Cálculo Diferencial e Integral I

Aula 1 (26-2-07): Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Revisões de Lógica. (Ler os textos de apoio Lógica e Teoria de Conjuntos).

Aula 2 (28-2-07): Cap 1: Números reais. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas. Axiomas de ordem e algumas propriedades. (Ler páginas 17 a 27 de [1]). (Acetatos).

Aula 4 (5-3-07): Subconjuntos dos números reais. O conjunto dos números naturais N: conjuntos indutivos e o método de indução matemática. Exemplos. O conjunto dos números inteiros Z e dos números racionais Q. A "suspeita" da existência de números irracionais: se s²=2 então s não é um número racional. (Ler páginas 27 a 30 de [1]).

Aula 5 (7-3-07): A recta real. Valor absoluto de um número real como distância; propriedades. Vizinhanças, intervalos. Conjuntos majorados, minorados, limitados: máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto. Exemplos. Axioma do Supremo. (Acetatos). (Ler pags. 59 a 66, 32 a 36 de [1]).

Aula 6 (8-3-07): Consequências do Axioma do Supremo: N não é majorado, propriedade arquimediana. Mais exemplos de supremos e ínfimos de conjuntos. Existência de números irracionais; Q não verifica o Axioma do Supremo. Raizes de números positivos. Densidade de Q e R\Q em R. Conjuntos finitos e infinitos; em cada intervalo exitem infinitos números racionais e infinitos números irracionais. (Ler pags. 37 a 41, 44 a 50 de [1]).

Aula 7 (12-3-07): Cap 2: Sucessões reais. Termo geral, sucessões definidas por recorrência. O gráfico e o conjunto dos termos de uma sucessão; sucessões de termos num subconjunto de R. Exemplos. Sucessões limitadas, majoradas e minoradas. Exemplos. Sucessões monótonas, crescentes e decrescentes. Exemplos. Definição de sucessão convergente. Exemplos. Unicidade do limite. (Ler pags. 81 a 87, 91 a 94 de [1]. Ler [2] Sucessões, até pag. 36).

Aula 8 (14-3-07): Sucessões de Cauchy; qualquer sucessão convergente é de Cauchy.  Exemplos. Sucessões convergentes são limitadas. Propriedades algébricas do limite: limite da soma, produto, quociente, raiz. Limite e relação de ordem; aplicações. Critério das sucessões enquadradas. (Ler pags. 120, 121, 94 a 101 de [1]).

Aula 9  (15-3-07): Continuação da aula anterior: exemplos. O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo; exemplos. A convergência da progressão geométrica de razão r, e da raiz indice n de r. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Aplicações: sucessões definidas por recorrência; definição do número de Neper e.
(Ler pags. 101, 102, 105 a 110 de  [1]. Ler [2] Sucessões, a partir da pag. 59).

Aula 10  (19-3-07): Subsucessões; exemplos. Qualquer subsucessão de uma sucessão limitada/monótona é limitada/monótona. Qualquer subsucessão de uma sucessão convergente é convergente, para o mesmo limite - critério de divergência. O conjunto dos sublimites de uma sucessão. Exemplos. Qualquer sucessão tem subsucessões monótonas; Teorema de Bolzano-Weiertrass: qualquer sucessão limitada tem subsucessões convergentes. (Ler pags. 89 a 91, 95, 96, 115 de  [1]. Ler [2] Sucessões, pag. 36 a 59).

Aula 11  (21-3-07): Continuação da aula anterior. Qualquer sucessão de Cauchy é convergente. O conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada é limitado; limite superior e inferior. Exemplos. A recta acabada: operações algébricas. Limites infinitos, definição e exemplos. Propriedades algébricas do limite: indeterminações com a soma e produto. Exemplos. Sucessões do tipo potência-exponencial. (Ler pags. 116 a 119, 121 a 132, 136 a 146 de  [1].)

