| Aulas teóricas |
Sumário |
| 26/09 |
Apresentação:
programa, bibliografia, funcionamento das práticas, avaliação. Intersecções de rectas no plano. Equações lineares. Sistemas de equações lineares. Sistemas impossiveis, possiveis e determinados, possiveis e indeterminados Bibliografia: [1] Secção 1.1 Exercícios da lista 1: 1, 2, 3, 4, 5, 7. |
| 28/09 | Matrizes: definição, entradas,
dimensão, forma geral. Matrizes "especiais": matriz coluna,
matriz linha, matriz nula, matriz quadrada. Matrizes em forma de escada de linhas: definição, pivots, caracteristica de uma matriz em forma de escada de linhas. Exercícios da lista 1: 9, 10*, 16 a), 16b)*, 16 c)* |
| 29/09 | Matrizes em forma de escada reduzida. Operações elementares nas linhas de uma matriz. Redução de uma matriz a uma matriz em escada de linhas por operações elementares em linhas. Caracteristica de uma matriz. Exemplos. Sistemas homogéneos de equações lineares. Soluções de sistemas homogéneos. Solução trivial. Exemplos de matrizes aumentadas de sistemas. Exemplo de resolução por redução a forma de escada de linhas da matriz aumentada. Exercícios da lista 1: 11, 12a), 12b)*, 14*, 36 |
| 3/10 | Resolução de sistemas:
método de
eliminação de Gauss, método de Gauss-Jordan.
Variáveis (incógnitas) dependentes e
independentes. Grau de indeterminação de um
sistema. Discussão da existência de
soluções e grau de indeterminação de um
sistema de equações lineares em termos das
caracteristicas das matrizes simples e ampliadas. Caso dos
sistemas homogéneos. Formas gerais das
soluções de um sistema de equações. Começo do estudo de operações com matrizes: multiplicação de uma matriz mxn por uma matriz coluna nx1. Exercícios da lista 1: 6, 8*, 13, 15 a), b)*, c)*, d), 17. |
| 6/10 | Soma de matrizes. Multiplicação de uma matriz por um escalar. Combinações lineares de matrizes. Multiplicação de matrizes. Matriz identidade de ordem n. Breve menção das propriedades das operações com matrizes. Definição de matriz elementar. Relação entre o produto por matrizes elementares e operações elementares. Exercícios da lista 1: 18, 19, 21, 22*, 23 a), b), c)*, d)*, 24, 25, 26, 37, 38. |
| 10/10 | Matriz transposta de uma matriz. Definição. Propriedades (theorem 1.4.9 de [1]). Exemplo de redução a escada de linhas por multiplicação por matrizes elementares. Matrizes quadradas invertíveis. Definição. Inversa de uma matriz invertível. Propriedades (theorems 1.4.4, 1.4.6, 1.4.8 a), 1.4.10 de [1]). Exemplos de matrizes invertíveis: matriz identidade, matrizes elementares, matrizes diagonais com todos os elementos da diagonal não nulos. Exercícios da lista 1: 30 a), 31, 32 . |
| 12/10 | Propriedades de matrizes invertíveis: o produto de p matrizes
invertíveis é invertível e em particular o produto
de p matrizes elementares é invertível. Propriedade: uma matriz quadrada que se reduza à matriz identidade por operações elementares é invertível e decompõe-se como um produto de matrizes elementares. Propriedade: uma matriz quadrada de ordem n é invertível se e só se tiver característica n. Cálculo da inversa de uma matriz por eliminação de Gauss: justificação e exemplos. Exercícios da lista 1: 27*, 28, 29, 30, 33 a), 33b)*, 34, 35, 39*, 40*. |
| 17/10 | Teorema: Várias condições equivalentes à invertibilidade de uma matriz. (Theorem 1.6.4 de [1]). Sistemas de n equações a n incógnitas cuja matriz simples é invertível. Início do estudo dos determinantes. Apresentação da função determinante e as suas três propriedades fundamentais (axiomas). Dedução de algumas propriedades do determinante. |
| 19/10 | Continuação do
estudo das propriedades dos determinantes. Vários exemplos de
cálculo de determinantes.
Cofactores. Exercícios da lista 2: Todos excepto 9, que será explicado na prática. |
| 24/10 | Primeiro teste. |
| 26/10 | Vectores. Os espaços vectoriais R^n. Combinações lineares de vectores. Expansão linear (subespaço gerado) de um conjunto de vectores. Exemplos. Exercícios da lista 3: 2, 3, 4, 5, 10 a) , 10 b). |
| 27/10 | Subespaços vectoriais. propriedades e exemplos. Núcleo de uma matriz,
espaço de linhas e espaço de colunas de uma matriz. Exemplos. Exercícios da lista 3: 1, 5, 6 ,7, 8, 9, 11, 12, 13, 14. |
| 31/10 | Independência linear de vectores. Definição e critérios. Base de um espaço vectorial. Exemplos. Exercícios da lista 3: 10 c), d), e), 15, 27. |
| 2/11 | Bases ordenadas. Coordenadas de um vector em relação a uma base ordenada. Exemplos. Propriedades de dependência e independência linear de vectores num espaço que tenha uma base com k elementos. Dimensão de um subespaço vectorial. Referencias:Teoremas 5.4.2, 5.4.3, 5.4.5, 5.4.6 de [1] Exercicios da lista 3: 21, 22, 24, c) 30. |
| 3/11 | Bases e dimensão dos espaços de linhas, de colunas e núcleo de uma matriz. Bibliografia: Seccao 5.5. de [1], em particular Thm. 5.5.3, Thm.5.5.4, Thm. 5.5.5., Thm. 5.5.6, Thm. 5.6.1, Thm. 5.6.2. Nota: Esta é a matéria considerada dada. A aula foi interrompida por indisciplina dos alunos. Exercícios da lista 3: 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29. |
| 7/11 | Reinterpretação do estudo de sistemas. Exemplos. Inicio do estudo de espaços vectoriais em geral. |
| 9/11 | Axiomas de espaço vectorial. Exemplos de
espaços vectoriais. Determinação de bases.
