Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2015/2016
MEEC




Sumários

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Planeamento das Aulas Teóricas



Semana 14

Aula 52 (14/12)   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.

Aula 53 (15/12)   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.

Aula 54 (16/12)   Revisões.

Aula 55 (18/12)   Revisões.

19/12/2015 às 11h30m (Sábado)   2º Teste



Semana 13

Aula 49 (7/12)   Série de Fourier: exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.

Aula 50 (9/12)   Introdução ao estudo de equações diferenciais parciais. Condições de fronteira e condições iniciais.
Reolução da equação do calor unidimensional com condições de fronteira de Dirichlet homogéneas. Método de separação de variáveis. Problema de valores próprios.

Aula 51 (11/12)   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet não homogéneas.


Semana 12

Aula 45 (30/11)   Equação de ordem n, linear de coeficientes constantes- caso não homogéneo: Método dos coeficientes indeterminados. Polinómio aniquilador.

Aula 46 (01/12)   Definição da transformada de Laplace. Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.

Aula 47 (02/12)   Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Distribuição Delta de Dirac. Aplicação da transformada de Lapace à resolução de equações de ordem n envolvendo a delta de Dirac.

Aula 48 (04/12)   Exemplos. Equações diferenciais parciais. Condições de fronteira e condição inicial. Equações do calor, de Laplace e das ondas.
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Semana 11

Aula 41 (23/11)   Derivação e integração de funções matriciais.
Equações vectoriais lineares. Teorema de Picard para equações vectoriais.
Definição de matriz solução fundamental. Propriedades da matriz solução fundamental.

Aula 42 (24/11)   Equações vectoriais lineares de primeira ordem - caso homogéneo. Solução de uma equação vectorial linear homogénea.
Equações vectoriais lineares de ordem 1: caso não homogéneo. Fórmula da variação das constantes.

Aula 43 (25/11)   Estudo do caso particular das equações vectoriais lineares de coeficientes constantes, de ordem 1. Exponencial de uma matriz. Série da exponencial de uma matriz. Propriedades da exponencial de uma matriz.
Fórmula da variação das constantes para o caso particular de uma equação vectorial, linear, de coeficientes constantes de 1ª ordem.

Aula 44 (27/11)   Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Matriz Wronskiana. Equação de ordem n, linear- caso não homogéneo: Fórmula da variação das constantes.


Semana 10

Aula 37 (16/11)   Comparação de solução de (PVI)'s. Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição.

Aula 38 (17/11)   Equação escalar de ordem n, linear de coeficientes constantes. Princípio da sobreposição de soluções. Polinómio característico.

Aula 39 (18/11)   Equação escalar de ordem n, linear de coeficientes constantes: solução geral da equação homogénea e exemplos.

Aula 40 (19/11)   Resolução de equações vectoriais lineares de coeficientes constantes de 1ª ordem por redução a uma equação linear de coeficientes constantes de ordem n.


Semana 9

Aula 33 (09/11)   Equações redutíveis a exactas: exemplos.

Aula 34 (10/11)   Importância da questão de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Teorema de Peano.
Unicidade de solução. Exemplo de um problema de valor inicial sem unicidade de solução.

Aula 35 (11/11)   Funções Lipschitzianas e localmente Lipschitzianas.
Teorema de Picard. Aula 36 (13/11)   Teorema de Picard. Exemplos Esboço da demonstração do Teorema de Picard: Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard.

Semana 8

Aula 29 (02/11)   Equações diferenciais. Classificação das equações diferenciais: equações ordinárias e parciais, escalares e vectoriais. Ordem e solução de uma equação diferencial ordinária e problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Resolução de equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo. Exemplo. Equações lineares: caso geral.

Aula 30 (03/11)   Equações lineares: exemplos. Soluções de equilíbrio e intervalo máximo de existência de solução: soluções que explodem em tempo finito.

Aula 31 (04/11)   Equações separáveis. Exemplos.

Aula 32 (06/11)   Equações exactas: Exemplos


Semana 7

Aula 25 (26/10)   Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais e trigonométricas. Lema de Jordan.
Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais reias: integrais trigonométricos.

