Aulas teóricas 37 e 38

Séries:
critérios de convergência.
Condição necessária de convergência. Não é suficiente:
a série harmónica como contraexemplo.
Séries de termo geral não negativo.
O critério do integral. Uma aplicação: a convergência/divergência das séries de Dirichlet.
Critérios de comparação.
Critério de d'Alembert e critério da raiz.
Séries de termo geral sem sinal determinado: O critério da convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, páginas 161-168.,.
• [S] Exercícios resolvidos:  Séries: secção 5.1. exercícios 1 e 2..
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

Nesta aula continua-se o estudo das séries. Não nos vamos agora ocupar com o cálculo de somas de séries. Dada uma série apenas pretendemos responder à questão: a série dada é convergente ou divergente?

Para isso existem os critérios de convergência. Nesta aula iniciaremos esse estudo com um critério que é aplicável a todos os tipos de séries mas que só será útil para determinar certos casos de divergência: o critério suficiente de divergência. Prosseguimos com os critérios para séries cujos termos são não negativos.

Mais uma vez se vê a importância de resolverem exercícios para treinar a escolha dos bons critérios a aplicar em cada caso. Reveja as observações feitas no início do guia de estudo da aula teórica anterior.

Temos então como pricipais objectivos no estudo dos conteudos desta parte da matéria:

• Perceber bem em que situações o critério suficiente de divergência pode ser útil.
• Depois de reconhecer que uma série dada é de termos não negativos, escolher o melhor critério para aplicar nessa situação concreta. Essa escolha é entre:
  1. critério do integral (2)
  2. critérios de comparação (3 e 4);
  3. critérios da raiz e de d'Alembert (5 e 6)

Em seguida, completamos a apresentação dos critérios de convergência com dois critérios para séries em que o sinal do termo geral não é fixo: o da convergência absoluta e o de Leibniz (para séries alternadas).

Para esta 2ª parte, os principais objectivos no estudo dos conteúdos

• Saber o critério da convergência absoluta e determinar se uma série é ou não absolutamente convergente
• Perceber o critério de Leibniz e determinar se uma série alternada não absolutamente convergente é simplesmente convergente.

Voltamos a sublinhar o facto de que não existe um critério que sirva para estudar todas as séries (se houvesse, bastaria estudar esse critério!). É muito importante fazer exercícios para treinar a identificação do tipo de série e aplicação do critério mais correcto para esse tipo.

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link onde poderão ver os resultados com todas as demonstrações detalhadas e mais alguns exemplos. Note contudo esse texto poderá incluir certos aspectos que não vamos considerar nesta disciplina.
É muto importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 1 e 2 da secção 5.1 da lista [S] .

Séries: critérios de convergência

Na aula anterior iniciámos o estudo das séries apresentando alguns casos importantes em que pudemos estudar completamente a convergência/divergência e mesmo determinar a soma, no caso de convergência porque tínhamos expressões explícitas para as somas parciais dessas séries. Essa situação não é a mais comum. Na realidade, na maior parte dos casos a determinação explícita de uma expressão para as somas parciais é demasiadamente complicada ou mesmo impossível na prática. Nesses casos, podemos pensar em métodos alternativos de cálculo como, por exemplo, métodos numéricos aproximados. No entanto, antes de investir algum esforço em escolher uma estratégia para abordar esse problema, é importante responder à questão: a série dada é convergente ou divergente? Para isso temos os critérios de convergência os quais não vão dar a soma da série, limitando-se a responder àquela questão.

Por outro lado, não existe um critério que responda àquela questão para todas as séries (se houvesse, bastava estudar esse critério!). O que há são critérios que poderão resolver o problema para classes particulares de séries. Nesta aula vamos apresentar alguns.

Condição necessária de convergência

Teorema (condição necessária de convergência)

Se \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é uma série convergente, então \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n=0.\)

Por outras palavras, "a sucessão do termo geral de uma série convergente é um infinitésimo."

