a|\lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x)-b|\lt \varepsilon.\]

    Demonstra-se, mas não o vamos fazer, que se este limite existir ele é único, o que torna a expressão \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) bem definida, ou seja, em caso de existência ela representa um real bem preciso.

    A seguinte app do GeoGebra visualiza o "jogo \(\;\epsilon-\delta\;\)" em que consiste a definição de limite. Neste caso, trata-se do caso concreto \[\lim_{x\to 5}\sqrt{x-1}=2.\] Com o cursor da esquerda escolha um tamanho \(\;\varepsilon\;\) para a vizinhança em torno de \(b=2\). Com o cursor da direita, pode escolher então um valor \(\;\delta\;\) para o tamanho da vizinhança de \(5\) que garanta que todas os pontos desta vizinhança sejam transformados pela função \(\;f(x)=\sqrt{1-x}\;\) em pontos da vizinhança de \(2\) fixada. Reparem que se diminuirem o tamanho da vizinhança-\(\varepsilon\) de \(2\), vão ter que diminuir também a vizinhança-\(\delta\) de \(5\). O ponto importante é que qualquer que seja a escolha do \(\varepsilon\) pode sempre repetir este "jogo" e encontrar um \(\delta\) apropriado.
    (Se o gráfico não aparecer logo, aumente um pouco a largura da janela).

    Exemplos de uso direto da definição:

    Exemplo 1. Considere a função \[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}\,\quad\text{ com domínio }D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.\] Vamos ver que \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=4:\)

    Para começar, notemos que \(1\in\overline{D_f}\). Seja \(x\in D_f.\) Vejamos o que significa para \(x\) a condição \(|f(x)-4|<\delta\): \[\left|\frac{2x^2-2}{x-1}-4\right|=|2(x+1)-4|=|2x-2|=2|x-1|.\] Logo, para que a condição \(|f(x)-4|<\delta\) seja cumprida, basta que \(2|x-1|<\delta\), ou seja, que \(|x-1|<\dfrac{\delta}{2}\). Repare que esta escolha é sempre possível, não interessa quão pequeno é \(\delta.\) Vejamos então que está satisfeita a definição de limite:

  • Seja \(\delta>0\) qualquer. Escolhendo \(\varepsilon=\dfrac{\delta}{2}\) teremos, para qualquer \(x\in D_f\) que, se \(|x-1|<\varepsilon\), então \(|f(x)-4|<\delta\), como queríamos demonstrar.
  • Exemplo 2. Considere a função \(f(x)=\sqrt{x}\), com domínio \(D_f=[0,+\infty[.\) Seja \(a\geqslant 0\). Demonstremos que \[\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}.\] Prosseguindo com a mesma estratégia do exemplo anterior, vejamos, em termos de condições sobre \(x\), como podemos garantir que \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\): \[|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\left|\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right|\leqslant \frac{|x-a|}{\sqrt{a}},\] Logo, dado \(\delta>0\) arbitrário, a condição \(|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\delta\) é cumprida se \(\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\delta\), ou seja, se \(|x-a|<\delta\sqrt{a}\). Assim,

  • dado \(\delta>0\) arbitrário, escolhendo \(\varepsilon=\delta\sqrt{a}\), teremos que, para \(x\in D_f\), se \(|x-a|<\varepsilon\) então, \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\), como queríamos demonstrar.
  • Exemplo 3. Um exemplo de não existência de limite. Considere a seguinte função de domínio \(D_f=\mathbb{R}\) vulgarmente designada por função de Heaviside: \[ f(x)= \begin{cases} 0, &\text{ se }x\lt 0\\ 1, &\text{ se }x\geqslant 0 \end{cases} \] Provemos, usando a definição, que esta função não tem limite em \(a=0\). Façamo-lo por absurdo: suponhamos que existia \(\displaystyle b=\lim_{x\to 0}f(x)\). Então, de acordo com a definição de limite, tomando por exemplo, \(\delta=\dfrac{1}{2}\), existiria \(\varepsilon>0\) tal que, para todo \(x\in\left]-\varepsilon,\varepsilon\right[\) se teria \(|f(x)-b|<\dfrac{1}{2}\). Mas isto significaria que, \[ \begin{align*} x\in\left]-\varepsilon,0\right[ \Rightarrow |0-b|<\dfrac{1}{2}\,,\\ x\in\left[0,\varepsilon\right[ \Rightarrow |1-b|<\dfrac{1}{2}\,. \end{align*} \] Como ambas as condições se teriam que verificar simultaneamente, teríamos então necessariamente que \[b\in \left]-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right[\;\cap\;\left]\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right[=\emptyset,\] o que, obviamente, é absurdo. Logo, a hipótese admitida de que existe o limite considerado é falsa.