Aula 26 (27/10)   Revisões.

Aula 27 (28/10)   Revisões.

Aula 28 (30/10)   Revisões.




31/10/2015 às 11h (Sábado)   1º Teste



Semana 6

Aula 21 (19/10)   Singularidades. Singularidades isoladas. Exemplos. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis e polos. Representação de uma função na vizinhança de uma singularidade não essencial.
Singularidades essenciais. Exemplos.

Aula 22 (20/10)   Definição de resíduo numa singularidade isolada. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais.

Aula 23 (21/10)   Teorema dos resíduos. Exemplos.

Aula 24 (23/10)   Integrais Impróprios de primeira espécie: definição e critério de convergência.
Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais.


Semana 5

Aula 17 (12/10)   Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas). Fórmula integral de Cauchy. Exemplos.
Derivada de uma função analítica. Fórmula integral de Cauchy generalizada.

Aula 18 (13/10)   Consequências da Fórmula Integral de Cauchy (em particular, as funções analíticas têm derivadas analíticas de qualquer ordem). Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.

Aula 19 (14/10)   Série de potências. Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência. Série de Taylor. Teorema de Taylor.
Séries de Taylor de algumas funções elementares.

Aula 20 (16/10)   Zeros de uma função analítica.
Séries de Laurent. Teorema de Laurent.

Semana 4


Aula 13 (05/10)   Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Derivada da função inversa.
Estudo da analiticidade das funções elementares.

Aula 14 (06/10)   Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Relação entre funções harmónicas e funções analíticas. Exemplos.
Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Teorema da curva de Jordan.

Aula 15 (07/10)   Definição do integral complexo. Exemplos. Invariância por reparametrização do integral complexo.
Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimativa de integrais. adicional).

Aula 16 (09/10)   Teorema de Cauchy.(demonstração usando uma condição adicional). Teorema fundamental do cálculo para funções primitiváveis.
Primitiva de uma função complexa. Consequências do Teorema de Cauchy: indepeêndencia do caminho de integração.



Semana 3

Aula 9 (28/09)   Funções trigonométricas complexas. Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo; ramos do logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da potência de expoente complexo e valor principal.

Aula 10 (29/09)   Limites de funções complexas de variável complexa. Exemplos. Continuidade. Estudo da continuidade das funções elementeares. Prolongamento contínuo. Continuidade dos ramos do logaritmo.
Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa.

Aula 11 (30/09)   Definição de função analítica ou holomorfa. Domínio de Analiticidade. Exemplos de funções analíticas.

Aula 12 (02/10)   Condição necessária à existência de derivada complexa: condições de cauchy-Riemann. Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R². Teorema de Cauchy-Riemann.


Semana 2

Aula 5 (21/09)   Estudo da progressão geom'etrica de razão z.
Séries numéricas de termos complexos. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série. Estudo da Série geométrica. Condição necessária para a convergência de uma série. Convergência absoluta.

Aula 6 (22/09)   Séries de termos reais não negativos. Critério de D'Alembert. Critério da raiz. Critério da raíz de Cauchy.
Séries de potências. Exemplos. Teorema de Abel. Raio de convergência e região (ou domínio) de convergência de uma série de potências.

Aula 7 (23/09)   Exemplos de desenvolvimentos de expressões racionais em séries de potências.
Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Domínio de uma funçao complexa. Exemplos.

Aula 8 (25/09)   Funções complexas elementares: funções polinomiais, funções racionais. Exponencial complexa.



Semana 1

Aula 1 (14/09)   Apresentação. Funcionamento da disciplina.

Aula 2 (15/09)   Corpo dos números complexos. Potência de expoente inteiro. Polinómios de variável complexa. Teorema Fundamental da Algebra. Resolução de equações em C.

Aula 3 (16/09)   Representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler. Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmulas de De Moivre.

Aula 4 (18/09)   Raiz índice n de um número complexo. Representação geométrica das raízes índice n de um número complexo. Potência de expoente racional.
Sucessões de termos complexos. Sucessões limitadas. Sucessóes complexas convergentes. Propriedades dos limites de sucessões complexas.