1º. semestre, 2010/2011
LMAC e MMA
Professor
Responsável: João Teixeira Pinto
| Avisos |
Programa ofcial e Bibliografia |
Regras de avaliação |
Horário |
Sumários das aulas teóricas |
Fichas para as Aulas Práticas |
Exames |
Conteudos adicionais |
Avisos
- 10 Fev - Pauta final com as classificações do 2º exame.
Fica marcada a revisão de provas para a próxima
segunda-feira, dia 14 às 17:30 na sala de dúvidas do Dep.
de Matemática (piso -2). O aluno marcado com "Oral"
deverá contactar-me pessoalmente ou por e-mail ainda durante
esta semana.
- 26 Jan - Pauta das práticas. Pauta do 1º. exame com a classificação final obtida com a classificação das práticas.No
fim da tabela encontra a tabela de conversão da média dos
problemas para a classificação das práticas. Os
alunos com problemas em falta e que falaram anteriormente comigo
deverão contactar-me até segunda-feira da próxima
semana. Os alunos que por mim foram dispensados das práticas
deverão ignorar a nota das práticas a qual não
influenciará a sua nota final.
- 25 Jan - Atenção: o 2º exame foi mudada para as 8:00 do dia 3 de Fevereiro, sala P12.
- 25 Jan - Já pode consultar a pauta do 1º exame.
Fica marcada a revisão de provas para a próxima
sexta-feira, dia 28 de Janeiro, às 11:00 na sala de
dúvidas do Dep. de Matemática. O alunos com
classificação igual ou superior a 18 (após
arredondamento) deverão contactar-me até sexta-feira para
marcação de Oral. Amanhã de manhã
serão publicadas aqui as classificações das fichas
práticas e as notas finais da primeira época.
- 10 Dez
- Na aula prática da próxima semana será
finalizada a ficha 7 e resolver-se-á a ficha 8. Deverão
ser preparados os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha 7 e os exercícios 1 e 2 da ficha 8.
- 29 Nov - Classificações dos 3 primeiros exercícios resolvidos nas práticas na escala 0-5: Pauta.
- 29 Nov - Para a aula prática de amanhã concluiremos a ficha 6 e iniciaremos a ficha 7: 1 e 2. O exercício a ser resolvido na aula será extraido da ficha 6.
- 12 Nov - Para a próxima aula prática: conclusão da ficha 5 (ver aviso de 29 Out) e início da ficha 6: 1, 4, 5, 6, 8, 9. A questão a resolver na aula será da ficha 5.
- 29 Out - Exercícios para a próxima aula prática: ficha 5 - 1, 2, 5, 7, 9 10.
- 18 Out - Na próxima aula prática serão trabalhados os seguintes exercícios: ficha 4 - 1, 2, 3, 4, 5.
- 10 Out - Na próxima aula prática serão trabalhados os exercícios 1, 4 e 5 da ficha 3 e será iniciado o exercício 1 da ficha 4. Questões a ter preparadas para a realização da ficha escrita na aula prática: ficha 1 - exercícios 1 a 6, ficha 2 - exercícios 1 a 5 e 9. Avisa-se que esta semana não será dada a aula de dúvidas no horário habitual mas será antecipada para amanhã, segunda-feira dia 11, pelas 18:00.
- 7 Out - Já estão disponibilizadas as primeiras notas
sobre a matéria das aulas teóricas. Relembra-se que se
trata de um texto em contínua actualização e que
os seus conteudos podem ser alterados em qualquer momento. Alerta-se
igualmente os alunos para a possibilidade de existência de
gralhas uma vez que estas notas não foram objecto de uma
revisão com o objectivo de as disponibilizar o mais rapidamente
possível.
- 24 Set - Para a próxima aula prática os alunos deverão preparar os exercícios 8-10 da ficha 1 e todos os exercícios da ficha 2. Na próxima semana serão divulgados os exercícios sobre os quais poderá incidir a avaliação nas aulas práticas a ser iniciada na semana seguinte.
- 16 Set -
Já estão disponibilizadas abaixo as duas primeira fichas
das práticas. No fim de cada semana a começar por esta,
serão divulgados nesta secção de avisos,
exercícios a serem preparados pelos alunos para a prática
da semana seguinte e que poderão ser objecto de
avaliação durante a aula prática (consulte as regras de avaliação).
Programa oficial e Bibliografia
Programa
Sistemas dinâmicos e equações diferenciais:
teorema de
ponto fixo para contracções em espaços
métricos completos; existência,
unicidade, regularidade e extensão de soluções;
dependência contínua em
relação às condições iniciais;
teorema de Ascoli–Arzelá.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Bibliografia
- J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Colecção Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.
- V. Arnold. Ordinary Differential Equations, Springer, 1992.
- F. Verhulst. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 1996.
Regras de avaliação (ainda em actualização)
A avaliação será feita por exame final para o qual haverá duas datas que serão anunciadas na página da disciplina havendo adicionalmente uma componente prática.
A componente das práticas será baseada nas fichas a serem divulgadas nesta página da seguinte forma: em cada semana será anunciado nesta página um conjunto de exercícios a serem trabalhados em casa. Em 5 aulas práticas, portanto com uma peridiocidade grosso modo de 15 dias, será pedido aos alunos que resolvam um desses exercícios (ou uma pequena variação dele) por escrito. O tempo disponibilizado para isso será não superior a 20 minutos. Esta componete representará não mais que 20% para a classificação final (a percentagem exacta será aqui revelada em breve).
Se o aluno obtiver classificação igual ou superior a 17.5 terá que efectuar uma Oral, caso contrário ficará com 17 como classificação final. Note-se que se fizer Oral, a classificação final do aluno nunca será inferior a 17.
Horário
Teóricas:
| terças,
9:30-11:00, sala V1.32 |
| quintas,
14:30-16:00, sala P12 |
Práticas:
| terças,
11:00-12:30,
sala V1.36 |
Dúvidas:
| terças,
17:00 - 19:15, sala de dúvidas do Dep. de
Matemática - Piso -2 do Pavilhão de Matemática |
Atenção: O docente permanecerá na sala de dúvidas durante os primeiros vinte minutos de cada sessão de dúvidas. Permanecerá a partir daí enquanto estiverem presentes alunos com dúvidas durante o período estipulado.
Sumários das aulas teóricas
Serão publicados regularmente na página da disciplina do fenix.
Fichas para as aulas práticas
Exames
1º Exame: Dia 15/01/2011 às 09:00 - sala P8
2º Exame: Dia 03/02/2011 às 08:00 - sala P12
Conteudos adicionais (sujeito a actualizações)
Algumas notas em elaboração sobre aspectos da disciplna serão aqui divulgados.
Nos sites seguintes encontra applets para visualização de campos de direcções e de retratos de fase no plano para várias equações predefinidas ou a serem introduzidas pelo utilizador:
Integral Curves applet (De utilização muito fácil e eficiente: as órbitas são imediatamente traçadas clicando na condição inicial)
Dynamical Systems applets (De utilização não tão fácil mas mais completo: permite, por exemplo, traçar retratos de fase de sistemas em dimensão 3)
Back to João
Teixeira Pinto's home page.
jpinto@math.ist.utl.pt