Aula 12  (22-3-07): Continuação da aula anterior. Indeterminações com potência-exponencial; exemplos. O limite da raiz indice n de uma sucessão; exemplos. Comparar infinitamente grandes: escala de sucessões. (Ler pags. 146 a 158 de  [1].)

Aula 13  (26-3-07): Cap 3: Funções reais de variável real: continuidade. Definições: funções limitadas, pares e impares, periódicas. Funções monótonas crescente e decrescente; injectivas, sobrejectivas, bijectivas. Exemplos de revisão; as funções hiperbólicas sh, ch. Composição de funções; exemplos. A função inversa. Funções trigonométricas inversas; a função arcsen. (Ler pags. 231 a 240, 247 a 251, 259 a 270 de  [1] ; leitura complementar: [2] Funções).

Aula 14  (28-3-07): Continuação da aula anterior: as funções arcos, arctg. Continuidade num ponto: definição (no sentido de Cauchy); exemplos. Uma função contínua num ponto é limitada numa vizinhança desse ponto. Definição equivalente de continuidade usando limites de sucessões (no sentido de Heine). (Ler pags. 270 a 279 de  [1] ).

Aula 15  (29-3-07): Continuação da aula anterior; exemplos. Continuidade da soma, produto, quociente, módulo, raiz de funções contínuas. Continuidade da função composta.  Definição de limite num ponto aderente ao domínio. Num ponto do domínio, existência de limite é equivalente a continuidade. Exemplos. (Ler pags. 280, 281, 66 a 69, 283 a 290 de  [1] ).

Aula 16  (2-4-07): Definição equivalente de limite com sucessões. Exemplos. Propriedades do limite. Limites relativos a subconjuntos, limites laterais; exemplos. Prolongamento por continuidade a pontos aderentes ao domínio e equivalência com a existência de limite; exemplos. Limites infinitos e limites para infinito; exemplos. (Ler pags. 290 a 298, 300 a 303, 309 a 311 de  [1] ).

Aula 17  (4-4-07): Continuação da aula anterior. Propriedades algébricas, limite da função composta; indeterminações. Exemplos. Propriedades globais de funções contínuas num intervalo. Teorema do Valor Intermédio e alguns corolários; funções contínuas transformam intervalos em intervalos.  (Ler pags. 312 a  317 de  [1] ).

Aula 18  (12-4-07): Continuação da aula anterior. Aplicações à determinação do contradomínio de uma função. Exemplos. Teorema da continuidade da função inversa. Teorema de Weiertrass: uma função contínua num intervalo fechado tem máximo e mínimo nesse intervalo. Cap 4: Cálculo Diferencial. Definição de derivada, função diferenciável num ponto. Recta tangente ao gráfico.

Aula 20  (18-4-07): Continuação da aula anterior. Exemplos. Teorema da derivada da função composta. Exemplos. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos: derivadas de funções trigonométricas inversas. 

Aula 21  (19-4-07): Continuação da aula anterior. Aplicação ao cálculo de derivadas de funções do tipo potência-exponencial. Extremos: máximos, mínimos, extremos relativos ou absolutos. Exemplos. Se f é diferenciável em a e a é ponto de extremo então f'(a)=0. 

Aula 22  (23-4-07): Teorema de Rolle e corolários; aplicações ao estudo do número de soluções de uma equação. Teorema de Lagrange e corolários. Intervalos de monotonia. 

Aula 24  (30-4-07): Exemplos de aplicação da Regra de Cauchy. Derivadas de ordem superior à primeira, exemplos. Polinómio de Taylor: definição e propriedades. O Polinómio de Taylor de grau n como aproximação de ordem n de uma função num dado ponto.

Aula 25  (2-5-07): Exemplos de polinómios de Taylor. Classificação de pontos extremo; concavidades, pontos de inflexão. Exemplos. Fórmula de Lagrange para o resto do Polinómio de Taylor.
(Ler pags. 406 a 409, 436 a 442 de  [1] ).