Seja \((s_n)\) a sucessão das somas parciais da série. Por hipótese a série é convergente e a sua soma será \(\;\displaystyle S=\lim_{n\to \infty}s_n.\;\) Por definição de soma parcial, para \(n=2,3,\dots\) temos, \(s_{n}=s_{n-1}+a_{n}\), e, portanto \[a_n=s_{n}-s_{n-1}\;\to\; S-S=0.\]

Neste ponto é importante perceberem o que é que este teorema diz (e o que é que não diz...) Trata-se de uma implicação, \[\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ é convergente }\;\Rightarrow\; \lim a_n=0,\] não de uma equivalência. Isso significa que saber que \(\lim a_n=0\;\) não nos diz absolutamente nada sobre se a série é convergente ou divergente! Para se convencerem desse facto consideramos o seguinte contraexemplo:

Série harmónica

Trata-se da série \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots\] Não há dúvida que, \[\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0.\] No entanto, vamos demonstrar que a série \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente! Vamos fazê-lo mostrando que a sucessão das somas parciais não é majorada e, por isso, não é convergente.

O argumento baseia-se em agrupar termos de uma determinada forma e minorar a soma de cada um desses grupos. Esse processo é visualizado da seguinte forma: \[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}_{\geqslant 2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}+ \underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}_{\geqslant 4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}}+ \underbrace{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}}_{\geqslant 8\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{2}}+\dots\] Daqui podemos ver que, relativamente às somas parciais temos \[s_2= 1+\frac{1}{2},\qquad s_4\geqslant 1+2\cdot \frac{1}{2},\qquad s_8\geqslant 1+3\cdot \frac{1}{2},\qquad s_{16}\geqslant 1+4\cdot \frac{1}{2},\qquad\dots\] Na realidade, prova-se por indução matemática que \(\;\displaystyle s_{2^k}\geqslant 1+k\cdot\frac{1}{2},\;\) para \(k=1,2,3,\dots\)
Mas então \(\;\displaystyle\lim_{k\to\infty} s_{2^k}=+\infty\;\) e portanto a sucessão das somas parciais \((s_{n})\) não é majorada e, logo, não é convergente em \(\mathbb{R}\).

Conclusão: a série harmónica é divergente, apesar do seu termo geral ser um infinitésimo.

Mas então, como usar este teorema de forma a ajudar-nos a verificar se uma série é ou não convergente? A resposta é o seguinte critério o qual é uma forma equivalente de escrever o teorema anterior:

Critério 1: critério suficiente de divergência.

Se a sucessão \((a_n)\) não tende para \(0\), então a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Exemplo 1. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots\;\)
Como \(\;\displaystyle \frac{n}{n+1}\;\to\; 1\not=0.\;\) então, \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\;\) é uma série divergente.

Exemplo 2. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos\frac{n\pi}{2}=\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{2\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{2}+\dots\;\)
Constatamos que \(\;\displaystyle a_n=\cos \frac{n\pi}{2}\;\) tem vários sublimites diferentes. Por exemplo, se \(n\) é ímpar temos \(a_n=0\to 0\). No entanto, se \(n\) é múltiplo de 4, temos \(a_n=1\to 1\). Logo a sucessão \((a_n)\) é divergente e logo, não tende para 0.
Concluimos que \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos\frac{n\pi}{2}\;\) é uma série divergente.

Exemplo 3.\(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \arccos\frac{1}{n}=\arccos \frac{1}{1}+\arccos\frac{1}{2}+\arccos\frac{1}{3}+\dots\;\)
Mas \(\;\displaystyle\arccos\frac{1}{n}\to \arccos 0=\frac{\pi}{2}\not=0.\;\) Logo, \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \arccos\frac{1}{n}\;\) é uma série divergente.

Séries de termos não negativos

Vamos considerar séries \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\;\) com \(\;a_n\geqslant 0.\;\)
Designamos tais séries por séries de termos não negativos, abreviadamente STNN. A razão pela qual estas séries são especiais havendo mais critérios para estas séries do que para as outras, tem que ver com o facto da sucessão das somas parciais de uma STNN ser uma sucessão crescente: \[s_{n+1}-s_n=a_{n+1}\geqslant 0.\] Então, pelo teorema das sucessões monótonas e limitadas:

Propriedade das séries de termos não negativos (STNN)

Uma STNN é convergente sse a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é majorada.

