Indeterminações (conclusão).
Comparação do crescimento de sucessões positivas.
Um critério baseado no estudo de \(\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
Funções reais de variável real (início).
- [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I.
Texto de apoio às aulas, 2010., páginas 27-30.
- [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
Indeterminações (conclusão). Comparação do crescimento de sucessões positivas.
Nesta aula vamos considerar algumas indeterminações do tipo \(\dfrac{\infty}{\infty}.\;\) Mais precisamanente, vamos estudar a convergência de \(\dfrac{u_n}{v_n}\,\;\) para certas
sucessões positivas \(u_n,\;v_n\) tais que \(\lim u_n=\lim v_n=+\infty.\) Para isso, vamos comparar a "rapidez" do crescimento das sucessões \(u_n\) e \(v_n\). Introduzimos a seguinte
notação:
Sejam \(u_n,\, v_n\) duas sucessões positivas, isto é, \(u_n,v_n\gt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}.\) Se
\[\lim\frac{v_n}{u_n}=+\infty, \quad \text{ ou, equivalentemente, }\quad \lim\frac{u_n}{v_n}=0,\]
escreve-se
\[u_n\lt\lt v_n\]
e dizemos que "\(u_n\) é muito menor que \(v_n\)" ou que "\(v_n\) é muito maior que \(u_n.\)"
Exemplo
\(\lim\dfrac{100^n}{1000^n}=\lim \dfrac{1}{10^n} =0.\;\) Logo,
\[100^n\lt\lt 1000^n.\]
Mais geralmente,
\[a^n\lt\lt b^n,\quad \text{ se }a\lt b.\]
Agora pretendemos comparar sucessões de tipos diferentes. Para isso, o seguinte resultado será de grande utilidade:
Proposição. Seja \(a_n\) uma sucessão positiva e tal que \(\;\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}.\)
-
Se \(L\gt 1,\) então \(\lim a_n=+\infty.\)
-
Se \(L\lt 1,\) então \(\lim a_n=0.\)
Se \(L=1\) nada podemos concluir com este critério.
Demonstração
Começemos por observar que, se \(\lim a_n\) existe e é um número real (ou seja, \(a_n\) é convergente em \(\mathbb{R}\)), e se esse real não é zero, então
\(\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1\;\) (porquê?). Logo, se \(\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\not=1\;\) necessariamente ocorre uma das três possibilidades seguintes:
-
Não existe \(\lim a_n\) em \(\overline{\mathbb{R}};\)
-
\(\lim a_n=0\)
-
\(\lim a_n=+\infty.\)
Suponhamos agora que \(L\gt 1.\) Então, existe \(p\) tal que, para todo \(n\gt p,\)
\(\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\gt 1,\;\) e logo, \(\;u_{n+1}\gt u_n.\;\) Portanto, sabemos que \(\;u_n\;\) será convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\)
(porque coincidirá com uma sucessão monótona excepto possivelmente para os primeiros \(p\) termos). Logo terá de ocorrer a possibilidade 3 porque \(u_n\) será crescente
a partir de certa ordem.
Suponhamos agora que \(L\lt 1.\) Então, existe \(p\) tal que, para todo \(n\gt p,\)
\(\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\lt 1,\;\) e logo, \(\;u_{n+1}\lt u_n.\;\) Portanto, sabemos que \(\;u_n\;\) será convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\)
(porque coincidirá com uma sucessão monótona excepto possivelmente para os primeiros \(p\) termos). Logo terá de ocorrer a possibilidade 2 porque \(u_n\) será decrescente
a partir de certa ordem.
Isto prova o resultado.
