Aula teórica 6

Consequências do axioma do supremo (conclusão):
Propriedades dos racionais e irracionais.

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas,.
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

Consequências do axioma do supremo (conclusão)

Na aula anterior, provámos que, como consequência do axioma do supremo, existe um real positivo, designado por \(\sqrt{2},\) que satisfaz a equação, \(x^2=2,\) e que não é racional. Ou seja, \(\sqrt{2}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.\) Em particular, isto significa que o conjunto dos irracionais, \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), é não vazio. Pelas propriedades seguintes, é imediato que, tal como o conjunto dos racionais \(\mathbb{Q}\), também o conjunto dos irracionais \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) é infinito:

Proposição: Sejam \(p,q\) dois números reais quaisquer.

1. Se \(\;p\in\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{Q},\;\) então \(\;p+q\in\mathbb{Q}\;\) e \(\;pq\in\mathbb{Q}.\;\)
2. Se \(\;p\in\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\;\) então \(\;p+q\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\;\) e, se \(p\not=0,\) \(\;pq\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\;\)
3. Se \(\;p\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\;\) então, \(\;p+q\;\) tal como \(\;pq,\;\) pode ser racional ou irracional.

Demonstração

1. Seja \(\;p\in\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{Q},\;\) ou seja, \(\;p=m/n\;\) e \(\;q=r/s\;\) para alguns inteiros \(\;m,n,r,s.\;\) Então, \[p+q=\frac{m}{n}+\frac{r}{s}=\frac{ms+nr}{ns}\qquad\text{e}\qquad pq=\frac{m}{n}\cdot\frac{r}{s}=\frac{mr}{ns}.\] Como a soma e produto de inteiros são inteiros, concluímos que, tanto \(\;p+q\;\) como \(\;pq\;\) são dados por quocientes de inteiros. Logo, \(\;p+q\;\) e \(\;pq\;\) são racionais.

2. Sejam \(\;p\in\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\;\) Raciocinemos por absurdo: se \(\;r=p+q\;\) fosse racional, então, \(\;q=r+(-p)\;\) seria a soma de dois racionais e portanto, como vimos em 1., seria racional. Mas, nesse caso, estaríamos a contradizer as condições assumidas. Logo, \(\;r\;\) tem que ser irracional. Para \(\;pq\;\) o argumento é semelhante (faça como exercício).
3. Sejam \(\;p\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\;\) e \(\;q\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\;\) Mostremos, com exemplos, que todas as possibilidades podem ocorrer:
• Se \(\;p=\sqrt{2}\;\) e \(\;q=-\sqrt{2},\;\) então, \(\;p+q=0\in\mathbb{Q}.\;\)
• Se \(\;p=2\sqrt{2}\;\) e \(\;q=-\sqrt{2},\;\) então, \(\;p+q=\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\;\)
• Se \(\;p=\sqrt{2}\;\) e \(\;q=\sqrt{2},\;\) então, \(\;pq=2\in\mathbb{Q}.\;\)
• Se \(\;p=1+\sqrt{2}\;\) e \(\;q=\sqrt{2},\;\) então, \(\;pq=\sqrt{2}+2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\;\)

Destas propriedades, podemos concluir que, para cada racional \(\;p\;\) existe, pelo menos, um irracional que pode ser dado por \(\;p+\sqrt{2}.\;\) Ou seja, existem tantos ou mais irracionais que racionais. Na realidade, prova-se que existem mais irracionais que racionais. Para o fazer, teríamos que considerar aspectos da teoria dos conjuntos relacionados com o conceito de cardinal de um conjunto, que corresponde à noção de "contagem de elementos" tanto de conjuntos finitos como de conjuntos infinitos. Não o faremos nesta disciplina.

Surge a questão natural de como é que os racionais e irracionais se "distribuem" ao longo da recta real. Para responder a essa questão precisamos de mais uma consequência fundamental do axioma do supremo que enunciaremos de seguida. Aliás ela é tão intuitiva que o que é surpreendente é que ela não saia directamente da definição dos números naturais e precisemos do axioma do supremo para a obter:

Teorema: O conjunto dos naturais \(\;\mathbb{N}\;\) não é majorado.

