Análise Matemática III A - 1º Semestre 2004/05
LCI, LEAer, LEBM, LEFT & LMAC

Sumários das aulas teóricas:

1. (13/9) Revisões sobre derivação em Rⁿ: derivadas parciais, matriz derivada, regra da cadeia.
2. (14/9) Teorema da Função Inversa.
3. (16/9) Teorema da Função Implícita.


4. (20/9) Exemplos de aplicação dos Teoremas da Função Inversa e da Função Implícita.
5. (21/9) Definição de variedade.
6. (23/9) Espaço tangente e espaço normal.


7. (27/9) Exemplos.
8. (28/9) Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.
9. (30/9) Medida de Lebesgue. Conjuntos mensuráveis.


10. (4/10) Aula cancelada devido à Nota Informativa 34/04 do Conselho Directivo.
11. (5/10) Feriado
12. (7/10) Conjuntos de medida nula. Funções mensuráveis.


13. (11/10) Funções simples. Definição de integral de Lebesgue.
14. (12/10) Teorema de Fubini.
15. (14/10) Exemplos. Teorema de Tonelli.


16. (18/10) Mudança de variáveis. Coordenadas polares.
17. (19/10) Coordenadas cilíndricas e esféricas.
18. (21/10) Exemplos de outros tipos de mudanças de variáveis.


19. (25/10) Espaço dual de Rⁿ, base e dimensão. Definição de tensores e covectores em Rⁿ.
20. (26/10) Produto tensorial. Base e dimensão do espaço dos tensores-k em Rⁿ.
21. (28/10) Produto exterior de covectores-k em Rⁿ.


22. (1/11) Feriado
23. (2/11) Base e dimensão do espaço dos covectores-k em Rⁿ. Definição de formas diferenciais.
24. (4/11) Derivada exterior e pull-back de formas diferenciais.

(6/11) 1º Teste


25. (8/11) Formas fechadas e exactas. Lema de Poincaré.
26. (9/11) Formas de graus 1 e 2 e campos vectoriais em R³. Relação entre os operadores gradiente, rotacional e divergência e a derivada exterior de formas.
27. (11/11) Parametrização de variedades.


28. (15/11) Variedades orientáveis.
29. (16/11) Integral de formas diferenciais.
30. (18/11) Integral de campos escalares em variedades.


31. (22/11) Independência de parametrização. Integral de linha ou trabalho de um campo vectorial.
32. (23/11) Fluxo de um campo vectorial.
33. (25/11) Variedades com bordo. Teorema de Stokes.


34. (29/11) Demonstração do Teorema de Stokes. Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha.
35. (30/11) Teorema da Divergência. Teorema de Green. Teorema de Stokes para Campos Vectoriais.
36. (2/12) Caminhos homotópicos. Invariância do integral de formas fechadas ao longo de caminhos homotópicos.


37. (6/12) Conjuntos simplesmente conexos. Condições necessárias e suficientes para uma forma-1 ser exacta.
38. (7/12) Revisão sobre o integral de Lebesgue. Cálculo de integrais de funções não-negativas ilimitadas ou definididas em conjuntos ilimitados.
39. (9/12) Teorema da Convergência Monótona de Levi.


40. (13/12) Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.
41. (14/12) Regra de Leibniz.
42. (16/12) Revisões.