1º. semestre, 2008/2009
LMAC e MMA
Professor
Responsável: João Teixeira Pinto
| Avisos |
Programa ofcial e Bibliografia |
Regras de avaliação |
Horário |
Sumários das aulas teóricas |
Fichas das Aulas Práticas |
Exames |
Links
adicionais |
Avisos
- 10 Fev - Já está disponível a pauta do 2º exame
contendo as classificações dos exames, das
práticas e final. A revisão de provas fica marcada
para quinta-feira, 12 de Fevreiro às 18:00 na sala 02-9 (sala de
dúvidas do Dep. de Matemática do piso -2).
- 29 Jan - Já
estão disponíveis as notas
dos exercícios das práticas. A pauta
do 1º exame já contem esta informação.
Como as notas das práticas só sairam depois do 1º
exame, contrariamente ao que tinha sido estipulado estas contam
para quem fizer o 2º exame mesmo já tendo obtido
aprovação com o 1º exame.
- 26 Jan - A pauta
do 1º exame já esta disponibilizada. A revisão
de provas fica marcada para dia 28, quarta-feira, às 18:00 e
realiza-se na sala 09 do piso -2 do Dep. de Matematica. As notas das
fichas práticas sairão nos próximaos dias.
- 5 Jan - Respondendo a uma
pergunta que me tem sido feita: não
há inscrições para qualquer um dos dois exames.
- 18 Dez - A entrega
de exercícios resolvidos fica adiada para amanhã,
sexta-feira, dia 19 na aula prática extra às 16:00. Os
exercícios a resolver são: ficha 5 - 3.(a) e (b), 10. e
11.
- 15 Dez -
Atenção: a próxima entrega de exercícicos
resolvidos é na próxima quinta-feira, dia 18.
- 11 Dez - Foram
acrescentados em links adicionais
ligações para aplicações de
visualização de campos de direcções e
retratos de fase. Sugere-se que os alunos visualizem alguns dos
sistemas considerados. Veja em particular a natureza dos pontos de
equilíbrio, a existência de órbitas
periódicas, homoclínicas e heteroclínicas e
modificações dos retratos de fase quando se consideram
constantes diferentes.
- 2 Dez - Os
exercícios para entregar na aula de quinta-feira, dia 4,
são ficha 4: 1, 2 e 7.
No exercício 7 use os resultados dos exercícios
anteriores sem apresentar as suas deduções.
Atenção: nova correcção da ficha 4:
exercício 5.(c) - obviamente nem todas as
soluções podem tender para 0 quando existe uma
solução periódica não nula! a ficha
já se encontra corrigida.
- 22 Nov -
Atenção: os exercícios 3. e 7. da ficha 4
sofreram correcções. A versão disponibilizada
abaixo já é a actualizada.
- 28 Out - Os
exercícios para entregar até ao fim da aula
teórica de quinta-feira, dia 30 são: Ficha 2 - 5, 7, 9, 11; Ficha 3
- 2 (b), (e). Atenção: a primeira
versão da ficha tinha uma gralha nesta questão. Use a
versão actual da ficha 3
a qual já está corrigida.
- 9 Out - A entrega dos
exercícios fica adiada para a próxima terça-feira
no fim da aula teórica. Os exercícios a entregar
são: 2, 4.(d), 5, 6, 11.
- 6 Out - As regras da avaliação
estavam incompletas na versão anterior da página, pelo
que já foram actualizadas.
- 29 Set -
A data de entrega da 1ª série de exercícios é
quinta-feira, dia 9 de Outubro, e será efectuada na
aula teórica.
Programa oficial e Bibliografia
Programa
Sistemas dinâmicos e equações diferenciais:
teorema de
ponto fixo para contracções em espaços
métricos completos; existência,
unicidade, regularidade e extensão de soluções;
dependência contínua em
relação às condições iniciais;
teorema de Ascoli–Arzelá.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré–Bendixson.
Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos.
Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman–Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade.
Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados.
Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.
Bibliografia
- J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Colecção Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.
- V. Arnold. Ordinary Differential Equations, Springer, 1992.
- F. Verhulst. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 1996.
Regras de avaliação
Há duas modalidades possíveis: Exame final (100%) ou Exame final (70%) + Séries de exercícios entregues (30%). Sobre a segunda modalidade esclarece-se que:
- As séries serão pelo menos em número de 5, e o aluno só poderá usufruir desta modalidade se proceder à entrega de todas as séries dentro dos prazos que forem estabelecidas na secção de avisos em cima.
- Os exercícios a ser entregues serão seleccionados entre os exercícios das fichas das aulas práticas e serão divulgados na secção de avisos com uma antecedência de 48 horas, no mínimo (é suposto os alunos já terem trabalhado previamente todos os problemas das fichas.)
- Nesta modalidade, para obter aprovação na disciplina, a classificação mínima no exame será de 8.5.
- Haverá duas datas de exame mas a classificação das séries de exercícios só contará até o aluno obter aprovação. Assim, se o aluno obteve aprovação com o primeiro exame+ fichas, este só poderá melhorar a nota com o segundo exame se a classificação obtida neste, sem ajuda das fichas, for superior à classificação obtida no primeiro exame+fichas. No entanto se o aluno não obteve aprovação com o primeiro exame, as notas das fichas poderão contar para o segundo exame.
Em qualquer dos casos se o aluno obtiver classificação igual ou superior a 17.5 terá que efectuar uma Oral, caso contrário ficará com 17 como classificação final. Note-se que se fizer Oral, a classificação final do aluno nunca será inferior a 17.
Horário
Teóricas:
| terças,
9:30-11:00, sala V1.32 |
| quintas,
14:30-16:00, sala P12 |
Práticas:
| terças,
11:00-12:30,
sala V1.36 |
Dúvidas:
| quintas,
16:00 - 18:15, sala de dúvidas do Dep. de
Matemática - Piso 1 do Pav. Mat. |
Atenção: O docente permanecerá na sala de dúvidas durante os primeiros quinze minutos de cada sessão de dúvidas. Permanecerá a partir daí enquanto estiverem presentes alunos com dúvidas durante o período estipulado.
Sumários das aulas teóricas
Serão publicados regularmente na página da disciplina do fenix.
Fichas das aulas práticas
Os exercícios destas fichas foram extraidos em parte do livro de J. Sotomayor citado acima na Bibliografia e em parte das fichas de exercícios da disciplina de EDOs da autoria do Prof. Luis Barreira.
Pauta das práticas
Exames
1º Exame: sábado, 17/1/2009, 9 horas, sala Q4.4. Enunciado em ficheiro pdf
2º Exame: sábado, 31/1/2009, 13 horas, sala V0.04. Enunciado em ficheiro pdf
Observação: Não há inscrições para estes exames.
Pauta
Links adicionais
Nestes sites encontra applets para visualização de campos de direcções e de retratos de fase no plano para várias equações predefinidas ou a serem introduzidas pelo utilizador:
Integral Curves applet (De utilização muito fácil e eficiente: as órbitas são imediatamente traçadas clicando na condição inicial)
Dynamical Systems applets (De utilização não tão fácil mas mais completo: permite, por exemplo, traçar retratos de fase de sistemas em dimensão 3)
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