∎
Aplicações desta proposição: Todos os casos seguintes são do tipo \(\frac{\infty}{\infty}.\)
-
\(\lim\dfrac{n^p}{c^n},\;\) com \(\;p\gt 0\;\) e \(\;c\gt 1.\; \))
Seja \(a_n=\dfrac{n^p}{c^n}.\;\) Então,
\[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{(n+1)^p}{c^{n+1}}}{\dfrac{n^p}{c^n}}=\lim\frac{1}{c}\left(\frac{n+1}{n}\right)^p=\frac{1}{c}\lt 1.\]
Conclusão: \(\lim\dfrac{n^p}{c^n}=0.\;\)
-
\(\lim\dfrac{c^n}{n!},\;\) com \(\;c\gt 1.\; \))
Seja \(a_n=\dfrac{c^n}{n!}.\;\) Então,
\[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{c^n}{n!}}=\lim\frac{c}{n+1}=0\lt 1.\]
Conclusão: \(\lim\dfrac{c^n}{n!}=0.\;\)
-
\(\lim\dfrac{n!}{n^n},\;\)
Seja \(a_n=\dfrac{n!}{n^n}.\;\) Então,
\[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim\frac{\dfrac{n!}{(n+1)^{n}}}{\dfrac{n!}{n^n}}=
\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}\lt 1.\]
Conclusão: \(\lim\dfrac{n!}{n^n}=0.\;\)
Estes três resultados provam o seguinte:
Escala de sucessões:
\[n^p\lt\lt c^n\lt\lt n!\lt\lt n^n,\]
com \(p\gt 0\;\) e \(\;c\gt 1.\)
Exemplos
-
\(\lim\dfrac{n^{1000000}}{1,00001^n}=0,\;\) porque \(\;n^{1000000}\lt\lt 1,00001^n.\)
-
\(\lim\dfrac{2^n+n^{10}+n!}{1+n^5+n^n}=\lim \dfrac{\dfrac{2^n}{n^n}+\dfrac{n^{10}}{n^n}+\dfrac{n!}{n^n}}{\dfrac{1}{n^n}+\dfrac{n^5}{n^n}+1}=\dfrac{0+0+0}{0+0+1}=0\)
-
\(\lim(n^n-n!-n^9)=n^n\left(1-\dfrac{n!}{n^n}-\dfrac{n^{9}}{n^n}\right)=(+\infty)\cdot (1-0-0)=+\infty.\)
No seguinte exemplo, a escala de sucessões não nos ajuda: vejam que, embora saibamos que \(3^n\lt\lt n^n\) e que \(n!\lt\lt n^n\), isto não nos permite
obter nenhuma relação entre \(3^nn!\) e \(n^n.\) Nestes casos, usamos directamente a proposição atrás:
Exemplo
-
Calcular \(\;\lim \dfrac{3^nn!}{n^n}.\)
Seja \(a_n=\dfrac{3^nn!}{n^n}.\;\) Então,
\[\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\dfrac{\dfrac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{3^nn!}{n^n}}=\lim 3\cdot\dfrac{ \dfrac{n!}{(n+1)^n}}{\dfrac{n!}{n^n}}=
\lim\dfrac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{3}{e}\gt 1.\]
Conclusão: \(\lim \dfrac{3^nn!}{n^n}=+\infty.\)
Aqui usou-se o "limite notável" (relembre!) o qual constitui a própria definição do número de Euler (ou de Neper) \(e=2,71828182845904\dots\):
\[e=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\]
Prova-se que se trata de um número irracional o que sai fora do âmbito desta disciplina.
-
Exercício: deduza, usando a mesma proposição, que \(\;\lim \dfrac{2^nn!}{n^n}=0.\)
Outras indeterminações
Além das anteriores, existem outras três indeterminações importantes:
\[1^{\infty}\,,\qquad 0^0\,,\qquad \infty^0\,.\]
De momento não nos debruçaremos sobre elas mas é importante saberem que, de facto, se tratam de indeterminações. De importância fundamental é o caso
\(1^\infty\). Para constatarmos que se trata de uma indeterminação, vejamos que, para quatro exemplos com \(\lim u_n=1\) e \(\lim v_n=+\infty,\) os limites de \(u_{n}^{v_{n}}\) resultam diferentes.
