Análise Matemática I, 2001/2002 (1º semestre)
Eng. Aeroespacial e Eng. do Ambiente
Responsável - João Palhoto Matos

Avisos e novidades

• Pauta final: a pauta final está disponível; lançamentos na Secretaria do IST no dia 20/2/2002. Inclui as classificações das orais.
• Resultados da revisão de provas do 2º exame: estão incluídos na pauta corrente.
• Resultados do 2º exame: estão disponíveis as pautas do 2º exame. Devido à realização de um exame para um curso de Ambiente e razões pessoais a revisão de provas passa para dia 15 às 14 horas.
• 2º exame: realizou-se no dia 31/1/2002; a data prevista para publicação de resultados passou a ser 12 de Fevereiro; o enunciado está disponível.
• Resultados da revisão de provas: a pauta passou a incluir os resultados da revisão de provas do 1º exame.
• Revisão de provas do 1º exame: realizou-se dia 30/1 às 10h na sala de dúvidas.
• Horário de dúvidas: devido ao exame de Álgebra Linear o horário de dúvidas do dia 28/1 é adiado para as 15 horas.
• Resultados do 1º exame: a pauta após o 1º exame está disponível.
• Solução do 1º exame: uma solução do 1º exame está disponível.
• Enunciado do 1º exame: o enunciado do exame do dia 17/1/2002 está disponível.
• Aulas de dúvidas: Durante o período de exames o Professor responsável terá horário de dúvidas às 10h 30m de 2ª a 6ª. Resoluções de séries de exercícios serão devolvidas nas sessões a partir de 2ª feira dia 14 de Janeiro.
• Exames: Segundo o SOP decorrem em 17 de Janeiro às 9 horas e 31 de Janeiro às 9 horas. Não são necessárias quaisquer espécie de inscrições.
• Aula extraordinária: Decorrerá uma aula extraordinária para a turma de Ambiente na 2ª feira 10/12/2001 das 10h às 12h. Devido à dificuldade em encontrar salas com características adequadas durante todo o período usaremos duas salas vizinhas sucessivamente: V007 das 10 às 11h e V004 das 11h às 12h.
• Correcção à lista de exercícios: A indicação de um exercício para a semana de 26 a 30 de Novembro estava incorrecta e foi corrigida (20 em vez de 19). Nesse exercício onde está simplesmente deve ler-se pontualmente.
• Exercícios de Análise Matemática I/II: O Departamento de Matemática decidiu disponibilizar electronicamente o texto Exercícios de Análise Matemática I/II.
• Alunos entrados em 2ª fase: Recebi a seguinte mensagem de um membro do Conselho Directivo (Prof. Pedro Alexandre Santos):

  [...]

  Por omissão, os alunos que entraram na 1ª fase seguem as aulas e fazem a avaliação nas turmas de 1ª fase. Os alunos que entraram na 2ª fase numa licenciatura farão as cadeiras de Álgebra Linear e Análise Matemática I na turma de 2ª fase, incluindo a utilização da data de exame especial para a 2ª fase (não podendo por isso realizar exame na 1ª data). Para as outras cadeiras seguirão o que ficou definido em cada licenciatura.

  Os alunos que pretendam mudar de regime (i.e. alunos que tendo oficialmente entrado na 1ª fase por qualquer motivo iniciaram as aulas mais tarde e pretendam seguir o regime da 2ª fase, ou alunos que tendo entrado oficialmente numa licenciatura em 2ª fase pretendam seguir nessa licenciatura o regime da 1ª fase) devem fazer um requerimento ao Conselho Directivo nesse sentido até 15 de Dezembro de 2001.

  [...]

  Quaisquer dúvidas sobre este assunto devem ser esclarecidas directamente com o Conselho Directivo.