Uma série com termos sem sinal fixo pode ser divergente e, ainda assim, ter a sucessão das somas parciais limitada. Relembre o exemplo \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\) dado na aula anterior. Esta série é divergente e as suas somas parciais só tomam dois valores: \(-1\) e \(0\).

Os critérios específicos para STNN resultam desta propriedade. O primeiro que estudamos é o seguinte:

Critério 2: critério do integral

Seja \(\;f:\left[1,+\infty\right[\to\mathbb{R}\;\) decrescente e positiva. Então, \[\sum_{n=1}^\infty f(n)\; \text{ é convergente }\quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\]

Demonstração:

Sendo \(f\) decrescente, temos para \(\;x\in[k,k+1],\;\) com \(\;k\in\mathbb{N},\) \[f(k)\geqslant f(x)\geqslant f(k+1).\] Integrando neste intervalo de comprimento 1, e dado que \(\,\int_{k}^{k+1}c\,dx=c\,\) para qualquer constante \(c\), obtemos \[f(k)\geqslant \int_k^{k+1}f(x)\,dx\geqslant f(k+1)\,.\] (relembrar que qualquer função limitada e monótona é integrável). Somando para \(\;k=1,2,\dots,p-1\;\) ficamos com, \[f(1)+f(2)+\dots+f(p-1)\geqslant \int_1^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx+\dots+\int_{p-1}^p f(x)\,dx\geqslant f(2)+f(3)+\dots+f(p)\,,\] ou seja, \[\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\geqslant \int_1^p f(x)\,dx\geqslant \sum_{n=2}^p f(n)\,,\] e podemos concluir,

• \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)\) é convergente \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;S_p=\displaystyle\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) \(\displaystyle\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\)
• \(\displaystyle\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty\) \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;s_p=\displaystyle\sum_{n=2}^{p}f(n)\;\) é majorada\(\;\Rightarrow\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)\) é convergente

Observação. Também se usa a notação \[\int_1^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx,\] designando-se este objecto por integral impróprio de \(f\) em \([1,+\infty[\).

Aplicação: as séries de Dirichlet

• Caso \(\alpha=1:\;\) série harmónica \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}.\;\) Apliquemos o critério do integral: neste caso, \(f(x)=\dfrac{1}{x},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p \frac{1}{x}\,dx=\lim_{p\to +\infty}\left[\ln |x|\right]_1^p =\lim_{p\to +\infty}\ln p=+\infty,\] donde concluimos que a série harmónica é divergente.

  Observação: já tínhamos chegado atrás a esta conclusão por outro método, mostrando que por vezes podemos usar mais do que um método para obter a convergência/divergência de uma série.

• Caso \(\alpha\not=1.\quad\) Neste caso, \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^\alpha},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p\frac{1}{x^\alpha}\,dx= \lim_{p\to+\infty}\left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^p= \frac{1}{\alpha-1}\left(1-\lim_{p\to+\infty} p^{1-\alpha}\right)= \begin{cases} \dfrac{1}{\alpha-1}&\text{ se }\alpha \gt 1\\ & \\ +\infty &\text{ se } 0\lt \alpha \lt 1, \end{cases}\] e, portanto, a série é divergente se \(\;\alpha\lt 1\;\) e convergente se \(\;\alpha \gt 1\).

Exemplos:

• São divergentes: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1 \quad (\alpha=0),\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n,\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2,\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{\sqrt{2}},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sqrt{n},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}. \;\)
• São convergentes: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\sqrt{2}}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}}. \;\)

Critério 3: critério de comparação.

Sejam \(\;0\leqslant a_n\leqslant b_n\;\) para todo \(\;n\in\mathbb{N}.\,\) Então,

1. se \(\;\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) é convergente, então \(\;\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente;
2. se \(\;\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente, então \(\;\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) é divergente.

