O Ensino da Matemática às Ciências e às Engenharias

Introdução

Gostaria de começar por agradecer o convite para falar nesta iniciativa, que me parece muito interessante. Quando comecei a reflectir sobre o que dizer sobre este tema, o que me ocorreu imediatamente foi as inúmeras discussões que frequentemente temos nos corredores entre colegas, quer no Departamento de Matemática, quer com colegas de outros departamentos. A verdade é que uma boa parte dessas discussões prendem-se com aspectos organizativos, e a minha intervenção vai pois focar mais os aspectos organizativos do ensino da Matemática.

Não vejo o problema da organização do ensino de forma isolada. Ele está certamente relacionado com os outros problemas que existem no ensino superior. De qualquer forma, em termos de organização da exposição, pareceu-me que havia quatro questões cujas respostas evidenciarão um pouco os problemas que temos: "Porquê ensinar Matemática?", "O que é que se deve ensinar?", "Como é que se deve ensinar?" e "Quem é que deve ensinar?". É claro que algumas, se não todas, destas questões já foram aqui abordadas noutras intervenções. Por exemplo, a resposta à primeira questão será mais ou menos pacífica, mas mesmo assim eu gostaria de a abordar, pois é com ela em mente que procurarei dar respostas às outras questões.

Gostaria de frisar que nesta intervenção vou focar sobretudo o ensino da Matemática às engenharias, deixando de fora o ensino às ciências exactas, como por exemplo a Física ou a Biologia, e concentrar-me mais no ensino de licenciatura, embora gostasse, de passagem, de focar alguns aspectos do ensino de pós-graduação. Um outro aspecto importante, e que certamente condiciona as minhas respostas, é o modelo de escola que tenho em mente. Por oposição a uma escola grande, generalista, a escola a que pertenço, o Instituto Superior Técnico (IST), é uma escola tradicional de ciência e tecnologia, sendo esse o modelo que me é mais familiar e que irei discutir.

Termino esta introdução com uma citação que aprecio muito, e que além do mais provém de fonte insuspeita:

Too few people recognize that the high technology so celebrated today is essentially a mathematical technology

Edward E. David,

Presid. do Dep. de I&D da Exxon Corporation

De facto, parece-me que cada vez mais, o ensino da Ciência e Tecnologia, é um ensino com uma forte componente Matemática. Esquecer isso é sacrificar aspectos essenciais desse ensino!

1. Porquê ensinar Matemática?

UTILITÀRI0

FORMATIVO

  • Ferramenta para obter informação quantitativa e qualitativa.

  • Treino mental para a formulação e resolução de problemas.
  • Linguagem para troca de informação científica e técnica.
  • Estimula a curiosidade e a imaginação na procura de soluções.
  • Facilita a análise de fenómenos naturais, sistemas complexos, etc.
  • Ensina como estruturar ideias e organizar o pensamento.
  • Permite sistematizar e generalizar a partir de casos particulares.
  • Ajuda a criar confiança no raciocínio independente.
  • Permite construir modelos para recorrer ao computador.
  • Educa para adaptação ao futuro.
  •  

    Existem pois duas componentes fundamentais no ensino da Matemática: a utilitária e a formativa. Umas vezes há modelos de ensino em que se foca uma das componentes em detrimento da outra, e há até escolas com tradições quer numa quer noutra componente. Parece-me que tem de haver um equilíbrio perfeito entre estas duas componentes, pois perdem-se aspectos muito relevantes quando se aposta só numa delas. Por exemplo, a experiência mostra que os problemas com que um engenheiro se confronta logo após o término do seu curso, não são muito provavelmente os mesmos que enfrentará passados 10 anos. A tecnologia muda rapidamente e, portanto, um engenheiro deve obter uma formação que o ajude a colocar e a resolver problemas no sentido lato, não somente os problemas concretos com que se defronta no seu primeiro emprego. Assim, o treino dum engenheiro não pode contemplar apenas aspectos utilitários ou empíricos, deve ser sim uma formação para o futuro mais ou menos distante, mais ou menos incerto, no qual a Matemática tem um papel muito relevante.