    Mais à frente veremos uma forma mais simples de provar a não existência de limite neste caso, quando estudarmos os limites laterais.

    Aconselha-se o estudo do exercício resolvido 1. da lista [LF], como um exemplo extra.

    Uso de sucessões no estudo de limites de funções: o limite segundo Heine.

    Atrás definimos o limite de uma função \(f\) num ponto \(a\): \[\lim_{x\to a}f(x)=b\,.\]

    À definição dada chamaremos de definição de limite segundo Cauchy.

    A seguinte definição, que designaremos por definição de limite segundo Heine, expressa a ideia de que, sempre que \(x\to a\), então \(f(x)\to b\), qualquer que seja "forma como \(x\) se aproxima de \(a\)". Esta ideia intuitiva, mas imprecisa, é rigorosamente traduzida na forma de sucessões. Por essa razão também aparece na literatura com a designação de definição de limite sequencial ("sequência"="sucessão").

    Definição (limite segundo Heine). Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Diz-se que, segundo Heine, \[\lim_{x\to a}f(x)=b\] sse para qualquer sucessão \(x_n\in D_f\), tal que \(\lim x_n=a\), temos \(\lim f(x_n)=b.\)

    O resultado seguinte diz-nos então que podemos usar o que sabemos sobre sucessões para estudar o limite de funções:

    Teorema (equivalência entre as definições de limite). Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Então, \[\text{definição de limite segundo Cauchy}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{definição de limite segundo Heine}.\]

    Cauchy \(\,\Longrightarrow\,\) Heine:

    Seja \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) o limite segundo Cauchy e, seja \((x_n)\) uma sucessão qualquer de termos em \(D_f\) tal que \(\lim x_n=a\).

    Combinamos em seguida as definições de limite de uma função (à Cauchy) e de limite de uma sucessão:

  • Dado \(\delta>0\) (escolhido de forma arbitrária), existe \(\varepsilon>0\) (dependente de \(\delta\)), tal que, \[x\in D_f\quad\wedge\quad |x-a|<\varepsilon\quad \Rightarrow\quad |f(x)-b|<\delta.\]
  • Existe uma ordem \(p\in\mathbb{N}\), tal que, para qualquer natural \(n\), \[n\gt p\quad\Rightarrow\quad |x_n-a|<\varepsilon.\]
  • Logo, das duas expressões anteriores, facilmente se depreende que, \[n\gt p\quad\Rightarrow\quad |f(x_n)-b|<\delta,\] o que significa, de acordo com a definição de limite de uma sucessão, \[\lim f(x_n)=b,\] como queríamos demonstrar.

    Heine \(\,\Longrightarrow\,\) Cauchy:

    Esta implicação é equivalente a (~ Cauchy \(\Longrightarrow\) ~ Heine). É esta que vamos provar, mostrando que, se \(b\) não é \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) (~ Cauchy), então existe, pelo menos, uma sucessão \(x_n\in D_f\) tal que \(\lim x_n=a\), mas não verificando \(\lim f(x_n)=b\;\) (~ Heine).

    Da negação da definição à Cauchy, depreende-se que existe um \(\delta\gt 0\), tal que, seja qual for \(\varepsilon>0\), é sempre possível encontrar \(x\in D_f\) tal que \(|x-a|\lt\varepsilon,\) mas \(|f(x)-b|\geqslant\delta.\)

    Tomando atrás, sucessivamente \(\varepsilon=1/n\) e o correspondente valor \(x=x_n\), \(n=1,2,3,\dots\), temos que, \[|x_n-a|\lt\frac{1}{n}\to 0\,\quad\text{e, }\, |f(x_n)-b|\geqslant \delta.\] Logo, temos \(\lim x_n=a\), sendo falso que \(\lim f(x_n)=b\), como queríamos demonstrar.

    Exemplo 1. \(f(x)=x-1\), com \(D_f=\mathbb{R}\).

    Seja \(a\in\mathbb{R}\) e suponhamos que \(x_n\to a\). Então, \[f(x_n)=x_n-1\;\to\; a-1\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=a-1.\]

    Exemplo 2. \(f(x)=|x|\), com \(D_f=\mathbb{R}\).