Demonstração

Relembrando da lógica as propriedades da implicação verificamos que 1. e 2. são proposições equivalentes. Provemos 1.
Considerem-se as somas parciais de ambas as séries: \[s_k=\sum_{n=1}^k a_n\qquad \text{ e }\qquad t_k=\sum_{n=1}^k b_n.\] Obviamente, \(\;s_k\leqslant t_k,\;\) para todo \(k\in\mathbb{N}.\;\) Teremos assim, usando a propriedade das STNN enunciada atrás:
a série \(\;\sum b_n\;\) é convergente \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;(t_k)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;(s_k)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) a série \(\;\sum a_n\;\) é convergente.

Observação importante: como vimos na aula anterior, a convergência de uma série não depende dos primeiros \(p\) termos (\(p\) finito). Logo, o critério anterior ainda é válido se tivermos \(\;0\leqslant a_n\leqslant b_n,\;\) apenas para \(\;n\gt p.\)

Exemplo 4. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}.\;\) Como, \[\;\displaystyle 0\lt \frac{1}{3^n+n}\lt \frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n\] e a série \(\;\sum\left(\frac{1}{3}\right)^n\;\) é convergente por ser uma série geométrica de razão \(R=1/3\) e logo \(|R|\lt 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é convergente.

Exemplo 5. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2^n+1}.\;\) Como, \[ 0\leqslant \frac{1+(-1)^n}{2^n+1}\lt \frac{2}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] e a série \(\;\sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\;\) é convergente por ser uma série geométrica de razão \(R=1/2\) e logo \(|R|\lt 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é convergente.

Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1+\cos n}{2^n+n}.\;\) A série converge por comparação com a série \(\displaystyle\sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\)

Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}}{3^n-1}.\;\) Como, \[ \frac{2^{2n}}{3^n-1}\gt \frac{2^{2n}}{3^n}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\gt 0\] e a série \(\;\sum\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\;\) é divergente por ser uma série geométrica de razão \(R=4/3\) e logo \(|R|\geqslant 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é divergente.

Observação importante: note que para provar a convergência por comparação (exemplos 4-6) a série com que se compara tem que ter os seus termos maiores ou iguais aos da série dada, enquanto que, para provar a divergência (exemplo 7) a série com que se compara tem que ter os seus termos menores ou iguais aos da série dada.

O critério seguinte permite-nos também comparar séries e em várias situações é mais prático que o anterior:

Critério 4: critério de comparação II:

Sejam \(a_n\geqslant 0,\;\) \(b_n\gt 0,\;\) para \(n\in\mathbb{N}.\;\) se \[\lim\frac{a_n}{b_n}=L\not=0,\infty\] então as séries \(\;\sum a_n\;\) e \(\;\sum b_n\;\) têm a mesma natureza.

Demonstração

• \(\sum b_n\) é convergente \(\Rightarrow\) \(\sum (2Lb_n)\) é convergente \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) é convergente.
• \(\sum b_n\) é divergente \(\Rightarrow\) \(\sum (\frac{L}{2} b_n)\) é divergente \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) é divergente.

Observação. Se \(\displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=0\), então, para todas as ordens \(n\) suficientemente grandes teremos \(a_n\lt b_n\). Neste caso, se \(\sum b_n\) converge, conclui-se do critério de comparação que \(\sum a_n\) também converge. No entanto, se \(\sum b_n\) diverge, nada se conclui em relação à convergência de \(\sum a_n.\)

Se tivermos \(\displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=+\infty\) então, para \(n\) suficientemente grande teremos \(b_n\lt a_n\) e aplica-se um argumento semelhante.

