Séries de potências
Motivação: representação de funções por séries de potências (série de Taylor).
Intervalo de convergência.
A unicidade da representação de uma função por uma série de potências em torno de um ponto.
Obtenção de séries de Taylor á custa de séries conhecidas.
Material de estudo:
Esta aula é dedicada a séries de potências e série de Taylor. Tratam-se de séries em que cada um dos seus termos é uma função de uma variável \(x\) (do tipo potência). Principiamos com uma justificação da importância destas séries na representação de uma vasta classe de funções, generalizando os polinómios de Taylor para série de Taylor.
Os objecivos principais do estudo do material desta aula são:
Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 1 e 2 da secção 5.2 da lista [S] .
Definição. Série de potênciasDesignamos por série de potências uma série da forma \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots\] em que \(c_n,\;\) \(n=0,1,2,\dots\;\) e \(\;a\;\) são constantes reais dadas e \(\;x\;\) é uma variável real.
Trata-se da generalização do conceito de polinómio para um número infinito de potências de \(x\). Poderíamos então afirmar que se trata de um "polinómio de grau infinito". No entanto, pelo facto de termos uma soma de infinitos termos haverá uma diferença substancial relativamente aos polinómios: enquanto um polinómio é uma função definida em \(\mathbb{R}\), uma série de potências só estará definida para os valores de \(x\) em que a série é convergente (isto é, para os quais está definida a sua soma).
Outra questão é se as propriedades das operações em \(\mathbb{R}\), da derivada e do integral aplicadas aos polinómios e que são consequência das propriedades elementares dessas operações (comutatividade, associatividade, distributividade, linearidde da derivada e do integral,...) são também observadas pelas séries de potências. Esta questão não é trivial e para outros tipos de séries em que os termos são de outro tipo, a resposta poderá ser negativa. No entanto, para séries de potências veremos que poderão ser enunciadas propriedades que directamente generalizam a dos polinómios.
Exemplos. As seguinte séries de potências assumirão uma importância e \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\;\qquad (c_n=1,\; a=0)\)
A série geométrica já é nossa conhecida. As designações das outras serão justificadas mais à frente.
Da fórmula da soma da série geométrica quando \(\; -1\lt x\lt 1\;\) (relembre!), podemos escrever: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\] onde, \[f(x)=\frac{1}{1-x}.\] Isto é o exemplo da representação de uma função por uma série de potências. Mas muitas outras funções podem ser escritas como a soma de uma série de potências o que poderá ser extremamente útil na prática.
Para esse fim relembre (reveja aula dedicada aos polinómios de Taylor) que uma função \(\;f\;\) que tenha as derivadas de todas as ordens em torno do ponto \(a\) se pode escrever, para cada \(\;k\in\mathbb{N},\;\) como, \[f(x)=P_k(x)+R_k(x)\] onde \(P_k(x)\) é o polinómio de Taylor de ordem \(k\) em torno do ponto \(x=a,\) \[P_k(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k =\sum_{n=0}^k\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] e \(R_k(x)\) é o resto de ordem \(k\) (erro cometido na aproximação polinomial) para o qual dispomos da fórmula de Lagrange: \[R_k(x)=\frac{f^{k+1}(c)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}\,,\quad \text{ para algum }c\text{ entre }a\text{ e }x, \; \text{dependente de }k.\] Vamos ver o seguinte exemplo: \[f(x)=e^x,\qquad a=0.\] Então, \[e^x=P_k(x)+R_k(x)=\sum_{n=0}^k \frac{1}{n!}x^n+\frac{e^{c(k,x)}}{(k+1)!}x^{k+1}.\]
Tomemos o limite quando \(k\to\infty.\;\) Como \(c(k,x)\leqslant |x|,\;\) temos \(\;e^{c(k, x)}\leqslant e^{|x|}\;\) e, portanto, \[0\lt |R_k(x)|\lt e^{|x|}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\to 0\] (relembre a escala de sucessões!). Logo, por enquadramento, \(\;\displaystyle\lim_{k\to\infty}R_k(x)=0,\;\) e, portanto, \[P_k(x)=e^x-R_k(x)\quad \Rightarrow \quad\lim_{k\to\infty}P_k(x)=e^x-\lim_ {k\to \infty}R_k(x)=e^x.\] Conclusão: \[e^x=\lim_{k\to\infty}P_k(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\] para qualquer \(x\in\mathbb{R}.\) Repare que a soma desta série dá exactamente o valor de \(e^x\) enquanto que o polinómio de Taylor fornece apenas uma aproximação quando \(x\) está próximo do ponto \(a=0\).
