Análise Complexa e Equações Diferenciais — 2º Semestre de 2015/2016
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Sumários

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Planeamento das Aulas Teóricas

Semana 14
Aula 52 (23/05)   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.

Aula 53 (25/05)   Revisões.

Aula 54 (26/05)   Revisões.

Aula 55 (27/05)   Revisões.

28/05/2016 às 11h30m (Sábado)   2º Teste

Semana 13
Aula 48 (16/05)   Exemplos. Equações diferenciais parciais. Condições de fronteira e condição inicial. Equações do calor, de Laplace e das ondas.
Reolução da equação do calor unidimensional com condições de fronteira de Dirichlet homogéneas. Método de separação de variáveis. Problema de valores próprios.

Aula 49 (18/05)   Série de Fourier: exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.

Aula 50 (19/05)   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet não homogéneas.

Aula 51 (20/05)   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Semana 12
Aula 44 (09/05)   Cálculo de uma matriz solução fundamental no caso de uma matriz diagonalizável.
Equação de ordem n, linear- caso não homogéneo: Fórmula da variação das constantes. Matriz Wronskiana.

Aula 45 (11/05)   Esboço da demonstração da Fórmula da variação das constantes: relação entre umaa equação linear de ordem n e uma equação vectorial de ordem 1. Matriz companheira.
Equação de ordem n, linear de coeficientes constantes- caso não homogéneo: Método dos coeficientes indeterminados. Polinómio aniquilador.

Aula 46 (12/05)   Conclusão da aula anterior.

Aula 47 (13/05)   Introdução ao estudo de equações diferenciais parciais. Condições de fronteira e condições iniciais. Problema de Diriclhlet e de Neumann.
Semana 11
Aula 40 (02/05)   Resolução de equações vectoriais lineares de coeficientes constantes de 1ª ordem por redução a uma equação linear de coeficientes constantes de ordem n.

Aula 41 (04/05)   Derivação e integração de funções matriciais.
Equações vectoriais lineares. Teorema de Picard para equações vectoriais.
Definição de matriz solução fundamental. Propriedades da matriz solução fundamental.

Aula 42 (05/05)   Equações vectoriais lineares de primeira ordem - caso homogéneo. Solução de uma equação vectorial linear homogénea.
Equações vectoriais lineares de ordem 1: caso não homogéneo. Fórmula da variação das constantes.

Aula 43 (06/05)   Estudo do caso particular das equações vectoriais lineares de coeficientes constantes, de ordem 1. Exponencial de uma matriz. Série da exponencial de uma matriz. Propriedades da exponencial de uma matriz.
Fórmula da variação das constantes para o caso particular de uma equação vectorial, linear, de coeficientes constantes de 1ª ordem.

Semana 10
Aula 37 (27/04)   Comparação de solução de (PVI)'s. Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição: Exemplos.
Equações diferenciais ordinárias de ordem n. Definição de solução e de problema de valor inicial. Equação linear de ordem n - caso homogéneo. Princípio da sobreposição de soluções.

Aula 38 (28/04)   Equação linear de ordem n de coeficientes constantes- caso homogéneo. Polinómio característico, solução geral e exemplos.

Aula 39 (29/04)   Cálculo de uma base de soluções para equação linear de ordem n de coeficientes constantes- caso homogéneo.
Semana 9
Aula 33 (18/04)   Equações redutíveis a exactas: exemplos.

Aula 34 (20/04)   Importância da questão de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Teorema de Peano.
Unicidade de solução. Exemplo de um problema de valor inicial sem unicidade de solução.

Aula 35 (21/04)   Funções Lipschitzianas e localmente Lipschitzianas.
Teorema de Picard.

Aula 36 (22/04)   Teorema de Picard. Exemplos Esboço da demonstração do Teorema de Picard: Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard.
Comparação de solução de (PVI)'s. Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição.
Semana 8
Aula 29 (11/04)   Equações diferenciais. Classificação das equações diferenciais: equações ordinárias e parciais, escalares e vectoriais. Ordem e solução de uma equação diferencial ordinária e problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Resolução de equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo. Exemplo.

Aula 30 (13/04)   Equações lineares: caso geral e exemplos. Soluções de equilíbrio e intervalo máximo de existência de solução: soluções que explodem em tempo finito.

Aula 31 (14/04)   Equações separáveis. Exemplos.

