ANÁLISE MATEMÁTICA IV

2º Semestre de 2006/2007

  LEC e LEGM

Professor Responsáv el: Maria João Borges
mborges@math.ist.utl.pt

Os números representam vários tipos de medições idealizadas. É possível contar objectos com os números naturais; e pode-se representar uma parte de um objecto ou uma distância que é uma fracção de uma unidade fixa com os racionais. Porém, as medições de distância ultrapassam logo o âmbito dos números racionais quando, por exemplo, consideramos a hipotenusa de um triângulo ou o comprimento de uma circunferência. Estas extensões já estão no domínio das medições imaginárias e "perfeitas", pois envolvem um triângulo com lados perfeitamente rectos e um ângulo-recto perfeito, ou uma circunferência perfeitamente redonda. As medições da realidade são sempre racionais e têm a elas associado um certo erro ou incerteza.

Porém, os vários aspectos "imaginários" dos números são ficções muito úteis. As regras de cálculo com números perfeitos são muito mais simples do que com medições reais e erros associados. Esta simplicidade torna as ideias fundamentais muito mais claras. [...]

Os números complexos extendem os axiomas de corpo para além dos números reais, adicionando um númeroi como sendo uma solução da equaçãox² =-1 . Há algumas centenas de anos, este número era controverso e ainda hoje é designado de "imaginário". De facto, todos os números são construções úteis da nossa imaginação Certos aspectos dos números reais de Dedekind são ainda muito mais abstractos do que i² = -1. (Por exemplo, como os reais não são contáveis, a "maior parte" dos reais não possuem qualquer tipo de descrição).[...]

Os números complexos não podem ser ordenados com uma noção de "menor que" que seja compatível com as operações de corpo. Adicionando um número "ideal" que serve de raiz quadrada de -1 não é compatível com a propriedade de que o quadrado de qualquer número é positivo. Quando fazemos extensões ao conjunto dos números reais torna-se necessário optar pelo tipo de extensão a fazer, o que depende das propriedades que se quer preservar.

K. Stroyan,Mathematical Background: Foundations of infinitesimal Calculus


 
          Avisos, calendário e Programa


Bibliografia
Problemas
propostos
Sumários das aulas
Teóricas

Atendimento
e
Horários
Funcionamento
da
disciplina


Avisos e algumas datas importantes:

Pauta Final -  .pdf






1ºTeste
   21 de Abril, 15h
.pdf
(branco)
.pdf
(verde)
Pautas .pdf

2ºTeste

9 de Junho, 11h

.pdf

Pautas


.pdf
Teste de Recuperação (1º)
18 de Junho,  ?h
.pdf Pautas .pdf
                                                      (2º)

.pdf


    Programa:



















































































































































































































































































 
Assunto

Análise Complexa
1 Estrutura algébrica e topológica dos números complexos. Estudo de funções elementares.
2 Diferenciabilidade de funções complexas. Equações de Cauchy-Riemann. Integração complexa.
3 Séries de potências.
4
Integração de funções complexa: teoremas e fórmulas integrais de Cauchy e suas consequências fundamentais.
5 Singularidades isoladas, séries de Laurent, teorema dos resíduos e aplicações.

Equações Diferenciais
6 Equações diferenciais lineares escalares de primeira ordem. Equações separáveis, exactas e redutíveis a exactas.
7 Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem: exponencial de matrizes e matrizes fundamentais; fórmula da variação de constantes.
8 Existência, unicidade. e prolongamento a intervalos máximos de solução.
9 Equações lineares de ordem superior à primeira: a equação característica e a matriz companheira. 
10 Método da variação das constantes e método dos coeficientes indeterminados. Métodos de redução de ordem. 
11 ntrodução às equações às derivadas parciais. Método da separação de variáveis: problemas de valor inicial e fronteira.
12 ISéries de Fourier. Convergência quadrática e convergência pontual.
13 Algumas soluções de problemas de valor inicial e fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.

Bibliografia:

  1. G. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora
  2. M. Carreira e M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar Exercícios Resolvidos, McGraw Hill
  3. Gabriel Pires,  Notas de Análise Complexa,  disponível na internet (Carregue aqui)
  4. Luis T. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, Secção de Folhas da AEIST.
  5. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993

Outros textos relevantes:

  1. Coimbra de Matos e José Carlos Santos, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2000.
  2. F. Pestana da Costa, Teoria Elementar de Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press, 1998
  3. William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley 1997.

