Aula teórica 28
Cálculo integral (início). Primitivação.
Propriedades das primitivas.
Primitivação imediata e quase imediata.
Material de estudo:
- [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I.
Texto de apoio às aulas, 2010.,
págs. 87 - 89.
- [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
Observação: O texto [AB] tem, na parte da primitivação, uma abordagem um pouco diferente da deste curso:
a primitivação surge depois de introduzido o conceito de integral. No final, os conteúdos serão os mesmos.
Propriedades gerais das primitivas
As propriedades das primitivas são consequências das propriedades das derivadas. Assim é fácil constatar,
que, se \(f,g\) forem duas funções primitiváveis e \(c\) uma constante,
\[P(f(x)+g(x))=Pf(x)+Pg(x),\qquad P(cf(x))=cPf(x).\]
Exemplo:
Usando a notação de integral (convem habituarem-se a usar as duas notações)
\[\int (5\cos x+2e^x)dx=5\int\cos x\,dx+2\int e^x\,dx=5\operatorname{sen}x+2e^x. \]
Para confirmar que a expressão obtida é, de facto uma primitiva de \(5\cos x+2e^x\) basta derivá-la.
Primitivas imediatas
Uma lista de primitivas é uma lista de derivadas invertida. A seguinte lista contem as primitivas mais simples a partir
das quais calcularemos outras usando os métodos que veremos nas próximas aulas. Aliás, nos exemplos anteriores já vimos algumas.
- \(\displaystyle\int x^a \,dx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1},\quad\) se \(a\not=-1\)
- \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln |x|\)
- \(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x\)
- \(\displaystyle\int\cos x\,dx=\operatorname{sen}x\)
- \(\displaystyle\int\operatorname{sen}x\,dx=-\cos x\)
- \(\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\operatorname{arctg}x\)
- \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\operatorname{arcsen}x\)
- \(\displaystyle\int\cosh x\,dx=\operatorname{senh}x\)
- \(\displaystyle\int\operatorname{senh}x\,dx=\cosh x\)
Obtenha esta lista por derivação das expressões da direita. Veja, em especial que, \((\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}\) (veja separadamente
os casos \(x\lt 0\) e \(x\gt 0\)).
Exemplo:
\[\displaystyle\int\left(\frac{5}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x}+\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx=
5\displaystyle\int x^{-1/2}\,dx-3\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx+2\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}\\,dx
\]\[=5\frac{x^{1/2}}{1/2}-3\ln|x|+2\operatorname{arctg}x=10\sqrt{x}-\ln|x|^3+2\operatorname{arctg}x.\]
Primitivas quase imediatas
Começe por relembrar a fórmula da derivação da função composta:
\[\left(F(u(x))\right)'=F'(u(x))u'(x).\]
Se \(F(x)=Pf(x)\), temos \(F'=f\) e a fórmula anterior escreve-se
\[P\left(f(u(x))u'(x)\right)=F(u(x)),\quad\text{ou, na outra notação, }\quad \int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x)).\]
Numa forma mais sucinta, sem nos esquecermos que \(u\) é uma função de \(x\), podemos escrever:
Se \(\;\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)\;\) e \(\;u=u(x)\;\) é uma função diferenciável, então,
\(\;\displaystyle\int f(u)u'\,dx=F(u).\)
Portanto, sabendo primitivar \(f\) sabemos como primitivar \(f(u)u'\).
A primitivação baseada nesta fórmula aplicada às primitivas imediatas dadas na secção anterior designa-se
por primitivação quase-imediata. Vamos classificar estas primtivas de acordo com a função \(F\):
- \(\displaystyle\int u^au'\,dx=\dfrac{u^{a+1}}{a+1}\qquad\) para \(a\not=-1\qquad\) tipo potência
- \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln |u|\qquad\quad\;\quad\;\;\) tipo logaritmo
- \(\displaystyle\int e^uu'\,dx=e^u\qquad\qquad\quad\;\;\,\;\;\) tipo exponencial
- \(\displaystyle\int u'\cos u\,dx=\operatorname{sen}u\qquad\quad\;\;\,\) tipo seno
- \(\displaystyle\int u'\operatorname{sen}u\,dx=-\cos u\qquad\;\,\;\,\) tipo cosseno
- \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{1+u^2}\,dx=\operatorname{arctg}u\qquad\,\) tipo arcotangente
- \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\,dx=\operatorname{arcsen}u\quad\) tipo arcoseno
- \(\displaystyle\int u'\cosh u\,dx=\operatorname{senh}u\qquad\quad\) tipo seno hiperbólico
- \(\displaystyle\int u'\operatorname{senh}u\,dx=\cosh u\qquad\quad\) tipo cosseno hiperbólico
Exemplos
Não vamos seguir a ordem em cima. Ao invés vamos começar pelos tipos mais fáceis de identificar:
Em cada caso pede-se o cálculo de uma primitiva.
