Aula teorica 5

Aula teórica 5 (2ª parte)

O axioma do supremo (continuação).
Consequências do axioma do supremo:
Existe solução de \(x^2=2\) em \(\mathbb{R}\) (logo, existem irracionais).

Material de estudo:

[AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010., Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas,.
[CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

Consequências do Axioma do Supremo

Comece por relembrar o enunciado do Axioma do Supremo enunciado na primeira parte da aula (que está incluído no guia de estudo da aula 4):

Axioma do supremo: Qualquer conjunto \(A\subset \mathbb{R}\) não vazio e majorado tem supremo em \(\mathbb{R}.\)

Relembremos que a motivação dada para a introdução de um novo axioma foi que os anteriores, só por si, não chegavam para caracetrizar todas as propriedades que queremos atribuir aos reais, nomeadamente a possibilidade de resolução em \(\mathbb{R}\) da equação \(x^2=2.\;\) Ou seja, só baseados naqueles axiomas, não poderíamos afirmar se esta equação tinha ou não solução. Vamos ver que este axioma garante que existe solução para esta equação em \(\mathbb{R}^+.\;\) Relembre, quanto a isto, que o conjunto dos racionais \(\mathbb{Q}\) satisfaz todos os axiomas anteriores e, em \(\mathbb{Q},\) não há nenhum número que satisfaz aquela equação. O número real que satisfaz aquela equação é a raiz quadrada de \(2\), \(\sqrt{2}.\;\) Temos, portanto, \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\)

O argumento atrás podia ser aplicado a muitos outros números como as raizes quadradas de outros naturais ou de muitos outros números importantes que sabemos serem irracionais (como \(\pi\) ou o número de Nepper \(e\)). Na realidade, o axioma do supremo implica a existência no conjunto dos reais de elementos que nos permitem dizer que o conjunto \(\mathbb{R}\) "é completo", ou seja, em algum sentido "não tem buracos". Em particular, existe qualquer número construído geometricamente à custa de régua e compasso, como é o caso de \(\sqrt{2}\) o qual, em conseqência do Teorema de Pitágoras, pode ser determinado à custa da construção de um triângulo rectângulo de catetos de comprimento 1.

Terminamos então a aula mostrando:

Proposição: Existe \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\; x^2=2.\)

Demonstração (abreviada)

Neste texto indicamos as ideias principais, deixando os detalhes completos para a leitura da referência [AB] do material de estudo. A ideia é, primeiro, obter um candidato a solução e, segundo, provar que esse candidato de facto satisfaz a equação. Para obter um candidato a solução considere-se o subconjunto de \(\mathbb{R}\) seguinte: \[A=\{x\in\mathbb{R}^+\,:\; x^2\lt 2\}.\] Observe que

\(\;A\not=\emptyset.\;\) De facto, veja que \(\;1\in A.\)
\(\;A\;\) é majorado. De facto, como \(2^2=4\gt 2\) e, dado que \(2\) é positivo, concluímos que \(2\) é maior que qualquer elemento de \(A\). Logo, \(2\) é um majorante de \(\;A.\)

Estamos então nas condições de aplicação do axioma do supremo. Então, existe em \(\mathbb{R},\) \[s=\sup A.\] Para garantir que, de facto, \(\;s^2=2,\;\) relembre que, pela propriedade da tricotomia (ver duas aulas atrás), ocorre uma e uma só das seguintes três alternativas: \[s^2\lt 2\,,\qquad s^2\gt 2\,,\qquad s^2=2\,.\] A demonstração completa-se mostrando que as duas primeiras alternativas são falsas. O argumento é por absurdo:

Suponhamos que era verdade que \(\;s^2\lt 2.\;\)
Nesse caso pode-se mostrar que, para \(\;\varepsilon\gt 0\;\) suficientemente pequeno, continuaríamos a ter \(\; (s+\varepsilon)^2\lt 2.\;\) (veja [AB]). Logo, \(\;s+\varepsilon\in A,\;\) e, portanto, \(\;s\;\) não seria majorante de \(\;A,\;\) o que contradiz a definição de supremo.
Suponhamos que era verdade que \(\;s^2\gt 2.\;\)
Nesse caso pode-se mostrar que, para \(\;\varepsilon\gt 0\;\) suficientemente pequeno, continuaríamos a ter \(\; (s-\varepsilon)^2\gt 2.\;\) (veja [AB]). Logo, \(\;s-\varepsilon\;\) seria um majorante de \(A\) e, portanto, \(\;s\;\) não seria o menor dos majorantes de \(\;A,\;\) contradizendo a definição de supremo.

∎

Observe-se que a solução obtida nesta demonstração é positiva e é, portanto, o número que designamos por \(\sqrt{2}.\;\) É claro que, dada a identidade \(x^2=(-x)^2,\;\) o número \(-\sqrt{2}\) é outra solução.

Outra observação: nesta demonstração, mais precisamente nos passos em que se diz existirem valores para \(\;\varepsilon\gt 0\;\) satisfazendo as propriedades indicadas, usa-se uma propriedade que, ela própria também é consequência do axioma do supremo: a propriedade arquimedeana. Esta importante propriedade será vista na próxima aula.