___ II. - Resolução de Equações ____
e de Sistemas

Este capítulo poderia perfeitamente ser apenas chamado Resolução de Equações, já que podemos encarar um sistema como um caso particular de uma equação, no sentido lato. Mas, nesse caso, a generalidade do título, poderia sugerir um âmbito global, fora do alcance de uma cadeira elementar de Análise Numérica.

O objectivo deste capítulo é simplesmente, de apresentar os métodos mais usuais para aproximar a solução de equações em R ou a solução de sistemas em Rn.

Podemos separar, quer as equações, quer os sistemas, em dois grupos: Lineares e Não Lineares.

Equações

  • Lineares

  • Não Lineares

Sistemas

  • Lineares

  • Não Lineares
No caso das Equações Lineares, resolver ax=b é tão trivial quanto o algoritmo da divisão... que na realidade só é trivial, porque o encaramos como uma operação elementar, executada pelo processador. Para avaliarmos a complexidade inerente, bastará experimentar programar as operações elementares de forma a obter, por exemplo, 100 casas decimais!
Quanto aos Sistemas Lineares, se ignorarmos os problemas numéricos resultantes da resolução de sistemas de grande dimensão, a resolução de um sistema linear, usando um método directo (p.ex: a eliminação de Gauss), é a posteriori computacionalmente mais simples do que a divisão!

Já no caso de trabalharmos com Equações (ou Sistemas) Não Lineares, os Métodos Directos só nos são possíveis, ou familiares, para casos muito particulares como é o caso da "fórmula resolvente para a equação do segundo grau", já conhecida na Antiguidade.

Mas já as fórmulas resolventes para as equações de terceiro ou quarto grau, apesar de existirem, não nos são familiares, devido à sua complexidade (com efeito resistiram 2000 anos, até que, no sec. XVI, Tartaglia e Cardan as deduziram). Se trabalharmos com equações algébricas de grau superior ao quarto, essa fórmula resolvente já não é possível como foi provado no sec. XIX graças aos trabalhos de Galois e Abel.

Por estas razões torna-se imprescindível obter outros métodos, não directos, para podermos chegar à solução destas equações não lineares. Isso será possível através dos Métodos Iterativos.

Primeiro, retomamos o assunto da Álgebra Linear acerca de Métodos Directos para Sistemas Lineares, mas do ponto de vista numérico, dado que nas aplicações é muito frequente encontrar sistemas de grande dimensão, onde convém optimizar o número de operações realizadas e evitar problemas de condicionamento ou estabilidade, que podem levar a grandes erros.

II.1 - MÉTODOS DIRECTOS para Sistemas Lineares

  • II.1 a) - Método de Eliminação de Gauss
    Número de Operações. Pesquisa de Pivot
  • II.1 b) - Métodos de Factorização
    Método de Doolittle. Método de Cholesky. Matrizes Tridiagonais
  • II.1 c) - Normas de Matrizes e Condicionamento
    Normas de Matrizes. Número de Condição

    II.2.1 - MÉTODOS ITERATIVOS para Equações Não Lineares

  • II.2.1 a) - Localização de Raizes. Método da Bissecção
  • II.2.1 b) - Método do Ponto Fixo em R
  • II.2.1 c) - Método de Newton. Método da Secante

    MÉTODOS ITERATIVOS para Sistemas

  • II.2.2 - MÉTODOS ITERATIVOS para Sistemas Lineares
  • II.2.3 - MÉTODOS ITERATIVOS para Sistemas Não Lineares