Tipo exponencial
- \(\displaystyle\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}\int(5x)'e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}\)
- \(\displaystyle\int x^4e^{x^5}\,dx=\frac{1}{5}\int(x^5)'e^{x^5}\,dx=\frac{1}{5}e^{x^5}\)
- \(\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=2\int\left(\sqrt{x}\right)'e^{\sqrt{x}}\,dx=2e^{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle\int e^{\cos x}\operatorname{sen}x\,dx=-\displaystyle\int e^{\cos x}(\cos x)'\,dx=-e^{\cos x}\)
- \(\displaystyle\int\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\,dx=\displaystyle\int e^{\operatorname{arctg} x}(\operatorname{arctg} x)'\,dx
=e^{\operatorname{arctg} x}\)
- \(\displaystyle\int\frac{e^{\operatorname{arcsen} x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\displaystyle\int e^{\operatorname{arcsen} x}(\operatorname{arcsen} x)'\,dx
=e^{\operatorname{arcsen} x}\)
Observação importante: repare que enquanto, por exemplo, \(\displaystyle P(2xe^{x^2})=e^{x^2}\) é uma primitiva
quase-imediata, \(P(e^{x^2})\) é uma primitiva impossível de calcular em termos das funções elementares que conhecem. Isto reflecte
uma diferença importante entre a derivação e a primitivação: muitas vezes é muito mais fácil de primitivar expressões aparentemente mais
complicadas. Outro exemplo: \(\displaystyle P\left(\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\right)\) é quase-imediata (veja em cima),
mas \(\displaystyle P\left(e^{\operatorname{arctg} x}\right)\) é muito difícil de calcular.
Tipos seno e cosseno
- \(\displaystyle\int\cos 5x\,dx=\frac{1}{5}\displaystyle\int(5x)'\cos 5x\,dx=\frac{1}{5}\operatorname{sen}5x\)
- \(\displaystyle\int x^3\operatorname{sen}(x^4)\,dx=
\frac{1}{4}\displaystyle\int(x^4)'\operatorname{sen} (x^4)\,dx=-\frac{1}{4}\cos (x^4)\)
- \(\displaystyle\int e^x\operatorname{sen}(1+e^x)\,dx=
\displaystyle\int(1+e^x)'\operatorname{sen} (1+e^x)\,dx=-\cos (1+e^x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx=2\int\left(\sqrt{x}\right)'\cos\sqrt{x}\,dx=2\operatorname{sen}\sqrt{x}\)
- \(\displaystyle\int\frac{\cos (\ln x)}{x}\,dx=\displaystyle\int(\ln x)'\cos(\ln x)\,dx=\operatorname{sen} (\ln x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{sen} (1+\operatorname{arctg}x)}{1+x^2}\,dx=
\displaystyle\int(1+\operatorname{arctg}x)'\operatorname{sen}(1+\operatorname{arctg}x)\,dx=-\cos (1+\operatorname{arctg}x)\)
Tipo logaritmo
- \(\displaystyle\int\frac{2x+\operatorname{sen}x}{x^2-\cos x}\,dx
=\int\frac{(x^2-\cos x)'}{x^2-\cos x}\,dx=\ln|x^2-\cos x|\)
- \(\displaystyle\int\operatorname{tg} x\,dx=\int\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\,dx=
-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx=-\ln|\cos x|\)
- \(\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx=\int\frac{(1+e^x)'}{1+e^x}\,dx=
\ln (1+e^x)\qquad\) (aqui é irrelevante considerar o módulo porque \(1+e^x\gt 0\))
- \(\displaystyle\int\frac{1}{x\ln x}\,dx=
\int\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\,dx=\int\frac{(\ln x)'}{\ln x}\,dx=\ln|\ln x|\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{(1+x^2)\operatorname{arctg} x}\,dx=
\int\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\operatorname{arctg} x}\,dx=
\int\frac{(\operatorname{arctg} x)'}{\operatorname{arctg} x}\,dx=\ln|\operatorname{arctg} x|\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsen} x}\,dx=
\int\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\operatorname{arcsen} x}\,dx=
\int\frac{(\operatorname{arcsen} x)'}{\operatorname{arcsen} x}\,dx=\ln|\operatorname{arcsen} x |\)
Observação importante: Outra diferença entre derivação e
primitivação é que os cálculos das primitivas de expressões muito parecidas têm muitas vezes
que ser abordados por métodos diferentes. Veja os exemplos \(\;\dfrac{1}{1+x^2},\;\) \(\dfrac{x}{1+x^2},\;\) e \(\;\dfrac{x^2}{1+x^2}\):
A primeira é imediata: \(\operatorname{arctg}x\). A segunda é tipo logaritmo e dá \(\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\). A terceira é
calculada através de uma técnica que iremos explorar na primitivação de funções racionais:
\[P\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)=P\left(\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)
=P(1)-P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=x-\operatorname{arctg}x\]
Tipo potência
Apesar da sua aparência elementar é contudo muitas vezes dos tipos de primitivas mais difíceis de identificar.