• Substituição de aula prática: Devido ao feriado de 1 de Novembro será eventualmente necessário compensar a aula prática correspondente de Ambiente.
• Lista de problemas na semana de 29 de Outubro: Devido ao pequeno atraso na aula teórica não haverá lista de problemas esta semana. O que até calha bem devido ao feriado de 5ª feira. O prazo de entrega fica automaticamente prorrogado.
• Aula de substituição: A aula prática de substituição da turma de Aeroespacial realiza-se no dia 18/10/2001 das 11 horas às 11 horas na sala SDM. A data desta aula tem sido adiada sucessivamente.
• Alteração de sala: A aula teórica de 2ª feira passa a ser na sala Va4 (Pavilhão de Eng. Civil).
• As actividades da disciplina iniciam-se de acordo com o calendário escolar do IST na semana de 1 de Outubro. Isto inclui aulas teóricas e aulas práticas.

Esta página refere-se exclusivamente a Análise Matemática I de Eng. Aeroespacial e Ambiente no 1º semestre de 2001/2002. Não é aplicável a outras licenciaturas ou outros anos lectivos.

Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática tendo em mente os desideratos de rigor intelectual subjacentes à citação de Jaime Campos Ferreira que se faz acima à esquerda sem cair nos facilitismos criticados por Eduardo Prado Coelho à direita. Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular. Esta é uma mudança de perspectiva essencial relativamente àquilo que é hábito para a maioria dos alunos.

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

• Apostol, T. M., Mathematical Analysis, second edition.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis.
• Spivak, M., Calculus.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II. Este texto servirá como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógico e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência para este tópico (versão para consultar on-line, versão para imprimir).