A identidade anterior justifica o nome de série exponencial atribuida àquela série. Procedendo da mesma forma quanto às séries 3 e 4 dos exemplos atrás, e relembrando os polinómios de Taylor das funções seno e cosseno, obtemos, para todo \(x\in\mathbb{R}\), \[\operatorname{sen}x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad \cos x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\] justificando as designações dadas àquelas séries.
O resultado geral que se obtem da mesma forma como se obteve o resultado correspondente para a função exponencial e que justifica a importância das séries de potências é a seguinteProposição (série de Taylor)Seja \(f\) uma função de classe \(C^\infty\) tal que, para \(x\) numa vizinhança de \(a\), as derivadas de todas a ordens \(\;f^{(n)}(x)\;\) são majoradas por uma constante. Então, para todo \(x\) nessa vizinhança, \(f(x)\) é dada pela soma da seguinte série de potências designada por série de Taylor: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n,\] onde, para \(n=0,1,2,\dots, \) \[c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,.\]
Questão: Para que valores de \(x\) é a série anterior uma série absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente?Temos então o seguinte resultado que é o mais geral possível para as séries de potências:
Proposição (existência do raio de convergência)Sejam \(\;c_n\;\) \((n=0,1,2,\dots)\;\) e \(\;a\;\) constantes reais dadas. Então, existe um \(\;R\geqslant 0\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}\;\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\]
\(R\;\) designa-se por raio de convergência.
- é absolutamente convergente se \(\;|x-a|\lt R;\)
- é divergente se \(\;|x-a|\gt R.\)
Reparem que nada é dito quando \(\;|x-a|=R\;\) ou seja, quando \(\;x=a-R\;\) ou \(\;x=a+R.\;\) Veremos nos exemplos que nestes pontos tudo pode acontecer relativamente à convergência da série de potências. Em particular veja que apenas nestes pontos a série de potências poderá eventualmente ser simplesmente convergente.
O seguinte resultado é menos geral que o anterior mas fornece duas fórmulas para o cálculo do raio de convergência em muitas situações relevantes:
Proposição (fórmulas para o raio de convergência)
- É válida a seguinte fórmula para o raio de convergência \(\;R\;\) se o limite indicado existir em \(\;\overline{\mathbb{R}}:\;\) \[R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|c_n|}}\]
- É válida a seguinte fórmula para o raio de convergência \(\;R\;\) se, para \(\;n=0,1,2,\dots\;\) \(c_n\not=0\) e o limite indicado existir em \(\;\overline{\mathbb{R}}:\;\) \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.\]
Demonstração
Fazemos a demonstração da segunda fórmula, o que também constituirá uma demonstração para a proposição geral anterior no caso em que ela é válida.
Sob a hipótese de existência do limite em causa, defina-se \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\] Designemos \(\;a_n=c_n(x-a)^n.\;\) A série de potências será então a série \(\;\sum a_n.\;\) Para estudar a sua convergência absoluta consideremos a série dos módulos \(\;\sum|a_n|\;\) e apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN: \[\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(x-a)^{n+1}|}{|c_n(x-a)^n|} =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right||x-a|=\frac{|x-a|}{R}\]
Temos então,
A demonstração da outra fórmula para \(\;R\;\) segue os mesmos passos mas usando o critério da raiz em vez do critério de d'Alembert. Sugere-se que o façam como exercício.
Observação: Como foi afirmado atrás, o raio de convergência existe sempre, ainda que nenhum dos limites da proposição anterior exista. Embora saindo do âmbito desta disciplina, indica-se uma fórmula geral que é sempre válida: \[R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Aqui, o símbolo \(\;\displaystyle\overline{\lim}\;\) designado por limite superior, é o maior dos sublimites da sucessão. Existe sempre em \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Designamos por intervalo de convergência o intervalo \(I\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\] é convergente sse \(\;x\in I.\;\)
Esse intervalo é de uma das seguintes formas: \(\;\left]a-R,a+R \right[,\;\)\(\;\left]a-R,a+R\right],\;\) \(\;\left[a-R,a+R\right[\;\) ou \(\;\left[a-R,a+R\right].\;\)
Se \(\;x\in\left]a-R,a+R\right[,\;\) a série é absolutamente convergente.
Se \(\;x\in\left]-\infty,a-R\right[\cup\left]a+R,+\infty\right[,\;\) a série é divergente.
Para todos os exemplos que se seguem a questão é: determine os conjuntos de valores de \(x\) tais que a série dada é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente. Indicar o intervalo de convergência
Intervalo de convergência: \(I=\left]-1,1\right[\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots\;\)
\(\quad (c_n=\dfrac{1}{n},\; a=0)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n+1}{n}=1\]
Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente (série harmónica).
Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\;\)
é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).
Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right[\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\dots\;\)
\(\quad (c_n=\dfrac{1}{n^2},\; a=0)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\]
Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}\;\) é absolutamente convergente
(série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\;\)
é absolutamente convergente (série de Dirichlet alternada com \(\alpha=2\gt 1\)).
Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right]\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots\;\)
\(\quad (c_n=\dfrac{1}{n!},\; a=0)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)!}{n!}=\lim (n+1)=+\infty\]
Conclusão:
\(\forall x\in\left]-\infty,+\infty\right[=\mathbb{R},\quad\) a série é absolutamente convergente.
Não existem valores de \(x\) para os quais a série é simplesmente convergente ou divergente.
Intervalo de convergência: \(I=\mathbb{R}\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!x^n=1+1!x+2!x^2+\dots\;\)
\(\quad (c_n=n!,\; a=0)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n!}{(n+1)!}=\lim \frac{1}{n+1}=0\]
Intervalo de convergência: \(I=\{0\}\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n\)
\(\quad (c_n=\dfrac{1}{(n+1)^2},\; a=1)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\]
Em \(\;x=a+R=2:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n
=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}\;\) é
absolutamente convergente (é uma STNN que se compara (critério 3) com a série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
Em \(\;x=a-R=0:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n
=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(-1)^n\;\)
é absolutamente convergente (veja que a série dos módulos coincide com a série quando \(x=2\)).
Conclusão:
Intervalo de convergência: \(I=\left[0,2\right]\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n\)
\(\quad (c_n=\dfrac{1}{n2^n},\; a=-1)\)
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=2\lim\frac{n+1}{n}=2.\]
Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n
=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é
divergente (série harmónica).
Em \(\;x=a-R=-3:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n
=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n};\)
é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).
Conclusão:
Intervalo de convergência: \(I=\left[-3,1\right[.\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n\)
\(\displaystyle\quad (c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)^n,\; a=0)\)
\[R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|c_n|}}=\frac{1}{\lim\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{2}\,.\]
Em \(\;x=a+R=\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n
=\sum_{n=1}^\infty \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\;\).
Em \(\;x=a-R=-\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n
=\sum_{n=1}^\infty \left(-1-\frac{1}{2n}\right)^n.\)
Como, \[\lim \left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n=e^{1/2}\not=0,\] e \[\left(-1-\frac{1/2}{n}\right)^n=(-1)^n\left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n\] tem sublimites \(\;e^{1/2}\;\) e \(\;-e^{1/2}\;\), e logo não tem limite, concluimos que em \(x=\pm\dfrac{1}{2}\) a série é divergente.
Conclusão:
Intervalo de convergência: \(I=\left]-1/2,1/2\right[.\)
\(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{1+4^n}=\frac{1}{2}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^4}{17}+\dots\;\)
\(\quad (c_n=0\;\) se \(n\) é ímpar, \(\;c_{2k}=\dfrac{1}{1+4^k},\) \(\; a=0)\)
Como, para infinitos valores de \(n\) temos \(c_n=0,\) não podemos usar directamente a fórmula do raio de convergência
baseada no critério de d'Alembert. No entanto, fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), ficamos com outra série
de potências,
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{y^{n}}{1+4^n}\qquad (c_n=\frac{1}{1+4^n})\]
à qual já podemos aplicar essa fórmula:
\[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{1+4^{n+1}}{1+4^n}=4\lim\frac{\frac{1}{4^{n+1}}+1}{\frac{1}{4^n}+1}=4.\]
Em \(\;x=a+R=4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{4^n}{1+4^n}\;\)
Em \(\;x=a-R=-4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^n}{1+4^n}.\)
Veja que o termo geral da primeira série tende para \(1\not=0\) e a sucessão do termo geral da segunda não
tem limite pelo que, a série de potências é divergente em \(x=\pm 4\)
Então, para \(y\):
Mas \[-4\lt y\lt 4\; \Leftrightarrow\; -4\lt x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; -2\lt x\lt 2.\]
Conclusão:Intervalo de convergência: \(I=\left]-2,2\right[.\)
Resposta: Intervalo de convergência \(I=\mathbb{R}.\)
Na aula anterior vimos que, sob determinadas condições muito latas, uma função \(\;f(x)\;\) pode ser dada, numa vizinhança de um determinado ponto \(\;a\;\), pela soma de uma série de potências específica: a sua série de Taylor em torno desse ponto \(\;a:\;\) \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\qquad \text{onde}\quad c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.\]
Surge então a questão: se soubermos que uma função é dada pela soma de uma série de potências em torno no ponto \(\;a\;\) terá essa série que ser necessariamente a série de Taylor em torno desse ponto?