- \(\displaystyle\int\sqrt{1+6x}\,dx=\frac{1}{6}\int(1+6x)'(1+6x)^{1/2}\,dx
=\frac{1}{6}\frac{(1+6x)^{3/2}}{3/2}=\frac{(1+6x)^{3/2}}{9}\)
- \(\displaystyle\int x(1+x^2)^{10}\,dx=\frac{1}{2}\int(1+x^2)'(1+x^2)^{10}\,dx=\frac{(1+x^2)^{11}}{22}\)
- \(\displaystyle\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\int(\ln x)'(\ln x)^2\,dx=\frac{(\ln x)^3}{3}\)
- \(\displaystyle\int\cos x\operatorname{sen}x \,dx=-\int(\cos x)'\cos x\,dx=-\frac{\cos^2 x}{2}\)
- \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{sen}x}{\sqrt{\cos x}} \,dx=-\int(\cos x)'(\cos x)^{-1/2}\,dx=-\frac{(\cos x)^{1/2}}{1/2}
=-2\sqrt{\cos x}\)
- \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2} \,dx=
\int(\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{\operatorname{arctg}^2x}{2}\)
- \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{arctg}^2x}{1+x^2} \,dx=
\int(\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}^2x\,dx=\frac{\operatorname{arctg}^3x}{3}\)
Tipo arcotangente
- \(\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{(e^x)'}{1+(e^x)^2}\,dx
=\operatorname{arctg}(e^x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{x}{1+x^4}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2)'}{1+(x^2)^2}\,dx
=\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\)
- \(\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^6}\,dx=\frac{1}{3}\int\frac{(x^3)'}{1+(x^3)^2}\,dx
=\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(x^3)\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{1+3x^2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{(\sqrt{3}x)'}{1+(\sqrt{3}x)^2}\,dx
=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}(\sqrt{3}x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx=2\int\frac{(\sqrt{x})'}{1+(\sqrt{x})^2}\,dx
=\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{x(1+(\ln x)^2)}\,dx=\int\frac{(\ln)'}{1+(\ln x)^2}\,dx
=\operatorname{arctg}(\ln x)\)
Tipo arcoseno
- \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}}\,dx=
\frac{1}{2}\operatorname{arcsen}(2x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2)'}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\,dx=
\operatorname{arcsen}(x^2)\)
- \(\displaystyle\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\,dx=\int\frac{(e^x)'}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}\,dx=
\operatorname{arcsen}(e^x)\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-(\ln x)^2}}\,dx=\int\frac{(\ln x)'}{\sqrt{1-(\ln x)^2}}\,dx=
\operatorname{arcsen}(\ln x)\)
Tipos seno e cosseno hiperbólicos
- \(\displaystyle \int\frac{\cosh (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx=2\int(\sqrt{x})'\cosh (\sqrt{x})\,dx=2\operatorname{senh}(\sqrt{x})\)
- \(\displaystyle \int\frac{\operatorname{senh} (\ln x)}{x}\,dx=\int(\ln x)'\operatorname{senh}(\ln x)\,dx
=\cosh(\ln x)\)