Exemplo 8. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n-n}.\;\) Como, \[\lim\frac{\frac{1}{3^n-n}}{\frac{1}{3^n}}=\lim\frac{3^n}{3^n-n}=1\not=0,\infty,\] pelo critério 3 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série geométrica convergente \(\displaystyle\sum \left(\frac{1}{3}\right)^n\). Logo, é convergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n+3}{3^n+2}\;\) converge, comparando da mesma forma com \(\displaystyle\sum \left(\frac{2}{3}\right)^n\)

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n-n}{3^n-n^2}\;\) diverge, comparando da mesma forma com \(\displaystyle\sum \left(\frac{4}{3}\right)^n\)

Como vemos nos exemplos atrás a ideia é comparar a série dada com uma que sabemos de antemão estudar a sua convergência/divergência. Precisamos assim de ter uma lista de séries referência para usar como comparação. Vamos usar as seguintes:

• Séries geométricas: \(\;\sum R^n\;\) converge sse \(|R|\lt 1\);
• Séries de Mengoli: \(\;\sum(b_n-b_{n+1})\;\) converge sse \((b_n)\) é convergente.
• Séries de Dirichlet: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}}\;\) converge sse \(\alpha \gt 1\).

Exemplos de comparação com séries de Dirichlet

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}.\;\) A ideia aqui é considerar o termo dominante no denominador do termo geral. Neste caso é \(n^2\) e considera-se a série de Dirichlet \(\;\displaystyle\sum \frac{1}{n^2}.\;\) Como, \[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^2}}=\lim \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}=1\not=0,\infty,\] pelo critério 4 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1.\) Logo, é convergente.

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{n^3+1}.\;\) A ideia aqui é considerar o termo dominante no numerador do termo geral, neste caso é \(n^2\), e no denominador, neste caso é \(n^3\). Comparamos então com \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\;\), série de Dirichlet com \(\alpha=1\). Como, \[\lim\frac{\frac{n^2+1}{n^3+1}}{\frac{1}{n}}=\lim \frac{n^3+n}{n^3+1}=1\not=0,\infty\] pelo critério 4 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1.\) Logo, é divergente.

Exemplo 13. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2\sqrt{n}+3}{n^2+n+1}.\;\) Compara-se com \(\;\displaystyle\sum \frac{n^{1/2}}{n^2}=\sum \frac{1}{n^{3/2}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\;\alpha=3/2\gt 1,\;\) portanto convergente. Logo, a série dada é convergente.

Exemplo 14. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(\sqrt{n}+1)(n+1)(\sqrt[4]{n}+1)}.\;\) Compara-se com \(\;\displaystyle\sum \frac{n}{n^{1/2+1+1/4}}=\sum \frac{1}{n^{3/4}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\alpha=3/4\leqslant 1\). Logo, a série dada é divergente.

Critério 5: critério da raiz.

Seja \(a_n\geqslant 0\) tal que existe o seguinte limite em \(\overline{\mathbb{R}}\): \[\lim\sqrt[n]{a_n}=r\,.\]

1. Se \(\;r\lt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente.
2. Se \(\;r\gt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Critério 6: critério de d'Alembert (ou da razão).

Seja \(a_n\gt 0\) tal que existe o seguinte limite em \(\overline{\mathbb{R}}\): \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\,.\]

1. Se \(\;r\lt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente.
2. Se \(\;r\gt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Não damos aqui a demonstração detalhada a qual pode encontrar em [AB]. No entanto, tanto num caso como no outro é fácil ver que o caso \(r\gt 1\) conduz a \(\lim a_n=+\infty\) e , portanto a série será divergente. Para \(r\lt 1\) a demonstração de ambos os critérios baseia-se na comparação com uma série geométrica com razão \(R< 1\).

Observações sobre o uso destes dois critérios: Aparentemente estes dois métodos parecem mais fáceis de usar que os de comparação e há a tendência dos alunos se virarem por sistema para o critério de d'Alembert. No entanto é preciso ter em atenção o seguinte:

• Poderão não existir os limites mencionados nos critérios. Para esse caso, obviamente estes critérios serâo inúteis. Pode ainda, no entanto, haver o limite da raiz e não o da razão.
• Ainda que existam aqueles limites, se eles forem iguais a 1 estes critérios nada decidem e teremos que nos virar para os de comparação. Esta situação será no mínimo incoveniente no âmbito, por exemplo, da resolução de uma prova já que o aluno perdeu tempo a tentar aplicar um critério sem sucesso. É importante que o aluno adquira prática na escolha dos critérios adequados.

