Aula teórica 11

Subsucessões. Os sublimites de uma sucessão.
Critério de convergência baseado em subsucessões.
A recta acabada: limites infinitos (início).

Material de estudo:

Subsucessões.

Prosseguimos o estudo da convergência de sucessões em \(\mathbb{R}.\;\) Na aula anterior vimos que, se constatarmos que uma dada sucessão é simultaneamente limitada e monótona, podemos deduzir imediatamente que ela é convergente (existe \(\;\lim u_n.\)) No entanto, se a sucessão em estudo fôr limitada mas não monótona (ou se não há certezas quanto à monotonia da sucessão) ela poderá ser convergente ou divergente. Nesse caso, uma ferramenta muito útil é o resultado que apresentamos nesta secção o qual usa o seguinte conceito:

Definição: Seja \(\;u_n\;\) uma sucessão. Designa-se por subsucessão de \(\;u_n,\;\) qualquer sucessão \(\;v_k\;\) que possa ser escrita como \[v_k=u_{n_k}\,,\quad \forall k\in\mathbb{N},\] onde \(n_k\) é uma sucessão de números naturais estritamente crescente.

Para entendermos o significado deste conceito, tomemos como exemplo a sucessão \(\;u_n=\dfrac{1}{n}:\;\) \[\frac{1}{1},\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{4},\quad\frac{1}{5},\quad\frac{1}{6},\quad\frac{1}{7},\quad\frac{1}{8},\quad\dots\] Para \(n_k\) tomemos, por exemplo, a sucessão dos números naturais pares ordenados por ordem crescente e sem repetições, isto é, \(n_k=2k,\;k\in\mathbb{N}.\;\) Obtemos a subsucessão dos termos de ordem par de \(\;u_n:\;\) \(\;v_k=u_{2k}=\dfrac{1}{2k}:\) \[\frac{1}{2},\quad \frac{1}{4},\quad \frac{1}{6},\quad \frac{1}{8},\quad\frac{1}{10},\quad\frac{1}{12},\quad\frac{1}{14},\quad\frac{1}{16},\quad\dots\] Reparem que o que fizemos foi construir uma nova sucessão à custa de \(\;u_n\;\) selecionando uns termos, os que correspondem às ordens \(\;n=n_k,\;\) e desprezando os outros. O facto da sucessão das ordens selecionadas ser estritamente crescente e sem repetições significa que a ordenação dos termos na subsucessão respeita a ordenação com que esses mesmos termos apareciam na sucessão original \(\;u_n:\;\) por exemplo, \(\;\dfrac{1}{2}\;\) "aparece antes" de \(\;\dfrac{1}{4}\;\) em \(\;u_n\;\) e, por isso, o mesmo vai acontecer em \(\;v_k.\;\)

Outros exemplos para a mesma sucessão \(\;u_n\;\) do exemplo anterior:

Para simplificarmos os argumentos, muitas vezes substituimos a designação "subsucessão \(\;u_{n_k}\;\)", por uma mais intuitiva, desde que fique claro pelo contexto, qual é a subsucessão a que nos estamos a referir: por exemplo, em vez de \(\;u_{2k}\;\) (o primeiro exemplo acima), dizemos "a subsucessão \(\;u_n\;\) com \(\;n\; par.\)" De igual modo, em vez de dizermos a subsucessão \(\;u_{2k-1}\;\) (o segundo exemplo acima), dizemos "a subsucessão \(\;u_n\;\) com \(\;n\; ímpar.\)"

Para que não fiquem dúvidas sobre o conceito de subsucessão, veja porque que as duas sucessões abaixo não são subssucessões da sucessão \(u_n\) anterior:

(Subentenda (\(\dots\)) como os termos de ordem ímpar estritamente crescente, a partir do último valor escrito).

O critério de convergência de sucessões mais importante baseado nos estudo de subsucessões é o seguinte:

Teorema: Uma sucessão \(\;u_n\;\) é convergente sse todas as suas subsucessões são convergentes e têm o mesmo limite.

Nesse caso, \(\;\lim u_n\;\) é o limite comum de todas as subsucessões de \(\;u_n\;\).