Aula 26  (3-5-07): Continuação da aula anterior; aplicações. Cap 5: Primitivação Definição de primitiva para uma função real definida num intervalo, problema de valores iniciais. Primitivação imediata. Exemplos. 

Aula 27  (7-5-07):  Continuação da aula anterior: primitivas quase-imediatas. Primitivação de funções racionais. Exemplos. 
(Ler pags.  482 a 486 de  [1] ).


Aula 28  (9-5-07): Continuação da aula anterior: primitivação de funções racionais. Primitivação por partes. Exemplos.
(Ler pags. 487 a 497, 475 a 479 de  [1] ).


Aula 29  (10-5-07): Primitivação de funções trigonométricas.  Primitivação por substituição. Exemplos. 
(Ler pags. 474, 475, 480 a 482, 497 a 504 de  [1] ).


Aula 30  (14-5-07): Cap 6: Integral de Riemann. Motivação: cálculo de áreas. Decomposição de um intervalo; somas superiores e inferiores. Integral superior e inferior. Exemplos. Definição de função integrável num intervalo.
(Ler pags. 511 a 519 de  [1] ).


Aula 31 (16-5-07): Continuação da aula anterior: exemplos. Condições equivalentes de integrabilidade. Integrabilidade de funções contínuas. Exemplos. 
(Ler pags. 520 a 522 de  [1] ).


Aula 32  (17-5-07): Integrabilidade de funções monótonas. Propriedades do integral: aditividade em relação ao intervalo de integração, linearidade e monotonia. Integral do módulo de uma função integrável.
(Ler pags. 522 a 531, 535, 536 de  [1] ).


Aula 33  (21-5-07): O integral de uma função não depende dos seus valores num conjunto finito de pontos. Teorema da média. Integral indefinido. Exemplos e propriedades. Continuidade do integral indefinido. Diferenciabilidade do integral indefinido: Teorema Fundamental do Cálculo.
(Ler pags. 531 a 535, 537 a 542 de  [1] ).


Aula 34 (23-5-07): Consequências do Teorema Fundamental do Cálculo; exemplos. Regra de Barrow. Cálculo de integrais: exemplos. Integração por partes e por substituição. Exemplos.
(Ler pags. 543 a 550 de  [1] ).


Aula 35  (24-5-07): Aplicação: determinação de áreas. Exemplos. Cap 7: Séries. Paradoxo de Zenão. A sucessão de somas parciais. Séries convergentes e séries divergentes. Exemplos.
(Ler pags. 550, 578 a 581, 158 a 163 de  [1] ).


Aula 36  (28-5-07): Continuação da aula anterior. Séries geométricas; exemplos. Séries de Mengoli; exemplos. Linearidade. Condição necessária de convergência: converge para zero o termo geral de uma série convergente. Exemplos.
(Ler pags. 164 a 171 de  [1] ).


Aula 37  (30-5-07): Critérios de convergência para séries de termos não negativos. Critério geral de comparação e corolários. Exemplos. Critério do integral. Aplicação: séries de Dirichlet. 
(Ler pags. 174 a 180, 591 a 593 de  [1] ).


Aula 38  (31-5-07): Continuação da aula anterior. Critério da raiz. Exemplos. Critério d'Alembert. Exemplos. Séries de termos sem sinal fixo: convergência absoluta e simples. Séries alternadas: critério de Leibniz.
(Ler pags. 180 a 182, 184 a 186, 195 a 204 de  [1] ).


Aula 39  (4-6-07): Continuação da aula anterior. Exemplos: séries de Dirichlet alternadas, séries geometricas. Séries de potências. Raio de convergência e intervalo de convergência. Exemplos. 
(Ler pags. 216 a 221 de  [1] ).


Aula 40  (6-6-07): Funções definidas por séries de potências. Exemplos; as funções exponencial, seno e coseno. Séries de Taylor. Exemplos. Aplicações à determinação de extremos.
(Ler pags. 213 a 216 , 415 a 431 de  [1] ).