  Pode-se no entanto dizer, como regra geral que, se \(a_n \) for uma expressão racional em \(n\) ou for uma fracção em que os termos de maior crescimento no numerador e denominador sejam iguais ou inferiores a uma potência de \(n\), os limites mencionados nestes critérios dão 1 e eles nada decidem. Nestas situações deve-se usar um dos critérios de comparação logo de início.
  Veja, por exemplo, o caso da série \[\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}+1}{n^3+1}.\;\] Temos \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\] e o critério 6 nada decide. No entanto, por comparação é fácil: compara-se com a série \(\;\displaystyle\sum \frac{n^{1/2}}{n^3}=\sum \frac{1}{n^{5/2}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\;\alpha=5/2\;\) e portanto, convergente. Logo, a série dada é convergente.

Vejam as seguintes aplicações dos critérios 4 e 5:

1. \(\;\displaystyle\sum\frac{n}{2^n}\) é convergente: critério de d'Alembert:
   Resolução: \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} =\lim \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\lt 1.\]
2. \(\;\displaystyle\sum\frac{r^n}{n!}\) é convergente: critério de d'Alembert.
3. \(\;\displaystyle\sum\frac{n!}{n^n}\) é convergente: critério de d'Alembert.
4. \(\;\displaystyle\sum\frac{n^2+2^n}{2^n+n!}\) é convergente: critério de d'Alembert:
   Resolução: \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{(n+1)^2+2^{n+1}}{2^{n+1}+(n+1)!}\cdot\frac{2^n+n!}{n^2+2^n} =\lim \frac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}\cdot \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}+1}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}+1}\cdot \frac{\frac{2^n}{n!}+1}{\frac{n^2}{2^n}+1}=\lim\frac{2}{n+1}=0\lt 1.\] (Relembre a escala de sucessões!)

5. \(\;\displaystyle\sum\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n\) é convergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n}=\lim\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}\lt 1.\]
6. \(\;\displaystyle\sum\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}\) é convergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=e^{-1}\lt 1.\]
7. \(\;\displaystyle\sum\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\) é divergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\gt 1.\]

Séries de termo geral sem sinal determinado

Já observámos que não há nenhum critério que nos permita tirar conclusões em todas as séries e que, no caso das séries de termos não negativos (STNN), dispomos de mais critérios que no caso mais geral. A primeira questão natural que se pôe ao abordar séries que podem ter termos negativos é: o que é que ainda podemos dizer sobre essas séries usando, de alguma forma, o conhecimento adquirido até agora sobre STNN?

• A resposta a essa questão é trivial no caso em que todos os termos são não positivos: \(\;a_n\leqslant 0,\;\) para todo o \(n\). Neste caso a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-a_n)\;\) é de termos não negativos e as suas propriedades de convergência/divergência são as mesmas que as da série dada e podemos aplicar os critérios para STNN.

A questão atrás será relevante no caso em que a série dada é de sinal não determinado, ou seja, tem uns termos positivos e outros negativos.

Séries absolutamente convergentes

Introduzimos aqui essa classe de séries

Definição (série absolutamente convergente)

Diz-se que uma série dada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é absolutamente convergente sse "a sua série dos módulos" \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|\;\) é convergente.

Para já, trata-se apenas de uma definição, não estabelecendo à partida nehnuma relação entre os factos de uma série ser convergente e ela ser absolutamente convergente. Essa relação é estabelecida com o seguinte

Critério 7: critério da convergência absoluta

Se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Demonstração

Seja \(\;\sum a_n\;\) uma série absolutamente convergente, ou seja, tal que \(\;\sum|a_n|\;\) é convergente. Escrevemos agora esta série como a diferença entre duas STNN. Para isso introduzimos notação. Seja \(c\) um número real qualquer. A sua parte positiva, \(c^+\), e a sua parte negativa, \(c^-\) são: \[c^+=\max(0,c),\qquad c^-=\max(0,-c).\] Por exemplo, \(5^+=5,\;\) \(5^-=0,\;\) \((-5)^+=0,\;\) \((-5)^-=5.\) Então, é fácil ver que \(\;c ^+,c^-\geqslant 0,\;\) que \[c=c^+-c^-,\quad\text{ e que }\quad |c|=c^++c^-.\] Agora reparem que \(\sum (a_n)^+\) é simplesmente a STNN que se obtem de \(\sum a_n\) substituindo os termos negativos por \(0\). Analogamente, \(\sum(a_n)^-\) é a STNN obtida de \(\sum a_n\) substituindo por \(0\) os termos positivos e considerando o módulo dos outros.

