Sumário

Aula 1 (13/09/10): Funcionamento da cadeira. Espaços topológicos: introdução/revisão.

Aula 2 (14/09/10): Variedades topológicas. Exemplos: toro, garrafa de Klein, espaço projectivo de dimensão 2. Variedades topológicas com bordo. Exemplos: banda de Mobius e cilindro. Variedades diferenciáveis. Parametrizações, cartas locais, mudanças de coordenadas, atlas, atlas maximal.

Aula 3 (16/09/10): Continuação. Exemplos de variedades diferenciáveis.

Aula 4 (20/09/10): Aplicações diferenciáveis entre variedades. Exemplos. Difeomorfismos. Exemplos.

Aula 5 (21/09/10): Revisão de espaço tangente num ponto a uma variedade mergulhada em R^n. Vectores tangentes como operadores de derivação. Definição de vector tangente num ponto a uma variedade diferencial. Base do espaço tangente num ponto associada a uma escolha de coordenadas locais. Transformação de coordenadas. Exemplos. O fibrado tangente a uma variedade diferencial.

Aula 6 (23/09/10): A aplicação tangente (a aplicação diferencial). Exemplos. Imersões, submersões e mergulhos. Forma canónica local de uma imersão e de uma submersão.

Aula 7 (27/09/10): Aula prática (ficha 1).

Aula 8 (28/09/10): Subvariedades imersas e mergulhoadas. Exemplos. Valores regulares.

Aula 9 (30/09/10): Teorema do valor regular. Exemplos. Campos vectoriais. O comutador de dois campos vectoriais. Propriedades. Exemplos.

Aula 10 (04/10/10): Álgebras de Lie. Push-forward. Definição de curva integral de um campo vectorial. Existência e unicidade de curvas integrais de um campo vectorial. Fluxos. Grupos a 1 parâmetro de difeomorfismos de M. Campos completos. Exemplos.

Aula 11 (07/10/10): Campos vectoriais com suporte compacto são completos. Derivada de Lie de uma função ao longo de um campo vectorial. Igualdade entre a derivada de Lie de Y ao longo de X e [X,Y]. L_X como derivação da álgebra de Lie de campos vectoriais.

Aula 12 (11/10/10): Relação entre o comutador de campos vectoriais e a operação de push-forward. Difeomorfismos de M preservam X sse preservam o fluxo de X. Dois campos vectoriais comutam sse os seus fluxos comutam. Grupos de Lie.

Aula 13 (12/10/11): Continuação. Grupos de Lie. Exemplos: grupo linear geral e linear especial, U(1), grupo ortogonal. Campos invariantes à esquerda. Exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Exemplos.

Aula 14 (14/10/11): Aula prática (ficha 2).

Aula 15 (18/10/09): Aplicação exponencial. Acções de grupo de Lie em variedades. Exemplos. Acções próprias. Exemplos. Condição suficiente para o espaço quociente ser Hausdorff.

Aula 16 (19/10/09): Acções próprias e livres de grupos de Lie em variedades têm espaços quociente que são variedades. Exemplos. Revestimentos. Exemplos. Enunciado do teorema de Lie.

Aula 17 (21/10/09): Orientações. Uma variedade conexa tem duas orientacções. Variedades diferenciais com bordo. Orientação induzida no bordo. Tensores-k num espaço vectorial. Produto tensorial. Tensores alternantes. A operacao Alt.

Aula 18 (25/10/10): Produto exterior e base do espaço dos tensores-k alternantes. Exemplos. Pull-back de covectores-k. Campos tensoriais diferenciáveis em variedades.

Aula 19 (26/10/10): Formas diferenciais em variedades. Propriedades. Pull-back e cálculo do pull-back. Derivada exterior e propriedades.

Aula 20 (28/10/10): Aula prática (ficha 3).

Aula 21 (02/11/10): Derivada de Lie e fórmula de Cartan. Integrais de formas diferenciais em variedades orientadas. Teorema de Stokes.

Aula 22 (04/11/10): Formas de volume. Métricas e variedades Riemannianas. Métricas induzidas por uma imersão. Métricas invariantes à esquerda num grupo de Lie.

Aula 23 (08/11/10): Comprimento de uma curva numa variedade Riemanniana. O gradiente. Conexões afins: introdução, definição, símbolos de Christoffel.

Aula 24 (09/11/10): Continuação. Campo vectorial paralelo ao longo de uma curva. Geodésicas. Exemplo. Transporte paralelo. Torsões e conexão simétrica.

Aula 25 (11/11/10): Aula prática (ficha 4).

Aula 26 (15/11/10): Teorema e conexão de Levi-Civita. Fórmula de Koszul. Exemplos.

Aula 27 (16/11/10): Propriedade minimizadora da geodésica. A aplicação exponencial. Variedades geodesicamente completas. Curvatura. Tensor de Riemann-Christoffel.

Aula 28 (18/11/10): Primeira identidade de Bianchi. Tensor de curvatura. Simetrias do tensor de curvatura.

Aula 29 (22/11/10): Curvatura seccional. Isotropia. O tensor da curvatura de uma variedade isotrópica. Tensor de Ricci. Curvatura escalar.

Aula 30 (23/11/10): Referenciais móveis de Cartan. Formas de conexão. Formas de curvatura. Equações de estrutura de Cartan para a conexão de Levi-Civita.

Aula 31 (25/11/10): Aula prática (ficha 5).

Aula 32 (29/11/10): Exemplos. Relação entre a forma de curvatura e a curvatura seccional para superfícies. Fórmula de transformação das formas de conexão sob mudança de referencial móvel, caso de dimensão 2.

Aula 33 (30/12/10): Continuação. Curvatura geodésica. Exemplos. Introdução ao teorema de Gauss-Bonnet.

Aula 34 (02/12/10): Teorema de Gauss-Bonnet. Exemplos.

Aula 35 (06/12/10): Variedades Rienannianas de curvatura constante. Teorema de Killing-Hopf. Exemplos.

Aula 36 (07/12/10): Imersões isométricas. Segunda forma fundamental. Teorema egregium de Gauss.

Aula 37 (09/12/10): Aula prática (ficha 6).

Aula 38 (13/12/10): Introdução à Relatividade Geral.

Aula 39 (14/12/10): A solução de Schwarzschild.

Aula 40 (16/12/10): Soluções cosmológicas e o Big Bang.