Demonstração

Suponhamos, por absurdo, que \(\mathbb{N}\) era majorado. Então, pelo axioma do supremo, existiria \[ s=\sup\mathbb{N}. \] Como \(s\) é o menor dos majorantes (relembre a definição de supremo), então \(\;s-1\;\) não seria majorante de \(\mathbb{N}.\;\) Isso quereria dizer que havia \(\;p\in\mathbb{N}\;\) tal que \(p\gt s-1.\;\) Como \(\mathbb{N}\) é um conjunto indutivo, sabemos então que \(p+1\in\mathbb{N}.\;\) Mas, por outro lado, \[ p\gt s-1\quad \Rightarrow\quad p+1\gt s. \] Ou seja, estamos a dizer que o natural \(p+1\) seria maior que \(\sup\mathbb{N},\) o que evidentemente contradiz a definição de supremo. Como esta contradicção é consequência de termos assumido a hipótese de que \(\mathbb{N}\) era majorado, concluímos que esta hipótese é falsa.

Escolhamos agora arbitrariamente um real \(\;\varepsilon>0.\;\) Como \(\mathbb{N}\) não é majorado, sabemos que existem naturais \(n,m\) tais que, \(\;n\gt 1/\varepsilon\;\) e \(\;m\gt \sqrt{2}/\varepsilon.\;\) Mas, nesse caso, \[0\lt\frac{1}{n}\lt \varepsilon \qquad\text{e}\qquad 0\lt\frac{\sqrt{2}}{m}\lt\varepsilon.\] Provámos assim,

Proposição: Qualquer que seja \(\;\varepsilon\gt 0\;\) (por mais pequeno que ele seja), tem-se sempre, \[\mathbb{Q}\cap \left]0,\varepsilon\right[\not=\emptyset\quad \text{e}\qquad (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap \left]0,\varepsilon\right[\not=\emptyset\]

Teorema (propriedade arquimedeana): Dados dois positivos arbitrários \(\;a\;\) e \(\;b\;\) existe sempre \(\;n\in\mathbb{N}\;\) tal que \[na\gt b.\]

Esta propriedade assegura a possibilidade de medir qualquer comprimento \(\;b,\;\) por maior que ele seja, por uma régua graduada em unidades de comprimento \(\;a,\;\) por menor que seja esta unidade de comprimento.

Teorema (densidade dos racionais e dos irracionais na recta real): Dados dois reais arbitrários \(\;a,b\;\) tais que \(\;a\lt b\;\), tem-se sempre \[ \mathbb{Q}\cap \left]a,b\right[\not=\emptyset\qquad\text{e}\qquad (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap \left]a,b\right[\not=\emptyset. \]

Demonstração

Vamos demonstrar só para o caso \(\;0\lt a\lt b.\;\) É fácil ver que os outros casos se podem obter a partir deste.

A ideia da demonstração é simples e geométrica: começamos por considerar a "translação" do intervalo \(\;\left]a,b\right[\;\) para a origem: sendo \(\;\varepsilon=b-a\;\) o comprimento do intervalo, consideremos então o intervalo \(\;\left]0,\varepsilon\right[.\;\) Pela proposição enunciada atrás, sabemos que existem \[p\in\mathbb{Q}\cap \left]0,\varepsilon\right[\qquad\text{e}\qquad q\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap \left]0,\varepsilon\right[.\] Em seguida, provamos que multiplicando estes números por naturais adequados conseguimos "transportá-los" para o intervalo \(\;\left]a,b\right[.\;\) Para isso, sabemos pela propriedade arquimedeana que existem naturais \(\;n,m\;\) tais que \[np\gt a \qquad\text{e}\qquad mq\gt a. \] Como qualquer subconjunto não vazio de naturais tem mínimo, podemos considerar que \(\;n,m\;\) são os menores naturais que satisfazem aquelas desigualdades, ou seja, \[(n-1)p\leqslant a\qquad\text{e}\qquad (m-1)q\leqslant a.\] Mas então, \[ np=(n-1)p+p\leqslant a+p\lt a+\varepsilon=a+(b-a)=b. \] Ou seja, \[np\in \left]a,b\right[,\] o que nos permite concluir que \(\;\mathbb{Q}\cap \left]a,b\right[\not=\emptyset.\;\) De igual modo, obtemos \(\;mq\in \left]a,b\right[\;\) (faça como exercício). Concluímos então também que \(\;(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap \left]a,b\right[\not=\emptyset.\;\)

Consequências da densidade de \(\;\mathbb{Q}\;\) e de \(\;\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\;\) em \(\;\mathbb{R}.\;\) Exemplos.