Como, para cada \(n\), se tem \(\;(a_n)^+\leqslant |a_n|\;\) e \(\;(a_n)^-\leqslant |a_n|,\;\) pelo critério de comparação de STNN (critério 2) e como \(\sum|a_n|\) é convergente por hipótese, podemos dizer que ambas as séries \(\sum (a_n)^+\) e \(\sum(a_n)^+\) são convergentes. Como, pela propriedade da linearidade das séries a diferença entre duas séries convergentes é convergente (guia de estudo da aula teórica 33), podemos escrever, \[\sum (a_n)^+-\sum (a_n)^-=\sum\bigl[(a_n)^+-(a_n)^-\bigr]=\sum a_n,\] ficando provado que a série \(\sum a_n\) é convergente.

Exemplo 5.\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^5}=-\frac{1}{1^5}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\dots\quad\) A sua série dos módulos é \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^5}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^5},\] a qual é uma série de Dirichlet convergente (\(\alpha=5\gt 1\)). Logo, a série dada é absolutamente convergente e, pelo critério 7 é uma série convergente.

Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}.\quad\) É uma série de termos sem sinal determinado e, por isso, não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos então a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{3n^5-2}\] Esta última é uma STNN que pode ser comparada com a série de Dirichlet convergente \(\;\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty\frac{1}{n^3}.\;\) Usando o critério 3 (faça-o!) concluimos que se trata de uma STNN convergente. Por outras palavras, a série dada é absolutamente convergente e portanto, pelo critério 7, é convergente.

Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nn!}{n^n}.\quad\) Trata-se de uma série de termos sem sinal determinado, pelo que não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-2)^nn!}{n^n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}\] Apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN. Seja \(\;a_n=\frac{2^nn!}{n^n}.\;\) Então \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!} =\lim\frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =2\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1.\] Concluimos que a série dos módulos é uma STNN convergente. Pelo critério 7, a série dada é convergente.

O critério 7 estabelece a classe das séries absolutamente convergentes como uma subclasse das séries convergentes. Poderá uma série convergente não ser absolutamente convergente? Não podemos dar ainda um exemplo, o que ficará para a próxima secção, mas desde já ficam com a noção de que isso é possível. Ou seja, existem séries na classe seguinte:

Definição (série simplesmente convergente).

Uma série convergente que não seja absolutamente convergente designa-se por simplesmente convergente.

Ou seja, uma série \(\sum a_n\) é simplesmente convergente se \(\sum a_n\) é convergente mas \(\sum|a_n|\) é divergente.

Existem vários critérios para essa situação mas, nesta disciplina só vamos considerar o caso quando a série é do tipo dado na secção seguinte:

Séries alternadas: o critério de Leibniz

Definição (séries alternadas).

Designamos por série alternada qualquer série da forma \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots\qquad\text{ou}\qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots\] onde \(\;a_n\geqslant 0,\;\) para todo o \(n\in\mathbb{N}.\)

O seguinte critério aplica-se a estas séries

Critério 8: critério de Leibniz para séries alternadas

Se a sucessão \(\;(a_n)\;\) é decrescente e \(\lim a_n=0\), então, a série alternada \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\] é convergente.

