Diferenciabilidade.
Derivada de uma função num ponto. Recta tangente ao gráfico num ponto.
Derivadas laterais
Relação entre diferenciabilidade e continuidade.
Regras de derivação.
Derivadas de funções elementares.
Derivada da função composta.
Material de estudo:
Observação importante: Prosseguimos o estudo baseado no texto [AB]. Recomenda-se que os alunos estudem os exercícios resolvidos da lista [Di]. Também lhes poderá ser útili assistir às aulas em video 12 e 13 em [MA].
Nesta aula os alunos deverão seguir a seguinte sequência no seu estudo:
1) Perceber o conceito de derivada de \(f\) num ponto \(a\) interior a \(D_f\) (veja a definição de ponto interior na nota de rodapé da pag. 66) a qual designaremos por \(f'(a)\) (Definição 3.6.2) e relacioná-la com o declive da recta tangente ao gráfico da função \(f\) em \(a\) (observação 3.6.3 e exemplo 3.6.4).
2) Perceber os conceitos de derivada lateral direita \(f'_d(a)\) e derivada lateral esquerda \(f'_e(a)\). A relevância prática destes conceitos vem do facto de que, por vezes, \(f(x)\) é dada por expressões diferentes, para \(x\gt a\) e para \(x\lt a\) e por ser válido o seguinte resultado:
ATENÇÂO: Não confundir as derivadas laterais \(f'_e(a)\) e \(f'_d(a)\) com os limites laterais da função derivada \(f'(a^-)\) e \(f'(a^+)\)! São dois conceitos totalmente diferentes que, como veremos mais tarde, poderão conduzir aos mesmos valores sob determinadas condições, mas também poderão não coincidir. Pode-se até dar o caso de umas existirem e as outras não. Voltaremos a este assunto nas próximas aulas.
3) Perceba bem a relação entre diferenciabilidade e continuidade dada pelo Teorema 3.6.9: \[f\; \text{ é diferenciável em}\; a\quad\Rightarrow \quad f\; \text{ é contínua em}\; a.\]
ATENÇÃO: Trata-se de uma implicação de um só sentido: continuidade não implica diferenciabilidade. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 1. Seja \(f\) a função módulo: \(f(x)=|x|\) com domínio \(D_f=\mathbb{R}\). Ela é contínua em \(\mathbb{R}\), e em particular em \(x=0\). No entanto, \(f'_e(0)=-1\) e \(f'_d(0)=1\), ou seja, \(f'_e(0)\not=f'_d(0)\). Logo, \(f\) não é diferenciável em \(0\).
No entanto, o memo teorema é equivalente a \[f\; \text{ não é contínua em}\; a\quad\Rightarrow \quad f\; \text{ não é diferenciável em}\; a.\]
Assim, é uma forma simples de justificar a não existência de derivada num ponto onde a função não seja contínua:
Exemplo 2. Seja \(H(x)\) a função de Heaviside: \(H(x)=0\) se \(x\lt 0\), e \(H(x)=1\) se \(\geqslant 0\). Como esta função não é contínua em \(x=0\), podemos logo concluir que não é diferenciável em \(x=0\).
4) Veja a definição de função derivada. Seja \(f:D\to\mathbb{R}\) e designe-se por \(D_1\) o subconjunto de \(D\) formado pelos pontos interiores a \(D\) onde \(f\) é diferenciável. Se, para cada \(x\in D_1\) considerarmos \(f'(x)\), fica definida a função \[f':D_1\to \mathbb{R}\] a qual de designamos por função derivada. O conjunto \(D_1\) designa-se por domínio de deiferenciabilidade de \(f\).
5) Funções derivadas de funções elementares: Apresentam-se aqui algumas deduções. Repare que as derivadas da exponencial, logaritmo e funções trigonométricas são consequência dos limites notáveis introduzidos numa aula anterior. Na realidade esses limites notáveis não são mais do que derivadas em determinados pontos: \[\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad (e^x)'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=1.\] \[\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad (\ln x)'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=1.\] \[\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad (\operatorname{sen})'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen} (0+h)-\operatorname{sen} 0}{h}=1.\]
6) Estude as regras de derivação expressas no teorema 3.6.11. Uma importante consequência de (iii) desse teorema é a
Nesta aula ainda abordamos o teorema da função composta. Aliás, este é um resultado extramamente importante para o cálculo de derivadas. Na realidade, todos as funções que aparecem ao longo desta disciplina serão construidas à custa das funções elementares dadas, não só através de somas, produtos e quocientes entre essas funções, mas também através de suas compostas e inversas.
Perceba bem o significado do enunciado do Teorema 3.6.
Repare que usando uma notação um pouco diferente, se \(u\) for uma função diferenciável num ponto \(x\) e \(f\) uma função diferenciável no ponto \(y=u(x)\), então \(f(u)\) é diferenciável em \(x\) e temos a expressão que nos dá o teorema 3.6, com esta notação: \[(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\]
Exemplo 3. Se \(f(x)=\operatorname{sen}x\) e \(g(x)\) uma função diferenciável em \(D_g\), temos que \(D_{f\circ g}=D_g\), e o domínio de diferenciabilidade de \(f\circ\) coincide com \(D_g\). \[(\operatorname{sen}g(x))'=\cos g(x)g'(x)\]
Por exemplo, se \(g(x)=x^3\), teremos \[(\operatorname{sen} (x^3))'=\cos(x^3)(x^3)'=\cos(x^3)3x^2.\]
Exemplo 4. Seja \(f\) uma função positiva e diferenciável em \(x\). Então, dado que \((\ln x)'=\frac{1}{x},\) temos que, \[(\ln(f(x)))'=\frac{f'(x)}{f(x)}.\]
Exemplo 5. Usando o teorema da função composta de forma iterada: \[(\operatorname{sen}(e^{x+\ln x}))'=\cos(e^{x+\ln x})(e^{x+\ln x})'=\cos(e^{x+\ln x})e^{x+\ln x}(x+\ln x)'=\cos(e^{x+\ln x})e^{x+\ln x}\left(1+\frac{1}{x}\right).\]
Terminamos a aula com uma consequência do teorema da função composta e das derivadas da exponencial e logaritmo:
Exemplo 6. \(\left((1+\operatorname{sen}x)^{\cos x}\right)'=\left(e^{\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x)}\right)'= e^{\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x)}(\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x))' =(1+\operatorname{sen}x)^{\cos x}\left(\operatorname{sen}x \ln(1+\operatorname{sen} x)+\frac{\cos^2 x}{1+\operatorname{sen} x}\right)\)
Com este resultado, podemos demonstrar o seguinte resultado bem vosso conhecido: