Análise Matemática I, 2005/2006 (1º semestre)

Eng. Química, Química

Avisos e novidades

Introdução
Texto base
Planeamento e Sumários
Corpo Docente
Horários
Avaliação de conhecimentos
Enunciados de exames
Lista de problemas

Aplicabilidade

Esta página refere-se exclusivamente a Análise Matemática I de Eng. Química e Química no 1º semestre de 2005/2006. Não é aplicável a outras licenciaturas ou anos lectivos. Para localizar outras páginas de Análise Matemática I use http://www.math.ist.utl.pt/cursos.phtml?AMI.

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Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática. Esta página não pretende ensinar Matemática mas tão somente disponibilizar informação de uma forma eficiente.

Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular.

O que é a Matemática?

A Matemática é a ciência dedutiva que evoluiu a partir de conceitos abstractos tão antigos como número ou recta e cujos métodos incluem a lógica e a abstracção.

O que é a Análise Matemática?

O que se designa hoje em dia por Análise Matemática nasce do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal criado por Newton e Leibniz. Lida com problemas de "passagem ao limite" em vários contextos nomeadamente com os conceitos de derivada e integral.

Objectivos

O objectivo essencial desta disciplina do ponto de vista do Professor responsável é dar a oportunidade aos alunos de encararem os fundamentos do Cálculo Infinitesimal de um ponto de vista coerente e não como um amontoado de receitas. Pressupondo pré-requisitos de lógica e compreensão do método dedutivo da matemática, estes fundamentos incluem a axiomática dos reais, sucessões, séries, continuidade e limites e uma parte substancial do cálculo diferencial no quadro das funções reais de variável real.

[Outras instâncias da escola apresentam como objectivos desta disciplina algo que ao sabor da moda ou opiniões individuais poderá parecer distinto do parágrafo anterior. Caberá ao leitor decidir no final do curso qual a melhor descrição de objectivos.]

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

Consulte estes e outros títulos na Biblioteca do IST.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II. Este texto juntamente com o texto base servirá como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência para este tópico (versão para consultar on-line, versão para imprimir). Outros textos de apoio alternativos disponibilizados electronicamente são Lógica Matemática e Conjuntos pelo Grupo de Matemática da UTL.

Planeamento e sumários

Sumários em 2005/2006

Linhas com a data indicada a amarelo correspondem a planeamento. Linhas com a data indicada a verde correspondem ao que efectivamente foi leccionado. Linhas com a data indicada a vermelho correspondem a aulas canceladas.

  1. Apresentação. (26/9/2005).
  2. Elementos de Lógica e Teoria de Conjuntos: designações e proposições; operações lógicas e algumas propriedades.(28/9/2005).
  3. Continuação da aula anterior.Expressões com variáveis. Os quantificadores universal e existencial. Exemplos. (30/9/2005).
  4. Segundas leis de De Morgan. Conjunto como conceito primitivo; operações fundamentais. Exemplos. (3/10/2005).
  5. Introdução à teoria axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. (7/10/2005).
  6. Axiomas de ordem e algumas propriedades.Conjunto majorado, minorado, limitado; definições e exemplos.Definição de supremo. . (10/10/2005).
  7. Definição de ínfimo de um conjunto. Axioma do supremo; teorema do ínfimo. Os conjuntos N, Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio de Indução Finita.Propriedade Arquimedeana. (12/10/2005).
  8. Existência de números irracionais. Densidade de Q e de R\Q em R. Algumas considerações sobre cardinalidade. (14/10/2005).
  9. Sucessões reais; sucessões limitadas e sucessõe monótonas; exemplos. Definição de limite . (17/10/2005).
  10. Unicidade do limite de uma sucessão convergente. Exemplos. Propriedades algébricas . (19/10/2005).
  11. Limite e relação de ordem; teorema das sucessões enquadradas. Exemplos. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. (21/10/2005).
  12. Conceito de subsucessão.Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada; exemplos. Limite superior e limite inferior de uma sucessão limitada. (24/10/2005).
  13. A recta acabada. Noção de vizinhança de + e de - . Convergência na recta acabada; propriedades. (26/10/2005).
  14. Exemplos e aplicações. Indeterminações. Definição de sucessão de Cauchy. (28/10/2005).
  15. Sucessões de Cauchy e sucessões convergentes; aplicação ao estudo da série harmónica. Séries numéricas. Paradoxo de Zenão.Definição de série convergente. (31/10/2005).
  16. Continuação da aula anterior. Séries geométricas; exemplos. Exemplo de uma série de Mengoli. (2/11/2005).
  17. Séries de Mengoli; exemplos. Séries de termos não negativos. Critério geral de comparação. (4/11/2005).
  18. Critério geral de comparação e corolário. Exemplos. Séries de Dirichlet. Critério de D’Alembert. (7/11/2005).
  19. Continuação da aula anterior:exemplos. Critério da raiz; exemplos. (9/11/2005).
  20. Séries alternadas; critério de Leibniz. Exemplos. Séries de termos sem sinal fixo. Convergência simples e absoluta. (11/11/2005).
  21. Algumas considerações sobre comutatividade e soma por blocos. Produto de séries; exemplo. Séries de potências: raio de convergência e domínio de convergência. (14/11/2005).
  22. Continuação da aula anterior. Notas sobre a função exponencial e sua função inversa. (16/11/2005).
  23. Continuação da aula anterior: função exponencial de base a>0 e função logaritmo de base a; funções trigonométricas. Função real de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. (18/11/2005).
  24. Função limitada; funções monótonas e estritamente monótonas.Funções pares e ímpares. Definição de continuidade de uma função num ponto: definição e exemplos. (21/11/2005).
  25. Continuidade e relação de ordem. Equivalência entre a definição de continuidade e a continuidade sequencial (ou à Heine).Propriedades algébricas; Continuidade das funções polinomiais e racionais. Continuidade das funções definidas por séries de potências. (23/11/2005).
    26. Definição de limite de uma função num ponto aderente ao domínio; exemplos. Limite de uma função num ponto e prolongamento por continuidade. Principais propriedades. (25/11/2005).
  26. Limite de uma função num ponto relativo a um subconjunto do domínio; limites laterais. Exemplos. Função monótona e existência de limites laterais.Limites infinitos e em +∞ e -∞; exemplos. (28/11/2005).
  27. Continuidade global. Teorema do valor intermédio e corolários; exemplos. (30/11/2005).
  28. Teorema da continuidade da função inversa. Funções inversas das funções trigonométricas.(2/12/2005).
  29. Teorema de Weierstrass. Início do estudo do Cálculo Diferencial: definição de derivada de uma função num ponto interior ao domínio; exemplos. (5/12/2005)
  30. Derivadas laterais; diferenciabilidade de uma função num ponto; exemplos. Diferenciabilidade implica continuidade.Regras de derivação usuais. Diferenciabilidade de uma função definida por uma série de potências. Exemplos. (7/12/2005)
  31. Derivada da função composta; exemplos. Derivada da função inversa; exemplos importantes. (9/12/2005)
  32. Extremos locais: definição e sua relação com a diferenciabilidade; exemplos. Diferenciabilidade global; derivadas de ordem superior à primeira; função indefinidamente diferenciável; exemplos. Teorema de Rolle; exemplos. (12/12/2005)
  33. Teorema de Lagrange e corolários. Exemplos. Teorema de Cauchy. (14/12/2005)
  34. Regra de Cauchy; exemplos. (16/12/2005)
  35. Funções hiperbólicas, definição e principais propriedades. Exercícios de revisão. (19/12/2005)
  36. Exercícios de revisão. (21/12/2005)