Dimensão dos espaços de matrizes e de polinómios. Exercícios da lista 4: Todos. (com * 2 a), 3c) e), 5, 6). |
| 10/11 | Variedades lineares de dimensão n (n-planos) em R^m e
soluções de sistemas não homogéneos de
equações lineares. Dimensão. Rectas, planos, hiperplanos. Paralelismo. Equações cartesianas e vectoriais. Exemplo de determinação de equações cartesianas de um n-plano. Número de equações cartesianas independentes necessárias para definir um n-plano em R^m. Exercícios da lista 5: todos. |
| 14/11 | Segundo teste. |
| 16/11 | Definição de vector e valor próprio de uma matriz. Polinómio
caracteristico de uma matriz. Equação caracteristica de uma matriz.
Multiplicidade algébrica de um valor próprio. Valores próprios de matrizes diagonais e triangulares. Uma matriz e a sua transposta tem os mesmos valores próprios. Subespaços próprios. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Teorema: A multiplicidade geométrica de um valor próprio é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica. Exercícios da lista 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15*. |
| 17/11 | Condicões equivalentes a 0 ser valor próprio de uma matriz. Semelhanca de matrizes. Matrizes diagonalizaveis (em R e C). Potências de matrizes diagonalizaveis. Teorema: Uma matriz A é diagonalizavel se e só se existir uma matriz invertivel P cujas colunas sejam vectores próprios de A. Exercicios da lista 6: 8 (primeira parte) a) b)* c) d), 13* , 18 a), b), c), d). |
| 21/11 | Proposição: Vectores próprios associados a valores próprios distintos são independentes. Corolário: Se uma matriz de ordem tem n valores próprios distintos então é diagonalizável. Critérios em termos de multiplicidade algébrica e geométrica de matrizes para uma matriz ser diagonalizável. Exemplos. Exercícios da lista 6: Todos. |
| 23/11 | Produto interno em espaços vectoriais reais. Definição. Norma de um vector, desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade triangular. Ângulo de dois vectores não nulos. Vectores ortogonais. Teorema de Pitágoras. Conjuntos ortogonais, conjuntos ortonormados. Bases ortogonais e bases ortonormadas. Complemento ortogonal de um subespaço. Exercícios da lista 7: 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 9, 14, 15. |
| 24/11 | ropriedades do complemento ortogonal. Projecção ortognal de um vector sobre outro. Coordenadas de um vector em relação a uma base ortogonal e a uma base ortonormada. Processo de Gram-Schmidt. Consequências: existência de bases ortogonais e ortonormadas para um produto interno em espaços de dimensão finita. Projecção ortogonal de um vector num subespaço. Cálculo da projecção ortogonal de um vector num subespaço F de dimensão finita busando uma base ortogonal de F. Exercícios da lista 7: 8, 13. |
| 28/11 | Teorema da melhor aproximação. Teorema da decomposição ortogonal. Distâncias. Propriedades dos complementos ortogonais. Espaço das linhas de uma matriz como complemento ortogonal do núcleo da matriz e espaço das colunas de uma matriz como complemento ortogonal do núcleo da transposta. Introdução aos mínimos quadrados. Exercícios da lista 7: 10, 11, 12. |
| 30/11 | Solução de mínimos quadrados de um
sistema Ax=b. Equações normais. Vector de desvios e erro
de mínimos quadrados. Exemplo. Exercícios da lista 8: todos. |
| 5/12 | Exemplo
de um problema de mínimos quadrados. Condicões necessárias e
suficientes para a unicidade de solução de mínimos quadrados. Matrizes ortogonais. Algumas propriedades. Matrizes simétricas. Produto interno em espaços vectoriais complexos. Definição. Produto interno usual em C^n. |
| 7/12 | Transformações lineares. Definição e exemplos. Transformações lineares
de R^n para R^m definidas por multiplicação por uma matriz. propriedades de transformações lineares. Núcleo e imagem de uma transformação linear. Núcleo e imagem de transformações lineares de R^n para R^m definidas por multiplicação por uma matriz. |
| 12/12 | Condição em termo do núcleo para uma transformação linear ser injectiva. Uma transformação linear é determinada pelas imagens dos elementos de uma base. Representação matricial de transformações lineares de espaços de dimensão finita. Exemplos. Exercicios da lista 9: Todos. |
| 14/12 | Vectores próprios de transformações lineares. Exemplo de cálculo de vectores próprios de uma transformação linear. Teorema: dim Nuc T+ dim Im T= dim V, para uma transformação linear entre os espaços vectoriais V e W em que V tem dimensão finita. Corolários. Transformações lineares sobrejectivas e bijectivas. Inversa de uma transformação linear bijectiva. Representação matricial. Caracterizações de injectividade e sobrejectividade em termos de representação matricial. |
| 15/12 | Soma de transformações lineares e representação matricial. Composição de transformações lineares e representação matricial. Exemplos. Exercicios da lista 10: Todos. |
| 19/12 |
Matrizes de mudança de base e relação com matrizes que representam a mesma transformação linear em relação a bases diferentes. Propriedades das transformações lineares de R^n definidas por multipicação por matrizes ortogonais, simétricas e anti-simétricas. Exemplos de calculo de núcleos e vectores próprios de transformações lineares. |
| 21/12 | Realização do quarto teste. |
| 22/12 | Revisão de provas do quarto teste. Revisões. |