Limites por enquadramento em \(\overline{\mathbb{R}}\).
Limite da função composta.
Continuidade.
Continuidade da soma, produto, quociente e composta de funções contínuas.
Prolongamento por continuidade.
Material de estudo:
Exemplo 1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg}^2x}{2x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2\cos^2x}\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2=\dfrac{1}{2}.\)
Exemplo 2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^1=e.\)
(Relembre que \(1^\infty\) é um caso indeterminado.)Teorema (limites por enquadramento em \(\overline{\mathbb{R}}\)) Seja \(a\in\overline{D_h\cap D_g\cap D_f}\) em \(\overline{\mathbb{R}}\) (portanto, podendo incluir \(a=-\infty\) e \(a=+\infty\)), tal que \[\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}g(x)=b\quad\text{em}\;\overline{\mathbb{R}}\] e tais que, numa vizinhança de \(a,\) \[h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x).\] Então, \[\lim_{x\to a}f(x)=b.\] Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=+\infty\), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\) e não é preciso considerar a função \(g\).
Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty\), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\) e não é preciso considerar a função \(h\).
Demonstração
Considere-se uma sucessão arbitrária \(\;x_n\;\) de termos em \(\;D_h\cap D_g\cap D_f\;\) tal que \(\;\lim x_n=a.\;\) De acordo com a definição de limite à Heine, temos que \[\lim h(x_n)=\lim g(x_n)=b.\] Mas então temos, pelo teorema das sucessões enquadradas, \[\lim f(x_n)=b\] e o teorema fica provado, novamente pela definição do limite à Heine, agora aplicada a \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x).\;\)
Exemplo 3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x\operatorname{sen}\frac{1}{x}=0,\;\) porque, \[-|x|\leqslant x\operatorname{sen}\frac{1}{x}\leqslant |x|,\qquad (\text{reparem que se usaram módulos para contemplar o caso } x\lt 0)\] e, além disso, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(-|x|)= \lim_{x\to 0}|x|=0.\)
Exemplo 4. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x+\cos(\sqrt{x})}=1,\;\) porque, como \(\cos(\sqrt{x})\) é uma função limitada entre -1 e 1, temos que, para todo \(x\gt 1,\) \[\frac{x}{x+1}\leqslant\frac{x}{x+\cos(\sqrt{x})}\leqslant \frac{x}{x-1},\] e, além disso, \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x+1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x-1}=1.\)
Exemplo 5. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)=+\infty,\;\) porque, como \(\;\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\geqslant -1,\;\) temos que, para todo \(x,\) \[x+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\geqslant x-1,\] e, além disso,\(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(x-1)=+\infty.\;\) Tal como acontece nas sucessões (relembrar!) a seguinte consequência pode ser de aplicação mais prática (pode servir como justificação alternativa para o exemplo 3 acima, por exemplo):Corolário: Sejam \(\;f,g\;\) duas funções e \(\;a\in \overline{D_f\cap D_g}\;\) tais que, \[g\text{ é limitada numa vizinhança de }a\quad \text{ e }\quad\lim_{x\to a}f(x)=0.\] Então, \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0.\;\)
Exemplo 6. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-\cos x)\cos\frac{1}{x}=0,\;\) porque, \(\cos\frac{1}{x}\) é uma função limitada (entre -1 e 1), e \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-\cos x)=0.\)
O seguinte resultado é muito útil e permite-nos fazer mudanças de variável ao calcular limites:
Teorema (Limite da função composta) Seja \(a\in\overline{D_g}\) e \(b\in\overline{D_f}\). Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b,\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{y\to b}f(y)=c,\;\) então, \[\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)=c.\]
Usamos a definição à Heine: seja \(x_n\in D_g\) tal que \(x_n\to a\). Então teremos \(g(x_n)\to b,\) uma vez que \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b.\)
Como \(\displaystyle\lim_{y\to b}f(y)=c,\;\) fazendo \(y_n=g(x_n)\), temos também \(f(g(x_n))=f(y_n)\to c.\)
Logo, \[\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)=c.\]
Em cada um dos seguintes exemplos, identifica-se a função dada como \(\;f(y)\;\) com a variável \(\;y=g(x)\;\) adequada.
