1º. semestre, 2009/2010
LMAC e MMA
Professor
Responsável: João Teixeira Pinto
| Avisos |
Programa ofcial e Bibliografia |
Regras de avaliação |
Horário |
Sumários das aulas teóricas |
Fichas das Aulas Práticas |
Exames |
Links
adicionais |
Avisos
- 17 Fev - Já está disponível a pauta
do 2º exame com a classificação final. A
revisão de provas fica marcada para a próxima
sexta-feira, dia 19 de Fevereiro, às 11:00, na sala de
dúvidas do piso -2 do Pavilhão de Matemática.
- 2 Fev - Já está disponível a pauta
do 1º exame. A revisão de provas realiza-se na
próxima quinta-feira às 17:00 na sala de dúvidas
do piso -2 do Pav. da Matemática. Os alunos marcados com "Oral"
deverão contactar o Professor durante esta semana no
horário de dúvidas, na revisão de provas ou por
e-mail.
- 18 Dez - A aula
prática extra marcada para hoje, será das 14:30 às
16:00 na sala V1.24.
- 14 Dez - A aula
prática de amanhã, terça-feira, será
tramsformada na ultima aula teórica do semestre, passando a aula
teórica de quinta-feira a ser a aula prática da
semana. Chama-se a atenção dos alunos para a
possibilidade (se assim o entenderem) de marcação de uma
aula extra de problemas para antes ou logo depois das férias.
Entretanto a totalidade das fichas das práticas do semestre
já se encontra disponível abaixo.
- 7 Dez - A aula de
compensação desta semana fica marcada para sexta-feira,
dia 11, às 14:30, na sala V1.08.
- 2 Dez -
Chama-se a atenção para o facto de que o exercício
9.b) da ficha 6 sofreu correcções já
disponíveis na versão
actualizada.
- 30 Nov - A Aula
prática de compensação de quarta-feira, dia 2 de
Dezembro, será das 8:00 às 9:30 na sala P2
do edifício da Matemática.
- 19 Nov - Para a
próxima semana preparar os exercícios 1-4 e 7-9 da ficha
6. Aconselha-se vivamente no entanto que os alunos resolvam toda a
ficha.
- 23 Out - Para a
próxima semana preparar os exercícios da ficha 4 que ja
vinham para esta semana e os exercícios 2, 7, 8. e 9 da ficha 5.
- 9 Out - Para a
próxima semana os alunos deverão preparar os
exercícios da ficha 3 que vinham para esta semana e os
exercícios 1-3 da ficha 4.
- 2 Out - Na
prática da próxima semana terminaremos a ficha 2 e
iniciaremos a ficha 3. Desta os alunos deverão ter preparados,
pelo menos, os exercícios 1-3.
- 21 Set - Esta semana na
prática terminaremos a ficha 1 e faremos alguns
exercícios da
ficha 2. De especial importância são os exercícios
1-5 da ficha 2.
- 17 Set -
Já estão disponibilizadas abaixo as duas primeira fichas
das práticas. No fim de cada semana a começar por esta,
serão divulgados nesta secção de avisos,
exercícios a serem preparados pelos alunos para a prática
da semana seguinte e que poderão ser objecto de
avaliação durante a aula prática (consulte as regras de avaliação).
Programa oficial e Bibliografia
Programa
Sistemas dinâmicos e equações diferenciais:
teorema de
ponto fixo para contracções em espaços
métricos completos; existência,
unicidade, regularidade e extensão de soluções;
dependência contínua em
relação às condições iniciais;
teorema de Ascoli–Arzelá.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Bibliografia
- J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Colecção Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.
- V. Arnold. Ordinary Differential Equations, Springer, 1992.
- F. Verhulst. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 1996.
Regras de avaliação
A Avaliação será feita por exame final para o qual haverá duas datas que serão anunciadas na página da disciplina. O trabalho individual nas práticas poderá influenciar a classificação final em -1, 0 ou +1. A informação sobre o trabalho nas práticas será obtida através da observação directa do trabalho do aluno no seu lugar ou mediante resolução de problemas no quadro por parte daquele.
Se o aluno obtiver classificação igual ou superior a 17.5 terá que efectuar uma Oral, caso contrário ficará com 17 como classificação final. Note-se que se fizer Oral, a classificação final do aluno nunca será inferior a 17.
Horário
Teóricas:
| terças,
9:30-11:00, sala V1.32 |
| quintas,
14:30-16:00, sala P12 |
Práticas:
| terças,
11:00-12:30,
sala V1.36 |
Dúvidas:
| terças,
17:00 - 19:15, sala de dúvidas do Dep. de
Matemática - Piso -2 do Pavilhão de Matemática |
Atenção: O docente permanecerá na sala de dúvidas durante os primeiros vinte minutos de cada sessão de dúvidas. Permanecerá a partir daí enquanto estiverem presentes alunos com dúvidas durante o período estipulado.
Sumários das aulas teóricas
Serão publicados regularmente na página da disciplina do fenix.
Fichas das aulas práticas
Exames
1º Exame: 25 de Janeiro de 2010, às 13 horas, sala P Enunciado
2º Exame: 8 de Fevereiro de 2010, às 17 horas, sala P12 Enunciado
Observação: Não há inscrições para estes exames.
Pauta final
Links adicionais
Nestes sites encontra applets para visualização de campos de direcções e de retratos de fase no plano para várias equações predefinidas ou a serem introduzidas pelo utilizador:
Integral Curves applet (De utilização muito fácil e eficiente: as órbitas são imediatamente traçadas clicando na condição inicial)
Dynamical Systems applets (De utilização não tão fácil mas mais completo: permite, por exemplo, traçar retratos de fase de sistemas em dimensão 3)
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