L. E. Química
L. E. Ambiente
L. Química
L. E. Biológica
1ª Aula (15 de Setembro de 2003)
Apresentação.
Introdução histórica aos números complexos.
2ª Aula (17 de Setembro de 2003)
Números
complexos. Representação polar. Fórmula de De Moivre. Fórmulas de Euler.
Acetato 2.1; Acetato 2.2; Acetato 2.3; Acetato 2.4
3ª Aula (19 de Setembro de 2003)
Topologia do plano
complexo. Exponencial complexa. Funções complexas de variável complexa. Parte
real e parte imaginária. Continuidade. Definição de diferenciabilidade no
sentido complexo.
Acetato 3.1; Acetato 3.2; Acetato 4.1
4ª Aula (22 de Setembro de 2003)
Diferenciabilidade
de funções de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann. Condições
necessárias e suficientes para a diferenciabilidade pontual.
Acetato 4.1; Acetato 4.2; Acetato 4.3
5ª Aula (24 de Setembro de 2003)
Funções
analíticas (ou holomorfas); definição. Funções trigonométricas e hiperbólicas.
6ª Aula (26 de Setembro de 2003)
Estudo gráfico
da função exponencial complexa. Logaritmos de números complexos; funções
logaritmo; ramo principal do logaritmo.
Acetato 6.1; Acetato 6.2; Acetato 6.3
7ª Aula (29 de Setembro de 2003)
Exponenciação
com base e expoente complexos. Funções trigonométricas inversas. Integração de
funções complexas de variável real.
Acetato 7.1; Acetato 7.2; Acetato 7.3; Acetato 7.4
8ª Aula (1 de Outubro de 2003)
Definição e propriedades
do integral de caminho de funções complexas de variável complexa. Integrais de
funções derivadas. Teorema de Cauchy.
Acetato 8.1; Acetato 8.2; Acetato 8.3; Acetato 8.4; Acetato 9.1A
9ª Aula (3 de Outubro de 2003)
Consequências do Teorema de Cauchy.
Fórmula integral de Cauchy.
Acetato 9.1A; Acetato 9.1B; Acetato 9.2; Acetato 9.3
10ª
Aula (6 de Outubro de 2003)
Fórmulas integrais de Cauchy. Teorema de
Morera. Funções harmónicas e suas conjugadas.
Acetato 10.1; Acetato 10.2; Acetato 10.3
11ª
Aula (8 de Outubro de 2003)
Convergência uniforme de séries de
funções. Séries de potências.
12ª
Aula (10 de Outubro de 2003)
Séries de potências. Série de Taylor.
Acetato 11.2; Acetato 12.1; Acetato 12.2; Acetato 12.3
13ª
Aula (13 de Outubro de 2003)
Séries de Laurent. Teorema dos Resíduos.
Acetato 13.1; Acetato 13.2; Acetato 13.3
14ª
Aula (15 de Outubro de 2003)
Classificação de singularidades isoladas.
Cálculo de Resíduos em pólos.
Acetato 14.1; Acetato 14.2; Acetato 14.3
15ª
Aula (17 de Outubro de 2003)
Cálculo de limites. Aplicações do Teorema dos
Resíduos: integrais de funções trigonométricas; integrais de funções racionais.
Acetato 15.1; Acetato 15.2; Acetato 15.3; Acetato 15.4
16ª
Aula (20 de Outubro de 2003)
Aplicações do Teorema dos Resíduos: Lema
de Jordan. Teorema de Liouville. Factorização de polinómios.
17ª
Aula (22 de Outubro de 2003)
Introdução às equações diferenciais.
18ª
Aula (24 de Outubro de 2003)
Equações lineares. Equações separáveis.
Acetato 18.1; Acetato 18.2; Acetato 18.3; Acetato 18.4
19ª
Aula (27 de Outubro de 2003)
Exemplos de EDO separáveis. Soluções
gerais. Intervalos máximos de definição e explosões. Soluções definidas
implicitamente.
20ª
Aula (29 de Outubro de 2003)
Equações exactas. Equações redutíveis a
exactas; factores de integração.
21ª
Aula (31 de Outubro de 2003)
Equações redutíveis a exactas; factores de
integração dependentes de uma só variável.
22ª
Aula (3 de Novembro de 2003)
Mudanças de variáveis. Equações de
Bernoulli. Equações homogéneas. Campos de direcções.