Omitimos aqui a demonstração formal deste teorema mas, se pensarmos na definição de limite, este resultado é uma sua consequência natural: \(\;u_n\to a\;\) sse, dado \(\varepsilon\gt 0\), para todas as ordens suficientemente grandes \(\;|u_n-a|\lt \varepsilon\;\) incluindo todas as ordens selecionadas para formar qualquer subsucessão de \(\;u_n.\) Pode ver a demosntração nos textos de referência indicados no início.

Definição: Seja \(\;u_n\;\) uma sucessão. Designa-se por sublimite de \(\;u_n,\;\) o limite de qualquer subsucessão de \(\;u_n.\)

O teorema anterior tem então a seguinte consequência útil:

\(\;u_n\;\) tem, pelo menos, dois sublimites diferentes \(\;\Rightarrow\;\) \(\;u_n\;\) é divergente.

Este resultado, permite-nos justificar de forma simples a divergência nos exemplos seguintes:

Questão: bastará ver que uma sucessão tem apenas um sublimite em \(\mathbb{R}\) para concluirmos que ela é convergente? Por outras palavras: no resultado anterior será válida a equivalência em vez da implicação? A resposta a esta questão é negativa como se pode ver no seguinte exemplo: No entanto, temos a seguinte consequência útil do teorema enunciado atrás:
Uma sucessão \(\;u_n\;\) é convergente sse as duas subsucessões \(\;u_{2k}\;\) e \(\;u_{2k-1}\;\) são convergentes e têm o mesmo limite.
Exemplos:

Antes de deixar o assunto das subsucessões ainda enunciamos o seguinte resultado:

Teorema (de Bolzano-Weierstrass): Qualquer sucessão limitada tem sublimites em \(\;\mathbb{R}.\;\)

Já sabemos que uma sucessão limitada pode não ser convergente. No entanto, este teorema diz que essa sucessão tem de certeza subsucessões convergentes. Logo, se ela não fôr convergente, é porque tem mais do que um sublimite real.

Ideia da demonstração: Prova-se o seguinte resultado interessante (veja qualquer um dos textos de referência): é possível extrair de qualquer sucessão uma subsucessão monótona (crescente ou decrescente). Ora, uma subsucessão de uma sucessão limitada é obviamente limitada. Então, esta subsucessão é monótona e limitada e, portanto como sabemos, é convergente.

A recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}\). Limites infinitos (início).

Estendemos agora o conceito de convergência de sucessões no seguinte sentido:

O conceito para as sucessões que temos considerado convergentes, isto é com limite real, permanecerá inalterado. No entanto, agora, algumas das sucessões que classificávamos de divergentes, passarão a ter limite. É claro que este limite não pode ser um número real, porque, como afirmámos, o conceito de limite real permanecerá inalterado, e portanto, as sucessões que não tinham limite real continuarão a não o ter.

Assim, temos que introduzir dois objectos que não são números e que corresponderão aos novos limites: \(-\infty\) e \(+\infty.\) Estes satisfazem as relações de ordem seguintes com os reais: \[\forall x\in\mathbb{R},\quad x\gt -\infty\quad \text{ e }\quad x\lt +\infty.\] O conjunto \[\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\] designa-se por recta acabada.

Em \(\overline{\mathbb{R}}\) qualquer conjunto é minorado e majorado, uma vez que \(-\infty\) e \(+\infty\) serão respectivamente minorante e majorante de qualquer conjunto. Na realidade, teremos \[\max\overline{\mathbb{R}}=\sup\overline{\mathbb{R}}=\sup\mathbb{R}=+\infty,\qquad \min\overline{\mathbb{R}}=\inf\overline{\mathbb{R}}=\inf\mathbb{R}=-\infty,\] não existindo \(\max\mathbb{R}\) nem \(\min\mathbb{R},\) como é evidente.

Na próxima aula veremos como definimos os limites infinitos de forma a que ose resultados dados anteriormente sobre limites de sucessões se generalizam de forma natural aos limites na recta acabada. Por exemplo, o teorema das sucessões monótonas e limitadas deixará de ter a componente "limitada" e passará a ser simplesmente, "qualquer sucessão monótona tem limite em \(\overline{\mathbb{R}}.\)"