O programa mínimo oficial desta disciplina deverá encontrar-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo. À medida que as aulas decorrerem o planeamento ir-se-á convertendo em sumários das aulas teóricas.

Corpo docente

Luísa Ribeiro
Responsável por Engenharia Química, Química, turma teórica 05101+05102+05103+16101.

Horários de aulas e dúvidas

Haverá um horário de dúvidas de 3,5 horas semanais distribuído por 2 sessões. Se no final de 20 minutos não estiverem presentes alunos a sessão termina aí. A sala de dúvidas do Departamento de Matemática é a sala 1.12 no piso 1 do edifício de pós-graduação. O horário das sessões será combinado na primeira aula teórica. Os alunos podem consultar sessões de dúvidas de AMI de outros cursos.

Versões dos horários no sistema fénix: Engenharia Química, Química.

Os horários de aulas e dúvidas estão disponíveis.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas iniciam-se a 26 de Setembro de 2005 e as aulas práticas na mesma semana.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado e é comum a outros cursos.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém enunciados de um exame modelo e exames de anos lectivos transactos do mesmo responsável. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Para 2005/2006

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SemanaTextoProblemas
26 a 30 de SetembroLições de Análise Real1 – 2, 3, 5, 6, 8.
2.1– 5, 8, 9.
2.3 – 1, 2, 6.
3 a 7 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaI – 3, 7.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1 – 1, 2, 4, [9], 11, 13, 16, 17, 18.
10 a 14 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaI – 5(a-d), 5j) , k).
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1 – 32, 33, 34, 36, 38
31 de Outubro a 4 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaI – 5i), 5(l-r), 10.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1 – 40, 44, 45, 47, 48, 49
7 a 11 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaII – 12a-d), 14a-n).
Exercícios de Análise Matemática I/II2.1 –3, 5, 7, 8, 15, 21
14 a 18 de Novembro Exercícios de Análise Matemática I/II2.2 –25, 27, 28, 30, 35; 2.3 –43, 44, 45, 50, 53

[x] indica uma recomendação de leitura da resolução do exercício x no texto. x indica um desafio aos alunos mais motivados.

Para 2004/2005

SemanaTextoProblemas
20 de Setembro a 1 de OutubroLições de Análise Real1-2,3,5,6,8.
2.1-5,8,9, 2.3-1,2,6.
6 a 12 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaI-3,7.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1-1,2,4,11,13,16,17,18.
12 a 16 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-1,3,4,5a-h),5j),5k).
18 a 22 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-5i)l-r),6,8,10,11.
25 a 29 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-12b,c,d,f),13,14a-n).
2 a 5 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaII-15,16a),17,18,19,20.
Exercícios de Análise Matemática I/II2-4,7,12,13,17,21,22.
8 a 12 de NovembroExercícios de Análise Matemática I/II2-24,27,30,33,43,45,50.
15 a 19 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaIII-1,2.
22 a 26 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaIII-3b),5,7,11,14,15,17,19 (substituir uniformemente contínua por contínua).
Material adicional sobre funções trigonométricas e hiperbólicas (págs. 11 e 12).
29 de Novembro a 3 de Dezembro Introdução à Análise MatemáticaIV-1,4b),7.

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e discutidos na aula prática da semana seguinte. A duração da aula prática é insuficiente para resolver todos os exercícios.

Última actualização: 2006/02/10 às 17h 56m WET.