Sumários das aulas teóricas

18 Out. Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Revisões de Lógica. (ler os textos de apoio Lógica e Teoria de Conjuntos)

19 Out. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas. Axiomas de ordem e algumas propriedades. (ler páginas 17 a 27 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

23 Out. Os conjuntos N,Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita. O método de indução; exemplos. A "suspeita" da existência de números irracionais. (ler páginas 27 a 30 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

25 Out. Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo. Algumas consequências do Axioma do Supremo: N não é um conjunto majorado, a propriedade arquimedeana (ler páginas 31 a 37 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

26 Out.  Algumas consequências do Axioma do Supremo (continuação): existência de números irracionais. Radiciação em  R. Densidade de Q e R\Q em R. Sucessões reais; sucessões limitadas. Exemplos. (ler páginas 38 a 41, 47 a 50 e 80 a 87 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

30 Out. Sucessões reais (continuação); sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite. Propriedades algébricas do limite. (ler páginas 91 a 95 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).

2 Nov. Propriedades algébricas do limite (continuação). Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. A noção de limite e a relação de ordem. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. (ler páginas 96 a 102 e 105 a 110 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

4 Nov. Noção de subsucessão. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização do conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada. Limite inferior e limite superior de uma sucessão limitada. A recta estendida e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta estendida. Caracterização do conjunto dos sublimites de uma sucessão real  na recta estendida. (ler páginas 90, 95, 115 (Teorema 15) e 120 a 132 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

6 Nov. Indeterminações. Exemplos. (ler páginas 134 a 143 e 155 a 158 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

9 Nov. Continuação da aula anterior. Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas. Exemplos. (ler páginas 231 a 236 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

13 Nov. Exemplos importantes (funções elementares). Função inversa. Funções pares e funções ímpares. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos. (ler páginas 236 a 240, 247 a 249, 265 a 266 e 270 a 273 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

15 Nov. Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). Exemplos. Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais. Composição de funções e a continuidade da função composta. A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). Exemplos. (ler páginas 274 a 281 e 283 a 289 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

16 Nov. O prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite. Exemplos. Propriedades do limite. Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos. (ler páginas 291 a 297 e 300 a 304 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

20 Nov. Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários. (ler páginas 310 a 313 e 315 a 316 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

22 Nov. Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. Teorema de Weierstrass. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). (ler páginas 317 a 319 e 347 a 353 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

23 Nov. Derivadas laterais. Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade. Função derivada. Regras de derivação. Exemplos. Teorema da derivada da função composta: exemplos. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes. (ler páginas 354 a 366 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

27 Nov. Continuação da aula anterior. Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. Teoremas de Rolle. (ler páginas 366 a 369 e 373 a 377 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

29 Nov. Teorema de Lagrange e alguns corolários. Exemplos de aplicação. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy e alguns exemplos. (ler páginas 380 a 382 e 385 a 393 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

30 Nov. Derivadas de ordem superior à primeira. Funções de classe Cⁿ(A) e funções indefinidamente diferenciáveis. Regras de derivação. Exemplos. Primitivação: definição de primitiva para uma função real definida num intervalo, problema de Cauchy. Primitivação imediata. Exemplos.
(ler páginas 393 a 397 e 466 a 475 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

4 Dez. Primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos.
(ler páginas 475 a 497 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira e “Exemplos de primitivação de funções racionais”).

6 Dez. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux. Integral de Riemann. Definição e exemplos. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. (ler páginas 511 a 522 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

7 Dez. Propriedades do integral: linearidade e monotonia. Integrabilidade do módulo de uma função integrável. Decomposição do integral e integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas e das funções seccionalmente contínuas.
(ler páginas 523 a 536 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

11 Dez. O 1º Teorema da Média e a continuidade do integral indefinido. Teorema Fundamental da Análise.
(ler páginas 536 a 541 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

13 Dez. Algumas consequências do Teorema Fundamental da Análise. A Regra de Barrow. Integração por partes. Exemplos.
(ler páginas 541 a 546 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

14 Dez. Integração por substituição. Determinação de áreas de conjuntos planos. Exemplos.
(ler páginas 549 a 550 e 578 a 581 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).

18 Dez. Revisões.

20 Dez. Revisões.

21 Dez. Revisões.