Demonstração:

Por hipótese, temos \(a_{n+1}\leqslant a_n\). Seja \((s_n)\) sucessão das somas parciais da série alternada dada. Então, \[\begin{aligned} s_1&=a_1\gt 0\\ s_2&=a_1-a_2\\ s_3&=a_1-a_2+a_3\leqslant a_1=s_1, \quad \text{porque}\quad -a_2+a_3\leqslant 0,\\ s_4&=a_1-a_2+a_3-a_4\gt s_2,\quad\text{porque}\quad a_3-a_4\geqslant 0,\\ \end{aligned}\] Em geral: \(s_{2n}\) é crescente, \(s_{2n-1}\) é decrescente e como são ambas limitadas, são convergentes. Mas como \(s_{2n}-s_{2n-1}=a_{2n}\rightarrow 0,\) conclui-se que \(\lim s_{2n}=\lim_{2n-1}\) e segue-se que a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é convergente, ou seja, a série alternada converge.

Exemplo 8. A série harmónica alternada: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots\;\)
A sua série dos módulos é a série harmónica a qual sabemos ser divergente. Logo, a série harmónica alternada não é absolutamente convergente. Vamos aplicar o critério de Leibniz. Não há dúvida que a sucessão \((1/n)\) é decrescente e \(\lim \frac{1}{n}=0.\) Então, pelo critério 8, concluimos que a série é convergente.
Conclusão: a série harmónica alternada é simplesmente convergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\)

Em geral:

Séries de Dirichlet alternadas

São séries do tipo \[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}-\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}-\dots\] Se \(\alpha\leqslant 0\) então o termo geral da série não tende para 0 e a série é divergente, pelo critério 1.
Se \(\alpha \gt 1\), então a série dos módulos será a série de Dirichlet com \(\alpha\gt 1\) a qual é convergente. Neste caso a série de Dirichlet alternada é absolutamente convergente.
Para \(0\lt\alpha\leqslant 1\) procede-se como nos exemplos 8 e 9 e concluimos que a série é simplesmente convergente.

Resumindo:

Convergência absoluta/simples/divergência das séries de Dirichlet alternadas:

Considere-se a série de Dirichlet alternada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}.\;\) Então:

• Se \(\;\alpha\leqslant 0,\;\) então a série é divergente
• Se \(\;0\lt \alpha\leqslant 1,\;\) então a série é simplesmente convergente
• Se \(\;\alpha \gt 1,\;\) então a série é absolutamente convergente

Mais exemplos:

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n}\;\)
Vejamos a série dos módulos: \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\ln n}\right|=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln n}.\)
Por comparação com a série harmónica esta série é divergente (ver exemplo 1 desta aula). Por outro lado, a sucessão \(\frac{1}{\ln n}\) é claramente decrescente e tende para 0. Logo, pelo critério de Leibniz, esta série é convergente mas não é absolutamente convergente. Logo, é simplesmente convergente.

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\sum\frac{1}{n^2}:\) \[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\), ou seja, é convergente.
Conclusão: a série é absolutamente convergente.

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\displaystyle\sum\frac{n}{n^2}=\sum\frac{1}{n}:\) \[\lim\frac{\frac{n}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n^2}{n^2+\ln n}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1\), ou seja, é divergente.
Então a série dada não é absolutamente convergente. Resta saber se é divergente ou simplesmente convergente.
Para isso constatemos que a série dada é alternada do tipo \[\displaystyle\sum (-1)^na_n,\quad\text{com}\quad a_n=\frac{n}{n^2+\ln n}\] Verifique que \(a_{n+1}-a_n\lt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, \(\lim a_n=0\) e concluimos, pelo critério de Leibniz, que a série é convergente.

Observação importante: Repare na estratégia seguida nos exemplos 11 e 12. Se queremos classificar uma série alternada como absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente, começamos por estudar a série dos módulos. Se esta for convergente, concluimos imediatamente que a série é absolutamente convergente e o problema fica resolvido: ainda que a série seja alternada, o critério de Leibniz não necessita de ser utilizado.
Se, pelo contrário, a série dos módulos é divergente, vamos ter que verificar a convergência da série usando o critério de Leibniz. No entanto, se tivéssemos começado com este critério, teríamos ainda assim, que fazer o estudo da série dos módulos.
Conclusão: há toda a conveniência em iniciar o estudo de uma série alternada com o estudo da convergência absoluta