     

    Antes de passar às questões seguintes, pareceu-me interessante mostrar alguns indicadores de várias escolas de reconhecido prestígio. Mostrá-los em conjunto permite-nos uma pequena comparação com o que se passa lá fora. Tendo passado alguns anos nos Estados Unidos, a minha forma de pensar é obviamente influenciada por essa experiência. As escolas que decidi escolher para efeitos desta apresentação são escolas com grande tradição em Ciência e Tecnologia: o California Institute of Technology (CalTech), o Imperial College (IC), o Massachusetts Institute of Technology (MIT) e a Standford University.

    N de Alunos

    Licenciatura

    Pós-Graduação

    Professores & Investigadores

    Staff

    Orçamento

    (103 PTE)

    Crd

    Duração da Licenciatura

    Nobel

    CalTech

    910

    1,090

    780

    1,750

    ???

    S

    4 anos

    26

    IC

    6,245

    2,579

    2,857

    1,377

    58,800,000

    S

    4 anos

    18

    MIT

    4,381

    5,499

    1,432

    6,418

    213,500,000

    S

    4 anos

    11

    Stanford

    6,639

    7,445

    1,534

    5,881

    252,000,000

    S

    4 anos

    14

    IST

    8,255

    990

    815

    615

    10,360,000

    S/N

    5 anos

    0

    Tabela 1 - Indicadores sobre escolas congéneres (1998)

    Gostaria de salientar que, com excepção de CalTech, todas estas escolas têm uma população estudantil semelhante, em ordem de grandeza, à do IST. A primeira observação é que no IST existe um desequilíbrio muito grande entre o número de estudantes de licenciatura e o número de estudantes de pós-graduação (e ainda esta semana foi aprovado um novo plano de expansão do IST que contempla mais três mil alunos de licenciatura!). Parece-me, que uma das grandes apostas para o futuro do IST deveria ser no ensino de pós-graduação, com uma progressiva diminuição no número de alunos de licenciatura.

    Uma segunda observação, é a grande desproporção no número de professores e investigadores, no staff, e no orçamento do IST e das outras escolas. Não me parece que a menor riqueza do nosso país seja suficiente para o justificar. Penso que o IST é claramente subfinanciado, mas esta é uma questão que nos levaria muito para lá do âmbito deste debate (sobre o financiamento ver, por exemplo, a intervenção do Professor Vital Moreira).

    Uma terceira observação é que todas estas escolas funcionam com sistemas à base de créditos. O IST, embora funcione com currículos fixos, oferece opções nos anos curriculares mais avançados e que, apesar de tudo, flexibilizam um pouco esses currículos. Por outro lado, em termos de duração das licenciaturas, seria talvez mais justo comparar uma licenciatura do IST a um programa integrado de licenciatura e mestrado, por exemplo um MSc em Engenharia, que também existem nestas escolas.

    A última coluna da tabela (n de prémios Nobel) é apena uma pequena curiosidade...

     

    2.O que se deve ensinar?

    O ensino de Matemática à engenharia deve deve sempre incluir:

    Para isso deve basear-se num sistema de créditos.

    No próximo quadro apresenta-se uma quantificação dos créditos das cadeiras de Matemática para uma licenciatura típica em Engenharia Electrotécnica.

    Total de Créditos

    Créd. em Matemática*

    Créditos em Matemática por ano curricular

    1 Ano

    2 Ano

    3 Ano

    4 Ano

    5 Ano

    CalTech

    486

    11% (18%)

    27

    27

    36

    51

    IC

    790

    14% (13%)

    55

    55

    40

    60

    MIT

    189

    19% (13%)

    12

    24

    12

    12

    Stanford

    180

    13% (13%)

    15

    9

    12

    12

    IST

    179

    13% (0%)

    12

    12

    -

    -

    -

    *Entre parenteses estão assinalados os créditos opcionais.

