Aula 1: (10/09/07) Apresentação e funcionamento da cadeira. Exemplos de campos escalares, campos vectoriais e suas representações gráficas.

Aula 2: (12/09/07) Continuação. Topologia em R^n. Pontos interiores, fronteiros e exteriores. Conjuntos abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n.

Aula 3: (13/09/07) Limites de sucessões em R^n. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e de conjuntos compactos em termos de sucessões. Continuidade num ponto de uma função f:R^n-> R^m.

Aula 4: (14/09/07) Contiunação. Limite dos valores de uma função num ponto fronteiro ao seu domínio. Exemplos.

Aula 5: (17/09/07) Continuação. Limites direccionais. Exemplos. Coordenadas polares em R^2.

Aula 6: (19/09/07) Exemplos. Teorema de Weierstrass. Conjuntos conexos. Exemplos.

Aula 7: (20/09/07) Teorema do valor intermédio para campos escalares contínuos em R^n. Diferenciabilidade num ponto de uma aplicação f:R^n->R^m.

Aula 8: (21/09/07) Uma aplicação R^n->R^m diferenciável em a é contínua em a. Derivadas segundo um vector. Derivadas parciais. Exemplos.

Aula 9: (24/09/07) Derivada segundo um vector de uma função diferenciável. Matriz Jacobiana. Exemplos. Exemplo de função não diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto. Condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplos.

Aula 10: (26/09/07) Gradiente de um campo escalar e direcção de crescimento máximo. Exemplos. Regra de derivação da função composta. Exemplos.

Aula 11: (27/09/07) Continuação. Regra da cadeia. Exemplos. Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Gradientes e conjuntos de nível. Exemplos.

Aula 12: (28/09/07) Caminhos e vectores tangentes a caminhos. Perpendicularidade entre gradiente e conjuntos de nível. Exemplos de superfícies de nível em R^3 (usando coordenadas cilíndricas) e de cálculo de recta normal e de plano tangente num ponto.

Aula 13: (1/10/07) Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor para funções de variável real: revisão.

Aula 14: (3/10/07) Fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n. Exemplo.

Aula 15: (4/10/07) Condição necessária para um campo escalar diferenciável ter um extremo local num ponto interior ao seu domínio. Pontos críticos. Pontos em sela. Exemplos.

Aula 16: (8/10/07) Matriz Hessiana e forma quadrática associada. Critérios de 2ªordem, necessários e suficientes, para que um campo escalar tenha um extremo num dado ponto crítico. Exemplos. Relação com valores próprios da Hessiana. Exemplos.

Aula 17: (10/10/07) Continuação. Exemplos. Teorema da função inversa.

Aula 18: (11/10/07) Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.

Aula 19: (12/10/07) Demonstração e enunciado do teorema da função implícita.

Aula 20: (15/10/07) Exemplos. Cálculo de derivadas da função implícita. Exemplos e introdução à ideia de variedade diferencial.

Aula 21: (17/10/07) Variedades diferenciais em R^n. Variedades são descritas localmente por gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.

Aula 22: (18/10/07) Continuação e exemplos. Extremos condicionados e método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplo.

Aula 23: (19/10/07) Continuação e exemplos. Introdução ao conceito de parametrização.

Aula 24: (22/10/07) Parametrizações. Um subconjunto de R^n é uma variedade sse é localmente parametrizável. Parametrizações e espaço tangente. Exemplos.

Aula 25: (24/10/07) Continuação. Exemplos. Introdução ao cálculo integral em R^n.

Aula 26: (25/10/07) Intervalos em R^n. Partições finitas de intervalos compactos. Funções em escada. Integral de uma função em escada num intervalo compacto em R^n.

Aula 27: (26/10/07) Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto de R^n. Teorema de Fubini.

Aula 28: (29/10/07) Continuação. Exemplos.

Aula 29: (31/10/07) Continuação. Exemplos.

Aula 30: (2/11/07) Aula de revisões.

Aula 31: (5/11/07) Condição necessária e suficiente para integrabilidade de uma função limitada num intervalo compacto. Funções limitadas descontínuas apenas ao longo de gráficos são integráveis. Regiões x_j simples e regiões simples em R^n. Integrabilidade das funções contínuas e limitadas no interior de uma região simples.

Aula 32: (7/11/07) Aplicações: volume, massa e carga, centro de masa, centróide, momento de inércia. Introdução à fórmula de mudança de variáveis de integração. Transformações de coordenadas em R^n. Jacobiano.

Aula 33: (8/11/07) Teorema da mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Exemplos.

Aula 34: (9/11/07) Continuação. Exemplos. Volume-k de um paralelipípedo-k em R^n.

Aula 35: (12/11/07) Continuação. Integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n. Independência do integral relativamente à parametrização.

Aula 36: (14/11/07) Exemplos.

Aula 37: (15/11/07) Integral de linha de um campo vectorial (trabalho). Dependência a menos de sinal na parametrização. Trabalho de uma força constante. Campos vectoriais conservativos. Conservação da energia mecânica.

Aula 38: (16/11/07) Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Exemplos. Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser gradiente. Campos fechados.

Aula 39: (19/11/07) Exemplo de campo fechado que não é gradiente. Exemplo de campo radial e cálculo de potencial. Homotopia de caminhos e conjuntos simplesmente conexos.

Aula 40: (21/11/07) Invariância por homotopia do trabalho de um campo vectorial fechado ao longo de um caminho fechado. Campos vectoriais em conjuntos simplesmente conexos são gradientes sse são fechados. Exemplos.

Aula 41: (22/11/07) Teorema de Green no plano. Exemplos.

Aula 42: (23/11/07) Teorema da divergência em R^n. Exemplo. Relação com o teorema de Green no plano.

Aula 43: (26/11/07) Continuação. Exemplos. Fluxos. Significado físico e geométrico da divergência. Orientação de superfícies em R^3. Orientação induzida no bordo e regra da mão direita. Exemplos.

Aula 44: (28/11/07) Teorema de Stokes. Exemplos. Significado físico e geométrico do rotacional.

Aula 45: (29/11/07) Exemplos. Potenciais vectores e condições necessárias e suficientes para a sua existência. Exemplos. Equação da continuidade em mecânica dos fluidos e electromagnetismo.

Aula 46: (30/11/07) Resolução de exercícios. Equações de Maxwell.

Aula 47: (3/12/07) Resolução de exercícios.

Aula 48: (5/12/07) Resolução de exercícios.

Aula 49: (6/12/07) Resolução de exercícios.

Aula 50: (7/12/07) Aula de dúvidas.

Aula 51: (10/12/07) Aula de dúvidas.

Aula 52: (12/12/07) Aula de dúvidas.

Aula 53: (13/12/07) Aula de dúvidas.

Aula 54: (14/12/07) Aula de dúvidas.