Aula 32 (15/04)   Equações exactas: Exemplos


09/04/2016 às 11h30m (Sábado)   1º Teste


Semana 7
Aula 25 (04/04)   Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais e trigonométricas. Lema de Jordan.
Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais reias: integrais trigonométricos.

Aula 26 (06/04)   Revisões.

Aula 27 (07/04)   Revisões.

Aula 28 (08/04)   Revisões.


Semana 6
Aula 21 (28/03)   Séries de Laurent: exemplos.
Singularidades. Singularidades isoladas. Exemplos.

Aula 22 (30/03)   Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis e polos. Representação de uma função na vizinhança de uma singularidade não essencial. Singularidades essenciais. Exemplos.
Definição de resíduo numa singularidade isolada.

Aula 23 (31/03)   Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais.
Teorema dos resíduos. Exemplos.

Aula 24 (01/04)   Integrais Impróprios de primeira espécie: definição e critério de convergência.
Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais.
Semana 5
Aula 17 (14/03)   Teorema de Cauchy generalizado ( para regiões multiplamente conexas). Fórmula integral de Cauchy. Exemplos.
Derivada de uma função analítica. Fórmula integral de Cauchy generalizada.

Aula 18 (16/03)   Consequências da Fórmula Integral de Cauchy (em particular, as funções analíticas têm derivadas analíticas de qualquer ordem). Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.

Aula 19 (17/03)   Série de potências. Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência. Série de Taylor. Teorema de Taylor.
Séries de Taylor de algumas funções elementares.

Aula 20 (18/03)   Zeros de uma função analítica.
Séries de Laurent. Teorema de Laurent.
Semana 4

Aula 13 (07/03)   Definição de função analítica ou holomorfa. Domínio de Analiticidade. Exemplos de funções analíticas. Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R². Teorema de Cauchy-Riemann. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Derivada da função inversa.
Estudo da analiticidade das funções elementares.

Aula 14 (08/03)   Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Relação entre funções harmónicas e funções analíticas. Exemplos.
Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Teorema da curva de Jordan.

Aula 15 (09/03)   Definição do integral complexo. Exemplos. Invariância por reparametrização do integral complexo.
Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimativa de integrais. adicional).

Aula 16 (10/03)   Teorema de Cauchy.(demonstração usando uma condição adicional). Teorema fundamental do cálculo para funções primitiváveis.
Primitiva de uma função complexa. Consequências do Teorema de Cauchy: indepeêndencia do caminho de integração.

Semana 3
Aula 9 (29/02)   Funções complexas elementares: funções polinomiais, funções racionais. Exponencial complexa. Funções trigonométricas complexas.

Aula 10 (02/03)   Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo; ramos do logaritmo e valor principal.

Aula 11 (03/093)   Potência de expoente complexo; ramos da potência de expoente complexo e valor principal.
Limites de funções complexas de variável complexa. Exemplos. Continuidade. Estudo da continuidade das funções elementeares. Prolongamento contínuo.

Aula 12 (04/03)   Estudo da continuidade dos ramos do logaritmo.
Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Condição necessária à existência de derivada complexa: condições de cauchy-Riemann.
Semana 2
Aula 5 (22/02)   Sucessóes complexas convergentes. Propriedades dos limites de sucessões complexas. Estudo da progressão geométrica de razão z.
Séries numéricas de termos complexos.

Aula 6 (24/02)   Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série. Estudo da Série geométrica. Condição necessária para a convergência de uma série.

Aula 7 (25/02)   Convergência absoluta. Séries de termos reais não negativos. Critério de D'Alembert. Critério da raiz. Critério da raíz de Cauchy.
Séries de potências. Exemplos.

Aula 8 (26/02)   Teorema de Abel. Raio de convergência e região (ou domínio) de convergência de uma série de potências. Exemplos de desenvolvimentos de expressões racionais em séries de potências.
Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Domínio de uma funçao complexa. Exemplos.

Semana 1
Aula 1 (15/02)   Apresentação. Funcionamento da disciplina.

<Aula 4 (19/02)   strong>Aula 2 (17/02)   Corpo dos números complexos. Potência de expoente inteiro.

Aula 3 (18/02)  Representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler. Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmulas de De Moivre.

Aula 4 (19/02)   Raiz índice n de um número complexo. Representação geométrica das raízes índice n de um número complexo. Potência de expoente racional.
Polinómios de variável complexa. Teorema Fundamental da Algebra.
Sucessões de termos complexos. Sucessões limitadas.
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