Resumo da matéria:   .pdf   Exemplos (EDP's).pdf



Recomendações para o estudo independente


Com os problemas propostos, resolvidos e suplementares , pretende-se encorajar os alunos a acompanhar a matéria ao longo do semestre de uma forma não passiva. Eles inserem-se no esquema de avaliação contínua em vigor nesta disciplina. Os problemas propostos para cada semana ilustram os diversos tópicos que irão ser focados nesta disciplina, constituindo um guia muito valioso para um estudo efectivo dos mesmos.
Não há, regra geral, benefício sustentável que não exija algum empenho, e por isso se recomenda vivamente aos alunos um investimento de tempo fora das aulas na ordem das duas a quatro horas semanais. Isto significa, em particular, que é errado admitir que o trabalho desenvolvido nas aulas práticas é suficiente para obter os benefícios desejados ao nível de uma adequada compreensão da matéria e, consequentemente, ao nível daquele sucesso nas provas de avaliação que todos desejamos.
Para que tal sucesso se materialize, exige-se o trabalho sério, individual ou em grupo, dos estudantes fora das aulas, num total de duas a quatro horas semanais. A experiência mostra que os estudantes retiram um máximo de benefícios se comparecerem na aula prática depois de terem trabalhado seriamente em todos os problemas propostos para essa semana, tentando resolver por escritouma boa parte deles.
 
 

Problemas propostos, resolvidos,  suplementares e exames/testes

Problemas propostos

 
Semana
Download
Resolução
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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Retratos de Fase: (a), (b), (c), (d), (e)
9
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.pdf

10
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11
.ps .pdf
.pdf
12
.ps .pdf .pdf


Problemas resolvidos

 
Fichas
Assunto
Download
1
Números e funções complexas
.ps
.pdf
2
Análise complexa
.ps
.pdf
3
Teorema dos resíduos e equações diferenciais de primeira ordem
.ps
.pdf
4
Equações diferenciais de primeira ordem escalares e formas canónicas de Jordan
.ps
.pdf
5
Sistemas de equações lineares e equações de ordem superior à primeira 
.ps
.pdf
6
Séries de Fourier e método de separação das variáveis
.ps
.pdf
7
Transformada de Laplace
.ps
.pdf

Problemas suplementares

 
Fichas
Assunto
Download
1
Números complexos e funções complexas
.ps
.pdf
2
Logaritmos e integração de funções complexas
.ps
.pdf
3
Problemas avançados de análise complexa
.ps
.pdf
4
Equações diferenciais escalares de primeira ordem
.ps
.pdf
5
Problemas avançados sobre eq. dif. ordinárias de primeira ordem
.ps
.pdf
6
Equações diferenciais lineares
.ps
.pdf
7
Séries de Fourier e transformada de Laplace
.ps
.pdf
8
Problemas avançados sobre equações diferenciais lineares
.ps
.pdf
9
Problemas avançados sobre equações diferenciais e séries de Fourier
.ps
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Testes e Exames de Análise IV:

2000/2001
1º Teste
.ps
.pdf

2ºTeste/1ºExame
.ps
.pdf

2ºExame
.ps
.pdf
2001/2002:
1º Teste
.ps
.pdf

2ºTeste/1ºExame
.ps
.pdf

2ºExame
.ps
.pdf
 2002/2003:(1ºSemestre)
1ºTeste
.ps
.pdf

2ºTeste/1ºExame
.ps
.pdf

2ºExame
.ps
.pdf
2002/2003:(2ºSemestre) 1º Teste
.ps .pdf

2ºTeste/1ºExame
.ps
.pdf

2ºExame
.ps .pdf
2003/2004:(1ºSemestre)
1º Teste
.ps .pdf

2ºTeste/1ºExame
.ps .pdf
2003/2004: (2ºSemestre)
1ºTeste
.ps .pdf

2ºTeste
.ps .pdf
2004/2005: (1ºSemestre)
1ºTeste

.pdf

2ºTeste

.pdf
2004/2005: (2ºSemestre) 1º Teste

.pdf

2º Teste

.pdf

Teste de Recuperação (1º)

.pdf

Teste de Recuperação (2º)

.pdf
2005/2006: (1ºSemestre) 1º Teste
.pdf

2º Teste
.pdf
2005/2006: (1ºSemestre) 1º Teste
.pdf

2º Teste
.pdf
2006/2007: (1º Semestre)
1º Teste 
.pdf

2º Teste
.pdf