Exemplo 7. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x^2+x-2)}{x^2+x-2}=\lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{sen}y}{y}=1.\)
Exemplo 8. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{3}{2}}\operatorname{sen}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty,\;\) por mudança de variável \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
Exemplo 9. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x^2}-1}{x^2}=\lim_{y\to 0}2\dfrac{e^{y}-1}{y}=2,\;\) por mudança de variável \(y=2x^2\).
Exemplo 10. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln \cos(1/x)}{1-\cos (1/x)}=\lim_{y\to 1}\dfrac{\ln y}{1-y}=-1,\;\) por mudança de variável \(y=\cos (1/x).\)
Exemplo 11. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{arctg}(2x)}{x}=\lim_{y\to 0}\dfrac{2y}{\operatorname{tg}y}= \lim_{y\to 0}\dfrac{2y\cos y}{\operatorname{sen}y}=2,\;\) por mudança de variável \(y=\operatorname{arctg}(2x)\).
Definição de continuidade: Seja \(a\in D_f\). Dizemos que \(\;f\;\) é contínua no ponto \(a\) sse \[b=\lim_{x\to a}f(x)\;\text{ existe em }\mathbb{R}.\]
Reparem no facto desta definição pressupôr que o ponto \(a\) pertence ao domínio da função \(f\), contrariamente à de limite, na qual apenas se impunha que \(a\) fosse um ponto aderente a esse mesmo domínio.
Agora, a ideia intuitiva que temos da continuidade é que os valores que \(f(x)\) toma para \(x\) "perto de \(a\)" aproximam o valor \(f(a).\;\) Este facto não está imediatamente explícito na definição anterior mas resulta dela:
Proposição: Seja \(a\in D_f\). Se \(f\) é contínua em \(a\), então \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a).\]
Demonstração
É imediata, se usarmos o conceito de limite à Heine. Por hipótese, \(f\) é contínua em \(a,\;\) ou seja, existe \(\;\displaystyle b=\lim_{x\to a}f(x).\; \) Relembremos então que, para qualquer sucessão \(x_n\) em \(D_f\) se tem que, se \(\lim x_n=a\) então \(\lim f(x_n)=b.\;\) Tomemos, em particular, a sucessão constante \(x_n=a.\;\) Como, nesse caso, \(\;\lim x_n=\lim a=a,\;\) teremos \(\lim f(x_n)=b.\;\) Mas como \(\;f(x_n)=f(a),\;\) sucessão constante, rersulta obviamente que \(\;b=f(a).\;\)Isto quer dizer que, na definição de continuidade, não precisamos de exigir que \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a):\;\) a simples existência do limite implica este facto!