23ª
Aula (5 de Novembro de 2003)
Método de Euler. Problema da existência e
unicidade de soluções; exemplos. Teorema de Picard-Lindelöf. Funções localmente
lipschitzianas.
24ª
Aula (7 de Novembro de 2003)
Teorema de Picard-Lindelöf; existência e
unicidade de soluções. Extensão de soluções a intervalos máximos de definição.
Comparação de soluções.
Acetato 24.1; Acetato 24.2; Acetato 24.3
25ª
Aula (10 de Novembro de 2003)
EDO’s de 1ª ordem vectoriais. Introdução
aos sistemas de equações diferenciais lineares. Exponencial de uma matriz. Funções
matriciais.
Acetato 25.1; Acetato 25.2; Acetato 25.3; Acetato 25.4
26ª
Aula (12 de Novembro de 2003)
Sistemas de equações lineares homogéneos:
Solução geral; dimensão do espaço das soluções; soluções próprias; soluções com
valores complexos.
Acetato 26.1; Acetato 26.2; Acetato 26.3
27ª
Aula (14 de Novembro de 2003)
Exponenciais de matrizes semelhantes.
Exponenciais de matrizes diagonalizáveis. Exemplos.
28ª
Aula (17 de Novembro de 2003)
Blocos Jordan.
Matrizes na forma canónica de Jordan. Exponencial de matrizes semelhantes a
matrizes na forma canónica de Jordan.
Acetato 28.1; Acetato 28.2; Acetato 28.3; Acetato 28.4; Acetato 28.5
29ª
Aula (19 de Novembro de 2003)
Fórmula da
variação das constantes para sistemas de equações de 1ª ordem. Equações
diferenciais de ordem n. Redução a um sistema de n equações de 1ª ordem.
Equação linear de coeficientes constantes. Matriz companheira. Polinómio
característico.
Acetato 29.1; Acetato 29.2; Acetato 29.3; Acetato 29.4
30ª
Aula (21 de Novembro de 2003)
Operadores
diferenciais lineares de coeficientes constantes. Solução da equação linear
homogénea de ordem n.
31ª
Aula (24 de Novembro de 2003)
Método dos
coeficientes indeterminados. Matriz Wronskiana. Independência linear de
funções. Fórmula da variação das constantes para equações lineares escalares de
ordem n e coeficientes constantes.
Acetato 31.1; Acetato 31.2; Acetato 31.3; Acetato 31.4
32ª
Aula (26 de Novembro de 2003)
Observações
sobre a fórmula da variação das constantes. Transformada de Laplace.
Acetato 32.1; Acetato 32.2; Acetato 32.3; Acetato 32.4
33ª
Aula (28 de Novembro de 2003)
Transformada de Laplace
aplicada à resolução de equações diferenciais lineares; descontinuidades por
salto; impulsos.
34ª
Aula (3 de Dezembro de 2003)
Métodos de
redução de ordem. O pêndulo não linear.
35ª
Aula (5 de Dezembro de 2003)
A equação do calor.
Método da separação de variáveis. Condições fronteira de Dirichlet.
36ª
Aula (10 de Dezembro de 2003)
Método da
separação de variáveis. Condições fronteira de Neumann. Condições fronteira periódicas.
37ª
Aula (12 de Dezembro de 2003)
Séries de
Fourier. Convergência pontual. Séries de senos. Séries de cosenos.
38ª
Aula (15 de Dezembro de 2003)
Séries de
Fourier escritas na forma complexa. Convergência em média quadrática. Equação do
calor não homogénea. Interpretação geométrica da difusão.
Acetato 38.1; Acetato 38.2; Acetato 38.3; Acetato 38.4
39ª
Aula (17 de Dezembro de 2003)
Equação das
ondas. Sobreposição de harmónicos; modos de vibração. Solução de D’Alembert.
Propagação de ondas; reflexão com inversão na fronteira.
Acetato 39.1; Acetato 39.2; Acetato 39.3; Acetato 39.4
40ª
Aula (19 de Dezembro de 2003)
Equação de Laplace.
Relação com as funções analíticas no plano complexo; problema de Dirichlet no
círculo e em domínios transformados conformemente. Problema de Dirichlet no
rectângulo; separação de variáveis.
Última
actualização: Fevereiro 2004
