ANÁLISE FUNCIONAL

 

LMAC, MMA

 

2º Semestre 2011/2012

 

 

 

 

 

Programa (Aprovado pelo Conselho Científico do IST)

 

Generalidades sobre espaços métricos: sucessões de Cauchy, completude e completação. Espaços de Hilbert: produtos internos, ortogonalidade, bases hilberteanas, cálculo da aproximação óptima, série de Fourier, relação de Parseval. 

Operadores lineares limitados em espaços de Hilbert: propriedades elementares, funcionais em espaços de Hilbert, operadores adjuntos, autoadjuntos, unitários e normais, operadores de projecção ortogonais, subespaços invariantes, operadores compactos. 

Teoria espectral dos operadores autoadjuntos compactos: espectro e imagem numérica de um operador limitado, o teorema espectral, cálculo operatorial para operadores autoadjuntos compactos. Espaços de Banach: propriedades elementares, o espaço quociente, funcionais lineares e espaços duais, o teorema de Hahn-Banach e consequências, espaços reflexivos, o operador transposto, os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado, o princípio da limitação uniforme.

Álgebras de Banach: definições e exemplos, invertibilidade, ideais, ideais maximais e a álgebra quociente, espectro. 

Operadores compactos em espaços de Banach: propriedades gerais, aproximação por operadores de característica finita, teoria de Riesz-Schauder, o espectro de um operador compacto.Operadores de Fredholm: exemplos, caracterizações dos operadores de Fredholm, teoremas de perturbação, propriedades do índice, álgebras de Calkin

 

Planeamento

 

0 Exemplos de espaços lineares                                 [0.5 semanas]

 

I Espaços métricos e espaços normados                   [2 semanas]

 

 

II Espaços de Banach                                                 [3.5  semanas] 

 

 

III  Espaços de Hilbert                                               [2.5 semanas]

 

 

IV Teoria de Operadores                                           [3 semanas]

 

V Álgebras de Operadores                                         [1.5 semana]

 

 

 

Bibliografia

 

[0] Apontamentos de Análise Funcional, Fevereiro de 2012, Paulo Pinto, IST.

[1] Elementary Functional Analysis, Barbara D. MacCluer, Graduate Texts in Mathematics 253, Springer,  2009

[2] An Introductory Functional Analysis, E. Kreyszig, 1978, Wiley, New York

[3] Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I e II; R.V. Kadison and J. Ringrose, AMS, 1997

[4] Quantum Symmetries on Operator Algebras. D. E. Evans and Y. Kawahigashi, Oxford University Press,

[5] Ver mas referências aqui e a bibliografia no Fénix.