Por exemplo, tomemos a função \[f(x)=\frac{1}{1-x}.\] Sabemos que, para \(\;x\in D=\left]-1,1\right[,\;\) esta função dá exactamente a soma da série geométrica: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots,\] a qual é um caso particular de série de potências centrada no ponto \(a=0.\) Será esta série a série de Taylor de \(\;f(x)=\dfrac{1}{1-x}\;\) em torno do ponto \(\;a=0?\;\) Neste caso é muito fácil constatar que sim: basta derivar sucessivamente a função \(f(x)\) e substituir \(a=0\) em cada uma das derivadas. Constatamos então que \(\;f^{(n)}(0)=n!,\;\) resultando para os coeficientes da série de Taylor \(\;c_n=1,\;\) ou seja, é a série geométrica.
Mais geralmente temos
Proposição. Unicidade da representação de uma função por uma série de potências.Seja \(\;f\;\) uma função de classe \(\;C^\infty\;\) (ou seja, tem derivadas de todas as ordens) numa vizinhança \(I\) de \(a\) e é tal que, para todo \(x\in I,\) \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots\] Então, esta série é necessariamente a série de Taylor de \(\;f\;\) em torno do ponto \(a\), ou seja, \[c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},\qquad n=0,1,2,\dots\]
Exemplo 1. Seja \(\displaystyle\; f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}\;\) para \(\;x\in\left]-1,1\right[\;\) (mostre que este é o intervalo de convergência desta série). Trata-se de uma série de potências centrada em \(a=0\) e, em virtude da proposição atrás, esta é a série de Taylor daquela função \(f\) em torno de \(a=0\) e, portanto, para \(n=0,1,2,3\dots,\) podemos calcular as derivadas \(\;f^{(n)}(0)\;\) mesmo sem se conhecer a expressão explícita de \(\;f(x):\;\) \[\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=c_n=\frac{1}{n+1}\quad\Rightarrow\quad f^{(n)}(0)=\frac{n!}{n+1}\,.\]
Exemplo 2. \(\;f(x)=\dfrac{1}{2-x},\;\) em torno de \(\;a=0.\;\). Então, usando a série geométrica, neste caso, na variável \(y=x/2:\) \[\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x/2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}}.\] Esta é a série de Taylor de \(f(x)\) em torno de \(a=0\). Intervalo em que esta igualdade é válida: é dada pelo intervalo de convergência da série de potências. Assim, a segunda igualdade é válida sse \(\;\displaystyle\left|\frac{x}{2}\right|\lt 1\;\) ou seja, se \(\;|x|\lt 2.\;\)
Mais geralmente, procedendo exactamente do mesmo modo, para qualquer constante positiva \(c\) temos, \[|x|\lt c\quad\Rightarrow \quad \frac{1}{c-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{c^{n+1}}\,.\] Podemos então calcular a série de Taylor da seguinte função racional:
Exemplo 3. \(\;f(x)=\dfrac{1}{(2-x)(3-x)},\;\) em torno de \(\;a=0:\;\) \[\frac{1}{(3-x)(2-x)}=\frac{1}{2-x}-\frac{1}{3-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{2^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{3^{n+1}} =\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)x^n.\] Da segunda igualdade infere-se que o intervalo em que esta identidade é válida é dado pelas condições \(|x|\lt 2\) e \(|x|\lt 3,\) ou seja, \(|x|\lt 2.\)
Exemplo 4. \(\;f(x)=\dfrac{1}{1+x^2},\;\) em torno de \(\;a=0:\;\) \[\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\dots\] Pela segunda igualdade podemos deduzir que o intervalo de validade desta representação é \(\;|-x^2|\lt 1\; \) que é equivalente a \(\;|x|\lt 1.\;\)
Observação: Repare que, neste caso os coeficientes da série de Taylor são: \[c_{2n+1}=0, \qquad c_{2n}=(-1)^n,\qquad \text{para }n=0,1,2,\dots\] Suponhamos que é pedido \(\;f^{(73)}(0).\;\) Como \(k=73\) é ímpar, temos \(c_{73}=0\) e, portanto, \(f^{(73)}(0)=73!\cdot c_{73}=0.\)
Suponhamos agora que é pedido \(\;f^{(82)}(0).\;\) Como \(\;k=82\;\) é par, temos \(\;c_{82}=(-1)^{41}=-1\;\) e, portanto, \(\;f^{(82)}(0)=82!\cdot c_{82}=-82!\;\)