Ou seja, só os limites não chegam para prever o limite da sucessão resultante::
\begin{align*}
u_n=1\,, \text{ (sucessão constante) }\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim 1=1\,,\\
u_n=1+\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\,,\\
u_n=1+\frac{2}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=e^2\,,\\
u_n=1+\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n^2\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}
=\lim\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n=e^{+\infty}=+\infty\,.\\
\end{align*}
O terceiro caso é um caso particular do seguinte resultado útil: Se \(\;\lim a_n=a\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}\;\) então,
\[\lim\left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n=e^a.\]
Relativamente ao quarto caso, prova-se que, em geral, em \(\;\overline{\mathbb{R}},\;\)
\[a\gt 1\quad\Rightarrow\quad a^{+\infty}=+\infty.\]
A Proposição 2.3.42 de [AB], a qual está excluida da matéria da disciplina neste semestre, serve para resolver algumas indeterminações tipo \(0^0\) e \(\infty^0\,.\)
Veremos que, no contexto dos limites de funções, poderemos lidar com indeterminações deste tipo usando a regra de Cauchy.
Funções reais de variável real (início)
As notas seguintes servem de guia de estudo para reverem pontos importantes sobre funções dados no Ensino Secundário.
Todo o conteúdo desta aula encontra-se exposto e muito bem explicado no livro [CF] acima, nas páginas 231-239.
Para rever os conceitos de função, domínio, contradomínio, soma, produto, quociente e composta de funções, em alternativa, veja a referência [AB] acima.
Consideremos uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\). Estamos a dizer que o conjunto de reais \(D_f\) é o domínio da função \(f\), e que o seu contradomínio, \(C_f\), é um subconjunto de \(\mathbb{R}\).
Dado \(A\subset D_f\) designamos por \(f(A)\) o conjunto das imagens por \(f\) dos objectos em \(A\), isto é:
\[f(A)=\{f(x):\;x\in A\}\,.\]
É óbvio que \(f(A)\subset C_f\) e que, em particular, \(C_f=f(D_f)\).
Exemplo: Se \(f(x)=|2x|\), com \(D_f=\mathbb{R}\) e \(C_f=[0,+\infty[\), então \(f([-1,2])=[0,4]\).
- Gráfico de \(f\): é o seguinte conjunto de pares ordenados
\[G(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\in D_f \wedge y=f(x)\}.\]
O eixo horizontal, onde está representada a variável \(x\) designa-se por eixo das abcissas e o eixo vertical, onde está representada a variável \(y\) designa-se por eixo das ordenadas.
-
A função \(f\) diz-se minorada, majorada ou limitada sse o conjunto \(C_f\) fôr, respectivamente, minorado, majorado ou limitado.
Em particular, \(f\) é limitada sse existem dois reais \(m\) e \(M\) tais que \[\forall x\in D_f\,,\quad m \leqslant f(x)\leqslant M\,.\]
Em termos do gráfico de \(f\), isto significa que \(f\) é limitada sse \(G(f)\) está compreendido numa faixa entre duas rectas horizontais \(y=m\) e \(y=M\).
Define-se, quando existam, \(\sup f=\sup C_f,\,\) \(\inf f=\inf C_f,\,\) \(\min f=\min C_f,\,\) \(\max f=\max C_f,\).
Exemplo: Seja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=1-x^2\). A função \(f\) é majorada, não minorada e, logo, não limitada e, \(\sup f=\max f=1\), não existindo (em \(\mathbb{R}\)), nem \(\inf f\), nem \(\min f\).
-
Seja \(A\subset D_f\).
A função \(f\) diz-se crescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\),
\[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\geqslant f(x_1)\,.\]
A função \(f\) diz-se decrescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\),
\[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\leqslant f(x_1)\,.\]
A função \(f\) diz-se monótona em \(A\) sse é crescente ou decrescente em \(A\).
Se \(A=D_f\) nos casos anteriores, diz-se simplesmente que \(f\) é, respectivamente, crescente ou decrescente. Em qualquer desses casos diz-se, simplesmente, que \(f\) é monótona.
Se a relação \(\geqslant\), no caso crescente (em \(A\)), ou \(\leqslant\), no caso decrescente (em \(A\)), fôr substituida, respectivamente, por \(>\) ou por \(<\), diz-se que \(f\) é, respectivamente,
estritamente crescente (em \(A\)) ou estritamente decrescente (em \(A\)) e, em qualquer um destes casos, diz-se estritamente monótona (em \(A\)).
