Polinómios de Mac-Laurin de x -> ln(1-x)
A encarnado: gráfico de x -> ln(1-x)
A azul: gráfico
do polinómio de Mac-Laurin de grau n desta função
Valores de n:
entre 0 e 10 (valores a bold no primeiro quadrante)
Observações:
1. A série de Mac-Laurin converge em ]-1,1[.
2. Para cada x no intervalo ]-1,1[, quando n tende para infinito,
vai para zero a diferença entre ln(1-x) e o
valor do seu polinómio de Mac-Laurin de grau n em x.
3. Obviamente, os polinómios de Mac-Laurin estão definidos em R.
4. Os polinómios de Mac-Laurin de x -> ln(1-x) estão calculados no ponto
I-17c) do resumo da matéria aulas teóricas.
5. Sugestão. Atendendo ao facto de
todas as derivadas da função serem negativas em zero, por observação da figura acima, confirme que,
a posição relativa do gráfico da função e de cada um dos seus polinómios de Mac-Laurin é a esperada numa vizinhança de zero:
o gráfico da função está estritamente por baixo do gráfico de cada um dos gráficos dos seus polinómios de Mac-Laurin numa
vizinhança de zero e à direita de zero; para n ímpar, o gráfico da função está estritamente por baixo do
gráfico de cada um dos gráficos dos seus polinómios de Mac-Laurin de grau n numa
vizinhança de zero e à esquerda de zero; para n par, o gráfico da função está estritamente por cima do
gráfico de cada um dos gráficos dos seus polinómios de Mac-Laurin de grau n numa
vizinhança de zero e à esquerda de zero.