    Seja \(a \gt 0\). Se \(x_n\to a\), existe uma ordem \(p\) tal que, para \(n>p\), temos \(x_n\gt 0\) e, nesse caso, \[f(x_n)=|x_n|=x_n \;\to\; a\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=a.\] Seja \(a \lt 0\). Neste caso, se \(x_n\to a\), existe uma ordem \(p\) tal que, para \(n\gt p\), temos \(x_n\lt 0\) e, \[f(x_n)=|x_n|=-x_n \;\to\; -a\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=-a.\] Seja \(a = 0\). Já sabemos que \(x_n\to 0\) é equivalente a \(|x_n|\to 0\), e nesse caso, \[f(x_n)=|x_n| \;\to\; 0\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to 0}f(x)=0.\] Em qualquer dos casos, temos, \[ \lim_{x\to a}f(x)=|a|\,. \] Também se pode aplicar aqui uma observação semelhante à do exemplo 1.

    Exemplo 3. \(f(x)=\begin{cases}x-1, & \text{ se }x\geqslant 1\\ x+1, & \text{ se }x\lt 1\end{cases}\;\), com \(\;D_f=\mathbb{R}\).

    Vejamos o caso \(a=1\). Considerem-se as duas sucessões \((x_n)\) e \((y_n)\) seguintes, ambas com limite 1:

  • \(x_n=1+\frac{1}{n}\quad\Rightarrow\quad f(x_n)=x_n-1=\frac{1}{n}\to 0\)
  • \(y_n=1-\frac{1}{n}\quad\Rightarrow\quad f(y_n)=y_n+1=2-\frac{1}{n}\to 2\)
  • (uma vez que \(x_n\gt 1\) e \(y_n \lt 1\)). Como \(\lim x_n=\lim y_n=1\), mas, \(\lim f(x_n)\not=\lim f(y_n)\), concluimos que \(\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)\) não existe.

    Também podíamos ter considerado logo a sucessão \(x_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\) e, neste caso, \(f(x_n)\) não teria limite (verifique!), o que nos permitia tirar a mesma conclusão.

    (Veremos que, para este caso, a não existência de limite pode ser obtida de outra forma, recorrendo a limites laterais.)

    Exemplo 4. \(\,\displaystyle f(x)=\cos\frac{1}{x}\;\), com \(\;D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). (Pode ver o gráfico em https://www.desmos.com/calculator)

    Vejamos o caso \(a=0\in \overline{D_f}\setminus D_f\). Considerem-se as duas sucessões \((x_n)\) e \((y_n)\) seguintes, ambas com limite 0:

  • \(\displaystyle x_n=\frac{1}{2n\pi}\quad\Rightarrow\quad f(x_n)=\cos\frac{1}{x_n}=\cos 2n\pi=1\to 1\)
  • \(\displaystyle y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\quad\Rightarrow\quad f(y_n)=\cos\frac{1}{y_n}=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=0\to 0\)
  • Como \(\lim x_n=\lim y_n=0\), mas, \(\lim f(x_n)\not=\lim f(y_n)\), concluimos que \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\cos\frac{1}{x}\) não existe.

    Também podíamos ter considerado logo a sucessão \(\displaystyle x_n=\frac{1}{n\pi}\) e, neste caso, \(f(x_n)\) não teria limite (verifique!), o que nos permitia tirar a mesma conclusão.

    Sugere-se fortemente que refaçam este argumento (com as adaptações necessárias) para provar que \(\;\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}\frac{1}{x}\;\) também não tem limite em \(\;a=0.\)

    Reparem que usamos duas estratégias diferentes para provar que há limite ou provar que não há limite: no primeiro caso temos que considerar uma sucessão qualquer e, no segundo, basta dar um exemplo de uma sucessão \(x_n\to a\) mas com \(f(x_n)\) não convergente, ou duas sucessões \(x_n,y_n\), com o mesmo limite \(a\) mas \(f(x_n),f(y_n)\) com diferentes limites.

    Veja que não existe \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\;\)porque existem pelo menos duas sucessões \(v_n\) e \(w_n\) com limite \(a\) mas cujas imagens tendem para limites diferentes \(b\) e \(c\). Alternativamente, a mesma conclusão se poderá tirar do facto de existir pelo menos uma sucessão \(u_n\) com limite \(a\) mas a sucessão das imagens não tem limite, por ter dois sublimites diferentes \(b\) e \(c\).