Identificar \(\inf,\sup,\min,\max\) dos conjuntos dados abaixo.
Usar, para além dos resultados vistos atrás, as definições e as relações vistas noutra aula entre \(\inf\) e \(\min,\) por um lado, e \(\sup\) e \(\max,\) por outro. Por exemplo, relembre que \[p=\max A\quad\Leftrightarrow\quad \left(\,p\in A \quad\wedge\quad p\text{ é majorante de }A\,\right)\] \[p=\max A \quad\Rightarrow \quad p=\sup A\] \[\left(\,p=\sup A \quad\wedge\quad p\in A\,\right)\quad \Leftrightarrow\quad p=\max A.\]

1. \(A=\left[0,1\right[\cap\mathbb{Q}.\;\) Como \(0\) é minorante de \(A\), e \(0\in A\), por definição, temos \(\;\min A=0\;\) e, portanto, \(\;\inf A=0.\;\)
   Obviamente \(\;1\;\) é majorante de \(\;A\;\) e é o menor deles. De facto, se \(0\lt p\lt 1\), então existe um racional em \(\left]p,1\right[\), o qual é, portanto, um elemento de \(A\) maior que \(p,\) e logo, \(p\) não seria majorante de \(A.\) Logo, \(\;\sup A=1.\;\) Como \(\;1\notin A\;\) concluímos que \(\;A\;\) não tem máximo.
   
   
2. \(B=\left[0,1\right[\setminus\mathbb{Q}\;\) (obviamente equivalente a \(B=\left[0,1\right[\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\)). \(0\) é obviamente um minorante de \(B\) e é o maior deles. De facto, se considerarmos \(0\lt p\lt 1\), existe um irracional em \(\left]0,p\right[\), o qual será portanto um elemento de \(B\) menor que \(p,\) e logo, \(p\) não seria um minorante de \(B.\) Logo, por definição, \(\;\inf B=0.\;\) Como \(\;0\notin B\;\) (por não ser irracional), concluímos que \(B\) não tem mínimo.
   Como \(1\) é obviamente um majorante de \(B\) e é o menor deles (justifique!) concluímos que \(\;\sup B=1.\;\) Como \(\;1\notin B,\;\) o conjunto \(B\) não tem máximo.
   
   
3. \(C=\left[0,1\right]\cup\{\sqrt{2}\}\cup\{-1\}.\;\) Como, \(-1\) e \(\sqrt{2}\) são, respectivamente, um minorante e um majorante de \(C,\) e, além disso, são também elementos de \(C\), concluímos que \(\;\min C=-1\;\) e \(\;\max C =\sqrt{2}.\;\) Logo, como consequência, \(\;\inf C=-1\;\) e \(\;\sup C=\sqrt{2}.\;\)
   
   
4. \(D=C\cap\mathbb{Q}.\;\) Justifique, em primeiro lugar, que \(\;\max D=1\;\), e que, portanto, \(\;\sup D=1.\;\) Justifique, de igual modo, que \(\;\min D=-1\;\) e que, portanto, \(\;\inf D=-1.\)
   
   
5. \(E=C\setminus \mathbb{Q}.\;\) Justifique, em primeiro lugar que, \(\;\max E=\sqrt{2},\;\) e, portanto, \(\;\sup E=\sqrt{2}.\;\) Justifique que \(\;\inf E=0,\;\) e que \(\;E\;\) não tem mínimo.
   
   
6. \(F=\left\{\dfrac{1}{n}\;:\;n\in\mathbb{N}\right\}.\;\) Este problema é diferente dos anteriores uma vez que o conjunto dado não envolve intervalos (!). Obviamente que \(\;\sup F=\max F=1.\;\)
   Para vermos o ínfimo, notemos que qualquer que seja \(\;n\in\mathbb{N},\;\) \(\frac{1}{n}\gt 0,\) e portanto, \(0\) é um minorante de \(F.\;\) Por outro lado, já vimos que, para qualquer \(p\gt 0,\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(\frac{1}{n}\lt p.\;\) Logo, \(0\) é o maior dos minorantes de \(F\) e, portanto, \(\inf F=0.\;\) Como, \(\;0\notin F,\;\) concluímos que \(F\) não tem mínimo.