Relembre que uma função é injectiva sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in D_f\),
\[f(x_1)=f(x_2)\,\quad \text{sse}\quad x_1=x_2\,.\]
Logo, é fácil verificar a implicação
\[f \text{ é estritamente monótona }\quad \Rightarrow\quad f \text{ é injectiva}.\]
Observe que a implicação recíproca (\(\Leftarrow\)) é falsa. Como contraexemplo pode considerar a função \(f:[-1,1[\to\mathbb{R}\) dada por,
\[
f(x)=\begin{cases}
x+1, & \text{ se }\;-1\leqslant x\leqslant 0,\\
x-1, & \text{ se }\; \,0< x< 1.
\end{cases}
\]
Trata-se de uma função injectiva mas não monótona.
Exercício: esboçe o gráfico.
-
A função \(f\) diz-se par sse \(f(-x)=f(x)\), e ímpar sse \(f(-x)=-f(x)\), para todo \(x\in D_f\), assumindo que o domínio \(D_f\) é simétrico relativamente à origem.
Exemplos: \(f(x)=x^2\) é par, e \(f(x)=x^3\) é ímpar, ambas em \(\mathbb{R}\). Já \(f(x)=x+1\) não é nem par nem ímpar.
Mais exemplos:
1) \(f(x)=x^2+1\) é par, minorada, \(\min f=1\) (minimizante em \(x=0\)), não majorada, decrescente em \(]-\infty,0]\), crescente em \([0,+\infty[\), \(C_f=f(\mathbb{R})=[1,+\infty[.\)
2) \(f(x)=(x-1)^3\) não é par nem ímpar, (no entanto, é simétrica relativamente a \(x=1\)), não minorada nem majorada, crescente, \(C_f=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\).
3) \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), é ímpar, não majorada, não minorada, decrescente em \(]-\infty,0[\) e em \(]0,+\infty[,\) não monótona (!),
\(C_f=f(\mathbb{R}\setminus\{0\})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Observação importante: Veja que, no caso 3), a função é decrescente em cada um dos intervalos \(]-\infty,0[\) e \(]0,+\infty[,\) mas não decrescente em \(\left]-\infty,0\right[\cup\left]0,+\infty\right[.\)
Ou seja, pelo facto de uma função ser decrescente (ou crescente) em dois conjuntos, não se depreende que o mesmo seja verdade na sua união.
- A grande maioria das funções que consideraremos neste curso serão dadas por somas, produtos, quocientes e composição das chamadas funções elementares:
- polinomiais e racionais,
- exponenciais e logarítmicas,
- trigonométricas
e suas inversas.
-
Funções polinomiais: são funções do tipo
\[f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\,\]
onde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) são constantes reais. Relembre que \(D_f=\mathbb{R}\) e veja que, no caso de \(n\) ímpar, \(C_f=\mathbb{R}\) (justificaremos este facto rigorosamente). Relembre que \(f\) pode ter, no máximo,
\(n\) zeros diferentes. Relembre a factorização polinomial e o gráfico das funções \(f(x)=x^p,\; p\) par e \(p\) ímpar. Sobreponha, no mesmo gráfico, os casos \(p=1,2,3,4\).
-
Funções racionais: são do tipo \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\), onde \(p(x)\) e \(q(x)\) são polinomiais. O seu domínio é dado por \(D_f=\{x\,:\; q(x)\not=0 \}\).
Represente num mesmo desenho, os gráficos sobrepostos de \(\dfrac{1}{x^p},\) para \(p=1,2,3,4.\)
Reparem que, exceptuando os casos das polinomiais e racionais (que só envolvem somas, produtos e quocientes) não sabemos defini-las, nem calculá-las rigorosamente, ainda.
NOTA: Assumiremos conhecidas as principais propriedades destas classes de funções, algumas delas veremos / justificaremos ao longo do semestre. É IMPORTANTE reverem estas classes e relembrarem os seu gráficos.