Relembrando a definição de limite da aula anterior, podemos então escrever simbolicamente que \(f\) é contínua em \(a\) sse, \[\forall_{\varepsilon\gt 0}\exists_{\delta\gt 0}\forall_{x\in D_f}\quad |x-a|\lt\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(a)|\lt \varepsilon.\] Isto mostra que, de facto, a ideia da propriedade da continuidade corresponde ao facto de podermos aproximar tão bem quanto quisermos \(f(a)\) por \(f(x)\) para valores de \(x\) suficientemente próximos de \(a.\)
Exemplos:Revisitando um por um, os exemplos de existência e de não existência de limite da aula anterior (considerando apenas obviamente aqueles em que \(\;a\in D_f\;\)), temos que \(\;\sqrt{x},\;\) \(\;x-1,\;\) \(\;|x|\;\) são contínuas em cada ponto dos seus domínios, enquanto que, a função de Heaviside não é contínua em \(\;a=0\;\) e a função \(f(x)=x-1,\;\) se \(\;x\geqslant 1,\;\) e \(\;f(x)=x+1,\;\) se \(\;x\lt 1,\;\) não é contínua em \(a=1.\;\) Por outro lado, aplicando a definição de limite à Heine, é muito fácil ver que estas últimas duas funções são contínuas em todos os outros pontos de \(\mathbb{R}.\)
Uma propriedade muito importante que resulta de imediato da própria definição de continuidade é que a continuidade de \(f\) num ponto \(a\) só depende de \(f(x)\) numa vizinhança de \(a\). Ou seja, qualquer alteração de \(f(x)\) em pontos fora dessa vizinhança não altera a propriedade da continuidade de \(f\) em \(a.\) De uma forma mais precisa podemos dizer que,
Proposição: Sejam \(\;f,g\;\) duas funções para as quais existe \(\varepsilon>0\) tal que, para todo \(\;x\in\left]a-\varepsilon,a+\varepsilon\right[,\;\) \(f(x)=g(x).\) Então, \(f\) é contínua no ponto \(a\) sse \(g\) o fôr.
Esta propriedade estabelece o carácter local da continuidade.
É esta propriedade que nos permite dizer, por exemplo, que se para todo \(x\gt 0,\;\) \(f(x)=x^2\;\) então, independentemente do que fôr nos outros pontos do seu domínio, \(f(x)\) é contínua em qualquer \(a\gt 0.\)Teorema (continuidade da soma, produto, quociente e composta de funções contínuas)
Seja \(\;a\in D_f\cap D_g\;\) e tal que \(\;f, g\;\) são ambas contínuas em \(\;a.\;\) Então \(\;f\pm g,\;\) \(\;fg,\;\) \(\;\dfrac{f}{g}\;\) (se \(g(a)\not=0\)) são contínuas em \(\;a.\;\)
Seja \(\;a\in D_f\;\) tal que \(\;f(a)\in D_g.\;\) Se \(\;f\;\) é contínua em \(\;a\;\) e \(\;g\;\) é contínua em \(\;f(a),\;\) então \(\;g\circ f\;\) é contínua em \(\;a.\;\)
(Relembre que \(\;g\circ f(x)=g(f(x))\))
Casos particulares importantes:
as funções elementares dadas (polinomiais, racionais, exponencial e trigonométricas) são funções contínuas nos seus domínios.A partir destas, podemos construir outras usando as operações algébricas ou compondo funções. O resultado serão outras funções contínuas nos seus domínios.
Exemplo 9: A função \(\;f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to \mathbb{R},\;\) dada por \(\;f(x)=\cos\left(e^x+\dfrac{1}{x-1}\right)\;\) é contínua em \(\;D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\;\) porque é a composta de uma função trigonométrica (o \(\cos x\)), a qual é contínua em \(\;\mathbb{R},\;\) com a soma da exponencial, que é contínua em \(\;\mathbb{R},\;\) com uma racional contínua no seu domínio \(\;\mathbb{R}\setminus\{1\}.\;\)
Tomemos o exemplo da função \(\;f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R},\;\) dada por \(\;f(x)=\dfrac{2x^2-2}{x-1}.\;\) Neste caso, não faz sentido falar da continuidade de \(f(x)\) no ponto \(1\) dado que \(1\notin D_f\), muito embora exista \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\). Reparem entretanto que, \[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}=2(x+1),\qquad\text{ para todo }x\not=1.\] Temos então por um lado, a função \(f\) dada, com domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}\). Por outro lado, temos a função \(F\) definida por \[F(x)=2(x+1)\quad \text{ com domínio } D_F=\mathbb{R}.\] São duas funções diferentes na medida em que o domínio de \(F\) tem um ponto a mais do que o domínio de \(f\). No entanto, nos pontos do domínio de \(f\) ambas coincidem. Dizemos então que \(F\) é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(x=1\). Além disso, como \(F\) é contínua no ponto \(x=1\), dizemos então que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(x=1\).