Planeamento e sumários

1. Apresentação. (1/10/2001).
2. A axiomática dos números reais: axiomas de corpo, ordem, naturais, racionais, axioma do supremo. (3/10/2001).
3. Consequências elementares do axioma do supremo: N não é limitado, propriedade arquimedeana, existência da raiz quadrada de 2,... (8/10/2001).
4. Conjuntos finitos, infinitos, conjuntos numeráveis, contáveis e não contáveis. O princípio de encaixe e a cardinalidade de R. (10/10/2001).
5. O princípio de encaixe e a cardinalidade de R. Pontos de acumulação. O princípio de encaixe e o teorema de Bolzano-Weierstrass. (12/10/2001).
6. A densidade dos racionais e dos irracionais em R. Sucessões: exemplos e definição de limite. Sucessões monótonas. (15/10/2001).
7. Sucessões: exemplos, limite e operações algébricas, limites infinitos, sucessões de Cauchy... (17/10/2001).
8. Sucessões limitadas, subsucessões, teorema de Bolzano-Weierstrass, sucessões de Cauchy... (19/10/2001).
9. Sucessões: caracterização de convergência usando subsucessões, exemplos (limite da raiz índice p de uma sucessão com limite não negativo, sucessões convergentes para e). (22/10/2001).
10. Aula de dúvidas devido a visita de estudo do curso de Aeroespacial. (24/10/2001).
11. Limite máximo e limite mínimo: aplicação ao limite da média geométrica. Séries: definição, sucessão das somas parciais, série geométrica. (26/10/2001)
12. Séries: exemplos, séries telescópicas, série harmónica, limite do termo geral nulo como condição necessária de convergência, critério de comparação para séries de termos não negativos. (29/10/2001).
13. Comparação com séries geométricas, critérios da razão e da raiz. Convergência da série harmónica. Exemplo de estimativa do resto de ordem n. (31/10/2001)
14. Convergência absoluta. Critério de Leibniz. Menção do critério de Dirichlet. Séries de potências. (2/11/2001)
15. Séries de potências (exemplos, funções exponencial, seno e cosseno). Reordenamento de séries. Produto de séries. (5/11/2001)
16. Funções reais de variável real: exemplos, terminologia e propriedades elementares. A definição de continuidade. (7/11/2001)
17. Caracterização da continuidade via sucessões (à Heine). Continuidade da composição de funções contínuas. (9/11/2001)
18. Limites. O teorema do valor intermédio. (12/11/2001)
19. Continuidade da função inversa de uma função contínua. A exponencial e o logaritmo. (14/11/2001)
20. O teorema de Weierstrass. Noção de derivada. Aplicação do teorema de Weierstrass ao lema de Rolle. (16/11/2001)
21. As funções hiperbólicas e as suas inversas. Aplicações do teorema de Weierstrass. Introdução ao conceito de convergência uniforme de sucessões de funções. (19/11/2001)
22. Convergência uniforme de sucessões e séries de funções. O critério de Weierstrass. Aplicação à continuidade de funções representadas por séries de potências. (21/11/2001)
23. Funções trigonométricas: dedução de propriedades elementares a partir da definição via séries de potências, definição das funções trigonométricas inversas e suas propriedades. (23/11/2001)
24. Teoremas básicos sobre diferenciabilidade: continuidade como condição necessária de diferenciabildade, diferenciabilidade e operações algébricas, teorema de derivação da função composta, aplicação à dedução da fórmula da derivada da função inversa. (26/11/2001)
25. Teorema de derivação da função inversa. Lema de Rolle e teorema de Lagrange. Sinal da derivada e monotonia. (28/11/2001)
26. Derivadas de ordem superior à primeira. Introdução à fórmula de Taylor.
    Inquéritos pedagógicos. (30/11/2001)
27. Funções convexas. Convexidade e segunda derivada. Aplicações ao gráfico de funções. Teorema de Cauchy. (3/12/2001)
28. A fórmula de Taylor. O resto de Peano. Aplicação à classificação de pontos de estacionaridade como pontos de máximo ou mínimo usando a fórmula de Taylor. (5/12/2001)
29. Classificação de pontos de estacionaridade como pontos de máximo ou mínimo usando a fórmula de Taylor (cont.). Série de Taylor. O resto de Lagrange. Critério de convergência da série de Taylor para a função. (7/12/2001)
30. Outras consequências dos teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Regra de Cauchy e levantamento de indeterminações. (10/12/2001)
31. Exemplos de esboço de gráfico de funções. (12/12/2001)
32. Representação de funções usando série de Taylor. Dedução da série de Taylor a partir de casos conhecidos, mudança de variáveis, derivação termo a termo de séries de potências, ... Introdução à série binomial. (14/12/2001)
33. A série binomial e estudo da sua convergência. (17/12/2001)
34. O teorema de Darboux. (19/12/2001)
35. Diferenciação e convergência uniforme de sucessões e séries de funções (para funções definidas num intervalo convergência uniforme da sucessão das derivadas e convergência uniforme da sucessão de funções num ponto implica convergência uniforme da sucessão de funções).
    A notação de Landau. (21/12/2001)
36. Revisões de cálculo diferencial (4/1/2002)
37. Revisões de cálculo diferencial (7/1/2002)
38. Revisões de cálculo diferencial (9/1/2002)

O programa mínimo oficial desta disciplina encontra-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo. À medida que as aulas decorrerem o planeamento ir-se-á convertendo em sumários das aulas teóricas.

Corpo docente

Todas as turmas são leccionadas pelo Professor responsável.

Horários de aulas e dúvidas

Consulte os horários do SOP para Eng. do Ambiente ou Eng. Aeroespacial. Durante o período de aulas foi possível consultar qualquer Professor ou Assistente de Análise Matemática I em horário comum. O Professor responsável por Ambiente e Aeroespacial esteve disponível 2ª às 16h, 3ª às 11h e 4ª às 14h durante períodos de 1 hora. Durante o período de exames o horário inclui 2ª a 6ª às 10h 30m durante períodos de 1 hora. As sessões de dúvidas decorrem no piso 02 do edifício de Pós-Graduação.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas e práticas iniciam-se a 1 de Outubro de 2001.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém um enunciado de um exame modelo e dos 1º e 2º exames do ano lectivo transacto do mesmo responsável. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e um subconjunto será entregue para correcção na semana seguinte. A duração da aula prática é insuficiente para resolver todos os exercícios. Os exercícios da última semana não necessitam de ser entregues para correcção.