Exemplo 5. \(\;f(x)=\dfrac{1}{2-x},\;\) em torno de \(\;a=3.\;\). Neste caso, a série de potências escreve-se em termos de potências de \(\;x-3\;\), não de \(\;x\;\). Simplifiquemos fazendo a mudança de variável \(\;y=x-3,\;\) ou seja, \(\;x=y+3.\;\) Então, \[\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2-(y+3)}=-\frac{1}{1+y}=-\frac{1}{1-(-y)}=-\sum_{n=0}^\infty (-y)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}y^n =\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}(x-3)^n.\] Esta é a série de Taylor de \(f(x)\) em torno de \(a=3\). Intervalo em que esta igualdade é válida: da segunda igualdade, \(\;\displaystyle\left|-y\right|\lt 1\;\) ou seja, se \(|x-3|\lt 1\), ou ainda, se \(2\lt x\lt 4.\)
Proposição: Derivação e integração de séries de potênciasSeja \(\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\;\) com raio de convergência \(\;R\;\). Então, para todo \(\;x\;\) tal que \(\;|x-a|\lt R\;\)
Aqui, as primitivas são as que se anulam em \(\;x=a\;\). Podemos também escrever \(\;\displaystyle Pf(x)=\int_a^x f(t)\,dt.\;\)
- \(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(c_n(x-a)^n\right)'=\sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1};\)
- \(\displaystyle Pf(x)=\sum_{n=0}^\infty P\left(c_n(x-a)^n\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}.\)
Exemplo 6. \(\;\displaystyle f(x)=\ln(1-x)\;\) com \(\;a=0.\;\) Temos \[\ln(1-x)=-P\left(\frac{1}{1-x}\right)=-P\left(\sum_{n=0}^\infty x^n \right) = -\sum_{n=0}^\infty P(x^n)=-\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} =-1-\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots,\] sendo esta igualdade verdadeira para \(|x|\lt 1.\)
Exemplo 7. \(\;\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x\;\) com \(\;a=0.\;\) Temos, usando o exemplo 4. acima (se não o tivéssemos já feito teríamos que o fazer agora) \[\operatorname{arctg}x=P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=P\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\right) =\sum_{n=0}^\infty P\left((-1)^n x^{2n}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots\]
O que dita o intervalo de validade desta expressão é a segunda igualdade que é válida sse \(\;|x|\lt 1.\;\)Exemplo 8. \(\;\displaystyle f(x)=\frac{1}{(5+x)^2}\;\) com \(\;a=0.\;\) \[\frac{1}{(5+x)^2}=-\left(\frac{1}{5+x}\right)'=-\frac{1}{5} \left(\frac{1}{1-(-x/5)}\right)' =-\frac{1}{5}\left(\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x}{5}\right)^n\right)' =-\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^nx^{n}}{5^{n+1}}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}nx^{n-1}}{5^{n+1}}\] expressão válida quando \(\;\left|-\dfrac{x}{5}\right|\lt 1,\;\) ou seja, quando \(|x|\lt 5.\)
Já conhecemos as séries de Taylor em torno de \(\;a=0\;\) da exponencial, seno e cosseno (ver aula anterior). A partir destas tabém se podem construir outras.
Exemplo 9. \(\;\displaystyle f(x)=e^x\;\) com \(\;a=3.\;\) Como no exemplo 5. fazemos \(\;y=x-3,\;\) ou seja, \(\;x=3+y.\;\) Então, \[e^x=e^{3+y}=e^3e^y=e^3\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^3}{n!}(x-3)^n,\] válida para todo \(\;x\in\mathbb{R}\,.\)
Exemplo 10.\(\;\displaystyle f(x)=xe^{x^2}\;\) em torno de \(\;a=0.\;\) \[ xe^{x^2}=x\sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{n!} \] válida para todo \(\;x\in \mathbb{R}\,.\;\)
Exemplo 11.\(\;f(x)=\cosh x,\;\) em torno do ponto \(\;a=0.\;\) \[\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}\right) =\sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2n!}x^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!},\] válida para todo \(\;x\in\mathbb{R}.\;\) Observe que na dedução anterior usámos,) \[ \frac{1+(-1)^n}{2n!}=\begin{cases} 0 &\text{ se } n=2k+1,\quad k=0,1,2,\dots\\ \frac{1}{(2k)!} &\text{ se }n=2k,\quad k=0,1,2,\dots \end{cases} \] Compare a série do \(\;\cosh x\;\) com a de \(\;\cos x!\)