Definição (prolongamento por continuidade) Considere-se uma função \(f\) e um ponto \(a\notin D_f\). Seja \(F\) uma função tal que \(D_F=D_f\cup\{a\}\) e tal que \(F\) é contínua em \(a\). Dizemos então que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Se \(f\) admite um prolongamento por continuidade ao ponto \(a\), dizemos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\).Mais alguns exemplos:
Exemplo 10. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=x\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).
Exemplo 11. \(f(x)=\dfrac{x^2}{|x|}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=|x|\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).
Exemplo 12. \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função de domínio \(D_F=\mathbb{R}\) dada por \[F(x)=\begin{cases} -1, & x\lt 0\\ 1, & x\geqslant 0,. \end{cases}\] é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(0\), mas não é um prolongamento por continuidade de \(f\) a \(0\) (não é uma função contínua em \(x=0\)).
Nos exemplos 10-11, foi fácil explicitar prolongamentos por continuidade por simplificação directa. No entanto, poderemos ter casos em que não seja fácil ou mesmo possível decidir sobre a existência de prolongamento por continuidade por explicitação de uma expressão conhecida, como naqueles exemplos. Um casos destes é, \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\). Os outros limites notáveis referidos na aula anterior também o são. Precisamos então de um critério geral que nos dê uma resposta nesses casos:
Teorema (existência de prolongamento por continuidade) Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) tal que \(a\in\overline{D_f}\), mas \(a\notin D_f\). Então as seguintes afirmações 1) e 2) são equivalentes:
1) a função \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\);
2) existe \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\in \mathbb{R}\).Em caso de existência, esse prolongamento por continuidade é a função \(F\) de domínio \(D_F=D_f\cup\{a\}\) dada por, \[F(x)=\begin{cases} f(x)\,, &\text{ se }x\in D_f\\ b\,, &\text{ se }x=a \end{cases}\] onde \(b\) é o valor do limite acima.
1)\(\;\Rightarrow\;\) 2):
Suponhamos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\) e que \(F\) é esse prolongamento por continuidade. Sendo, por definição, \(F\) contínua em \(a\) podemos dizer que \[\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)=F(a)\,.\] Mas, se \(\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)\) existe, podemos concluir que também \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe e tem o mesmo valor (veja que o conjunto de pontos \(x\) nos quais é válida a implicação na definição de limite de \(F\) contem o conjunto de pontos que têm que satisfazer essa implicação para que \(f\) tenha esse mesmo limite: são os mesmos pontos acrescidos do ponto \(a\)). Logo, \[\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=F(a).\] Ou seja, 2) é verdadeira, bem como a expressão para \(F(x)\).
2)\(\;\Rightarrow\;\) 1):
Suponhamos que existe \(b=\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\), e seja \(F(x)\) dada como no enunciado. Veja novamente a implicação na definição de limite. Como existe o limite de \(f\) sabemos que essa implicação é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_f\). Mas então, também é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_F\), uma vez que \(D_F=D_f\cup\{a\}\), e a implicação é trivial para \(x=a\) (porque, de acordo com a definição de \(F\) dada, \(F(a)=b\)). Logo, \(F\) é contínua em \(a\) e, portanto, é prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Logo, 1) é verdadeira.
Veja a aplicação deste resultado aos exemplos acima. Em particular, no exemplo 12, a não existência de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) (a qual pode ser obtida pela definição, como o fizemos com a função de Heaviside, ou usando limites laterais) implica que \(f\) não é prolongável por continuidade ao ponto \(0\).
Assim, considerando o seguinte limite notável, \[\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1,\] concluimos que a função \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\) de domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) admite o seguinte prolongamento por continuidade ao ponto \(0\): \[F(x)=\begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\,, &\text{ se }x\neq 0\\ 1\,, &\text{ se }x=0 \end{cases}\]