ANÁLISE
MATEMÁTICA IV
2º Semestre de
2003/2004
L. E. A. Naval
L. E. Biológica
L. E. Química
L. Química
Sumários,
apontamentos e acetatos das aulas teóricas:
1ª Aula (2 de Março de 2004)
Apresentação.
Introdução histórica aos números complexos.
Apontamentos
2ª Aula (3 de Março de 2004)
Números
complexos. Representação polar. Fórmula de De Moivre. Fórmulas de Euler.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
3ª Aula (5 de Março de 2004)
Topologia
do plano complexo. Exponencial complexa. Funções complexas de variável
complexa. Parte real e parte imaginária. Continuidade. Definição de
diferenciabilidade no sentido complexo.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
4ª Aula (9 de Março de 2004)
Diferenciabilidade
de funções de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann. Condições
necessárias e suficientes para a diferenciabilidade pontual. Definição de
funções analíticas (ou holomorfas).
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
5ª Aula (10 de Março de 2004)
Funções
trigonométricas e hiperbólicas. Estudo gráfico da função exponencial complexa.
Logaritmos de números complexos; funções logaritmo; ramo principal do
logaritmo.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
6ª Aula (12 de Março de 2004)
Analiticidade
das funções logaritmo. Exponenciação com base e expoente complexos. Funções
trigonométricas inversas.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
7ª Aula (16 de Março de 2004)
Integração
de funções complexas de variável real. Definição e propriedades do integral de
caminho de funções complexas de variável complexa.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
8ª Aula (17 de Março de 2004)
Integrais
de funções derivadas. Teorema de Cauchy. Consequências do Teorema de Cauchy.
Fórmula integral de Cauchy.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
2. 3. 4.
9ª Aula (19 de Março de 2004)
Fórmulas
integrais de Cauchy. Teorema de Morera. Funções harmónicas e suas conjugadas.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
10ª Aula (23 de Março de 2004)
Convergência
uniforme de séries de funções. Séries de potências.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
11ª Aula (24 de Março de 2004)
Séries de potências. Série de
Taylor.
Apontamentos (na primeira versão destes apontamentos
faltava a última página pag. 5)
Acetatos: 1. 2.
12ª Aula (26 de Março de 2004)
Séries
de Laurent. Teorema dos Resíduos. Classificação de singularidades isoladas.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
13ª Aula (30 de Março de 2004)
Cálculo
de Resíduos em pólos. Cálculo de limites. Aplicações do Teorema dos Resíduos:
integrais de funções trigonométricas
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
14ª Aula (31 de Março de 2004)
Continuação
da aula anterior.
15ª Aula (2 de Abril de 2004)
Aplicações
do Teorema dos Resíduos: integrais de funções racionais; Lema de Jordan.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
16ª Aula (6 de Abril de 2004)
Factorização
de polinómios. Decomposição de funções racionais em fracções simples.
Apontamentos
17ª Aula (7 de Abril de 2004)
Revisões.
18ª Aula (14 de Abril de 2004)
Introdução
às equações diferenciais.
Apontamentos
19ª Aula (16 de Abril de 2004)
1º
Teste.
20ª Aula (20 de Abril de 2004)
Equações
lineares. Equações separáveis. .
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
21ª Aula (21 de Abril de 2004)
Exemplos
de EDO separáveis. Soluções gerais. Intervalos máximos de definição e
explosões. Soluções definidas implicitamente. Equações exactas.
Apontamentos Acetatos: 1.
22ª Aula (23 de Abril de 2004)
Equações
redutíveis a exactas; factores de integração.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
23ª Aula (27 de Abril de 2004)
Mudanças
de variáveis. Equações de Bernoulli. Equações homogéneas. Campos de direcções.
Apontamentos Acetatos: 1.
24ª Aula (28 de Abril de 2004)
Método
de Euler. Problema da existência e unicidade de soluções; exemplos. Teorema de
Picard-Lindelöf. Funções localmente lipschitzianas.
Apontamentos Acetatos: 1.
25ª Aula (30 de Abril de 2004)
Teorema
de Picard-Lindelöf; existência e unicidade de soluções. Extensão de soluções a
intervalos máximos de definição. Comparação de soluções. EDO’s de 1ª
ordem vectoriais.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
26ª Aula (4 de Maio de 2004)
Sistemas
de equações lineares. Exponencial de uma matriz. Funções matriciais. Solução
geral de um sistema linear homogéneo.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
27ª Aula (5 de Maio de 2004)
Sistemas
de equações lineares homogéneos: dimensão do espaço das soluções; soluções
próprias; soluções com valores complexos. Exponenciais de matrizes semelhantes.
Exponenciais de matrizes diagonalizáveis.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
28ª Aula (7 de Maio de 2004)
Blocos
Jordan. Matrizes na forma canónica de Jordan. Exponencial de matrizes
semelhantes a matrizes na forma canónica de Jordan.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4. 5.
29ª Aula (11 de Maio de 2004)
Fórmula
da variação das constantes para sistemas de equações de 1ª ordem. Equações
diferenciais de ordem n. Redução a um sistema de n equações de 1ª ordem.
Equação linear de coeficientes constantes. Matriz companheira. Polinómio
característico. Operadores diferenciais lineares de coeficientes
constantes.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
30ª Aula (12 de Maio de 2004)
Solução
da equação linear homogénea de ordem n. Equação não homogénea; método dos
coeficientes indeterminados.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
31ª Aula (14 de Maio de 2004)
Matriz
Wronskiana. Independência linear de funções. Fórmula da variação das constantes
para equações lineares escalares de ordem n.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
32ª Aula (18 de Maio de 2004)
Transformada
de Laplace: definição, propriedades e uso na resolução de equações diferenciais
lineares com coeficientes constantes.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3. 4.
33ª Aula (19 de Maio de 2004)
Transformada
de Laplace aplicada na resolução de equações diferenciais lineares com
descontinuidades por salto e impulsos.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
34ª Aula (21 de Maio de 2004)
2º
Teste
35ª Aula (25 de Maio de 2004)
Métodos
de redução de ordem. O pêndulo não linear.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
36ª Aula (26 de Maio de 2004)
Método
da separação de variáveis. Condições fronteira de Neumann. Condições fronteira
periódicas.
Apontamentos
37ª Aula (28 de Maio de 2004)
Séries
de Fourier. Convergência pontual. Séries de senos. Séries de cosenos.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
38ª Aula (1 de Junho de 2004)
Séries
de Fourier escritas na forma complexa. Convergência em média quadrática.
Regularidade e estimativas sobre os coeficientes das séries de Fourier.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
39ª Aula (2 de Junho de 2004)
Continuação
da aula anterior.
40ª Aula (4 de Junho de 2004)
Equação
do calor não homogénea. Interpretação geométrica da difusão. Equação das ondas.
Sobreposição de harmónicos; modos de vibração.
Apontamentos Acetatos: 1. 2.
41ª Aula (8 de Junho de 2004)
Equação
das ondas. Solução de D’Alembert. Propagação de ondas; reflexão com inversão na
fronteira.
Apontamentos Acetatos: 1. 2. 3.
42ª Aula (9 de Junho de 2004)
Equação
de Laplace. Relação com as funções analíticas no plano complexo; problema de
Dirichlet no círculo e em domínios transformados conformemente. Problema de
Dirichlet no rectângulo; separação de variáveis.
Apontamentos Acetatos: 1.
43ª Aula (11 de Junho de 2004)
Esclarecimento
de dúvidas.
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