Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2020/2021
MEEC




Sumários

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Planeamento das Aulas Teóricas



Semana 9

Aula 31 (16/11)   Equações exactas. Exemplos.

Aula 32 (17/11)   Equações redutíveis a exactas: exemplos.

Aula 33 (19/11)   Equações diferenciais de ordem n. Solução de uma equação de ordem n, Problema de valor inicial.
Equação linear de ordem n - caso homogéneo. Princípio da sobreposição de soluções. O espaço de soluções de uma equação linear de ordem n. Funções linearmente independentes.
Equação linear de ordem n de coeficientes constantes- caso homogéneo. Polinómio característico.

Aula 34 (20/11)   Cálculo de uma base de soluções para equação linear de ordem n de coeficientes constantes- caso homogéneo.



Semana 8

Aula 28 (09/11)   Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais e trigonométricas. Lema de Jordan. Exemplo.

Aula 29 (10/11)   Equações diferenciais. Classificação das equações diferenciais: equações ordinárias e parciais, escalares e vectoriais. Ordem e solução de uma equação diferencial ordinária e problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Resolução de equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo.

Aula 30 (12/11)   Equações lineares: caso geral e exemplos. Soluções de equilíbrio e intervalo máximo de existência de solução: soluções que explodem em tempo finito.

Aula 31 (013/11)   Equações separáveis. Exemplos.



Semana 7

Aula 24 (2/11)   Definição de resíduo numa singularidade isolada. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais.

Aula 25 (3/11)   Cálculo de resíduos em singularidades não essenciais.
Teorema dos resíduos.

Aula 26 (5/11)   Exemplos de aplicação.
Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais reias: integrais trigonométricos: Exemplo.

Aula 27 (6/11)   Breve introdução aos integrais impróprios de funções reais.
Aplicação do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios envolvendo funções racionais.




Semana 6

Aula 20 (26/10)   Séries de Taylor de algumas funções elementares.
Zeros de funções analíticas.

Aula 21 (27/10)   Séries de Laurent: notção e exemplos de desenvolvimento.

Aula 22 (29/10)   Singularidades. Singularidades isoladas. Exemplos. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis e polos.

Aula 23 (30/10)   Exemplos de classificação de singularidades.



Semana 5

Aula 16 (19/10)   Derivada de uma função analítica. Fórmula integral de Cauchy generalizada.
Consequências da Fórmula Integral de Cauchy (em particular, as funções analíticas têm derivadas analíticas de qualquer ordem)Consequências das Fórmulas integrais de Cauchy: Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.

Aula 17 (20/10)  
Sucessões de termos complexos. Sucessões limitadas. Sucessóes complexas convergentes. Propriedades dos limites de sucessões complexas. Estudo da progressão geométrica de razão z.
Séries de termos complexos. Resultados gerais. Estudo da séerie geométrica.

Aula 18 (22/10)   Séries de potências. Exemplos. Estudo da Série geométrica. Teorema de Abel. Raio de convergência e região (ou domínio) de convergência de uma série de potências.

Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência.

Aula 19 (23/10)   Série de Taylor. Teorema de Taylor.
Séries de Taylor de algumas funções elementares.
Zeros de funções analíticas.

Semana 4


Aula 11 (12/10)   Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Teorema da curva de Jordan.
Definição do integral complexo. Exemplos. Invariância por reparametrização do integral complexo.

Aula 12 (12/10)   Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimativa de integrais.

Aula 13 (13/10)   Consequências do Teorema de Cauchy: indepeêndencia do caminho de integração.
Primitiva de uma função complexa. Teorema fundamental do cálculo para funções primitiváveis.

Aula 14 (15/03)   Primitiva de uma função complexa. Teorema fundamental do cálculo para funções analíticas em simplesmente conexos.
Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas).
Fórmula integral de Cauchy.

Aula 15 (16/10)   Fórmula integral de Cauchy: demonstração e exemplos. Derivada de uma função analítica. Fórmula integral de Cauchy generalizada.
Consequências da Fórmula Integral de Cauchy (em particular, as funções analíticas têm derivadas analíticas de qualquer ordem).



Semana 3


Aula 8 (06/10)   Definição de função analítica ou holomorfa. Domínio de Analiticidade. Exemplos de funções analíticas.

Aula 9 (08/10)   Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta.
Estudo da analiticidade das funções elementares. Derivada da função inversa. Estudo da analiticidade dos ramos da função logaritmo.

Aula 10 (09/10)  
Relação entre derivada complexa e derivada no sentido dos campos de R² para R².
Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Relação entre funções harmónicas e funções analíticas. Exemplos.

Semana 2

Aula 5 (28/09)   Funções trigonométricas complexas. Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo; ramos do logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da potência de expoente complexo e valor principal.

Aula 6 (29/09)   Limites de funções complexas de variável complexa. Exemplos.
Continuidade. Estudo da continuidade das funções elementeares. Prolongamento contínuo. Estudo da continuidade dos ramos do logaritmo.

Aula 7 (02/10)  
Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Condição necessária à existência de derivada complexa: condições de cauchy-Riemann.



Semana 1

Aula 1 (21/2020)   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Avaliação.

Corpo dos números complexos.

Aula 2 (22/2020)   Potência de expoente inteiro.
Polinómios de variável complexa. Teorema Fundamental da Algebra.
Representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler.

Aula 3 (24/2020)   Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmulas de De Moivre.Raiz índice n de um número complexo. Representação geométrica das raízes índice n de um número complexo. Potência de expoente racional.

Aula 5 (25/2020)   Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Domínio de uma funçao complexa. Exemplos. Funções complexas elementares: funções polinomiais, funções racionais. Exponencial complexa.