    Tabela 2 - Créditos da Licenciatura em Engenharia Electrotécnica

     

    Analisando o currículo destas licenciaturas constata-se que a componente obrigatória do currículo inclui pelo menos os seguintes tópicos:

    A componente opcional do currículo, naturalmente, varia bastante e inclui, entre outros, o seguintes tópicos:

    Ainda em relação ao currículo, gostava de mencionar que existe um estudo muito interessante da Sociedade Europeia para a Formação de Engenheiros, em que se propõe precisamente um currículo deste tipo, com uma parte obrigatória, o mínimo essencial, e que inclui as matérias que habitualmente se oferecem nas nossas escolas, mas que recomenda, muito fortemente, uma componente opcional. O sistema que nós temos em Portugal, por ser um sistema de currículo fixo, não permite a um aluno obter uma formação mais sólida em Matemática se assim o desejar. Isso parece-me ser uma lacuna grave no nosso sistema.

    3. Como é que se deve ensinar?

    Para mim, há três aspectos essenciais na forma de ensinar Matemática a engenheiros:

    A estes três aspectos formais juntam-se três aspectos práticos importantes:

    Este aspectos práticos são obviamente condicionados pelas condições existentes nas nossas escolas. A este respeito, gostaria de mostar mais um quadro com indicadores comparativos sobre estes mesmos aspectos:

    Rácios Alunos/Docente

    Carga Lect. Semanal

    Duração do Ano Lectivo

    Duração da Avaliação

    Global

    Matemática

    Prof. Matemática

    CalTech

    -

    -

    31 (12 %)

    20 h

    3*10 Sem

    3*1 Sem

    Imperial C

    12.1

    10.5

    112 (9,7%)

    18 h

    2*11 Sem

    <2 Sem

    MIT

    -

    -

    116 (8.1%)

    23 h

    2*13 Sem

    2*1 Sem

    Stanford

    -

    -

    66 (9.5%)

    22 h

    3*10 Sem

    3*1 Sem

    IST

    10.8

    17.5

    53 (5.9%)

    27 h

    2*15 Sem

    2*8 Sem

    Tabela 3 - Rácios e pesos das cadeiras de Matemática

     

    Apenas dois comentários:

    Os rácios: frequentemente, quando há discussões nos órgãos directivos das escolas sobre os rácios, argumenta-se que o rácio na Matemática deve ser mais elevado, porque sendo ensino de "papel e caneta", pode abarcar um maior número de alunos. Esse é também um dos grandes problemas na qualidade do ensino da Matemática. Para implementar os aspectos práticos que mencionei, para termos alunos melhor preparados, precisamos de ter turmas mais pequenas, precisamos de ter uma melhor relação professor/aluno, em vez de salas cheias e anfiteatros de trezentos alunos.

    A carga lectiva: nas escolas estrangeiras, as cargas lectivas são mais baixas e os semestres são mais curtos. O período de exames é também incomparavelmente mais curto. É tipico das universidade americanas as aulas começarem em Setembro e acabarem em Maio, com períodos de exames de uma semana no final de cada semestre. O resto do tempo é para os professores se prepararem melhor, para fazerem investigação, para melhorarem os laboratórios, para interagirem com a sociedade, e para os alunos descansarem e se divertirem...

    Gostaria de fazer ainda uma pequena referência ao ensino de pós-graduação: Não existe nos programas de mestrado e doutoramento em Engenharia do IST uma única cadeira em Matemática (obrigatória ou opcional) leccionada pelo Departamento de Matemática. Isto não quer dizer que não exista preparação em Matemática, fornecida por professores de outros departamentos. No entanto, o que sucede nas escolas estrangeiras que mencionei, é os alunos de pós-graduação em Engenharia frequentarem cadeiras de pós-graduação em Matemática. Quem tenha estado no estrangeiro a frequentar programas de mestrado ou doutoramento têm essa experiência: certamente tiveram colegas em cursos de pós-graduação, das áreas de engenharia ou de outras ciências exactas.

    4. Quem é que deve ensinar Matemática?

    Penso que o que expus acima permite-me dar uma resposta concisa a esta questão: devem ensinar Matemática profissionais em Matemática, activos em investigação, com conhecimento das aplicações e integrados em bons departamentos de Matemática.

     

    Rui Loja Fernandes

    Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico

    rfern@math.ist.utl.pt

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